归纳探究：教学设计的问题主线——以“复数的几何意义”为例



归纳探究：教学设计的问题主线
——以“复数的几何意义”为例

江苏省东台市安丰中学(224221)崔晓丽

一、学情分析

“复数”是苏教版选修2-2第三章的内容，教材内容比较简单，安排的课时较少，它在高考中的分量也很小，只要求学生了解数系的扩充、会简单的四则运算、了解复数的一点几何意义(见文[1]).因此，这部分内容往往不被教师和学生重视，教师很快把知识“塞”给学生，学生似懂非懂，加上巩固练习又少，导致时间一长，学生又把它还给老师了，特别是“复数的几何意义”，到高三复习时，“一问三不知”的现象非常严重，很多学生不知道复数与点的对应关系，更不知道复数模的几何意义.

二、教法探讨

以上现象说明，我们要优化“复数的几何意义”的教学设计，提升教学效率，促进学生的理解.首先，我们应注意到复数集是由实数集扩充而来，实数是复数的特殊情况，它们的几何意义有很多相似的地方，因而，新授课的教学，可以利用实数的几何意义，通过归纳探究，发现复数的几何意义，这样不仅能让学生自主探究，而且还能让学生领悟“由特殊到一般”的归纳思想；其次，苏教版选修2-2第二章的内容是“推理与证明”，恰在“复数”的前一章，学生对归纳推理已经比较熟悉，运用归纳推理发现复数的几何意义，也体现了学以致用的原则.因此，笔者认为以归纳探究为主线设计问题，逐步引导学生发现复数的相关几何意义，是不错的选择！

三、问题设计

问题1实数与复数之间有什么关联？

设计意图学生已熟悉实数与复数的关系，问题1的提出，是要学生进一步理解特殊与一般的关系，意在引导学生注意归纳，为问题2探究复数与点的关系作铺垫.

教学过程

生1：特殊与一般的关系.

师：为什么？

生1：对于复数z=a+bi，当虚部b=0时，复数z=a为实数，实数是复数的一种特殊情况.

师：不错！也就是说，实数集是复数集的子集.大家再回忆一下，实数与点有什么关系？

生2：实数与数轴上的点是一一对应的.

师：对！也就是说，可以用数轴上的点表示实数.

问题2复数是否能用点表示呢？

设计意图在强化了问题1的理解之后，学生已经知道实数是特殊的复数，并且还知道可以用点表示实数，这样过渡到问题2，学生的归纳思维容易形成.

教学过程

生3：能，但要两条数轴，一条数轴上的点表示实部，另一条数轴上的点表示虚部.

师：两条数轴表示一个复数，不太方便，一个复数能否用一个点表示？

生4：让两条数轴垂直，构成平面直角坐标系，坐标系中的点的横坐标表示复数的实部，纵坐标表示复数的虚部.因此，对于任何一个复数z=a+bi，在平面直角坐标系中，都有唯一一个点(a,b)与它对应.

师：你的分析很有道理！能否举几个具体实例说明一下？

生4：在平面直角坐标系中，如A(0,0)表示复数的实部、虚部都为0，即表示复数0，B(-1,0)表示复数-1，C(0,3)表示复数3i，D(2,-1)表示复数2-i.(教师根据生4的回答，作草图演示说明)

师：很好！投影复平面的概念：把建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数，对吗？

生5：实轴上的点表示实数，对；虚轴上的点表示纯虚数，不对，因原点表示实数0，它也在虚轴上，不是纯虚数，要注意原点除外.

师：不错！复平面内的点Z(a,b)与复数z=a+bi对应，点Z(a,b)还可以与什么量对应？

师：为什么？

师：不错！当然向量的起点未必是原点，但我们可以把相等的向量表示为同一个复数.接下来，请同学们完成例题1.

例1在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：(1)4；(2)2+i；(3)-i；(4)-1+3i；(5)3-2i(教师投影一学生的作图，并解读)

师：现在请大家回忆一个初中问题，实数的绝对值有什么含义？

生7：0与正数的绝对值是本身；负数的绝对值是它的相反数.

师：还可以怎么理解？

生7：实数的绝对值表示数轴上与实数对应的点到原点的距离.

师：对！

问题3实数的绝对值是距离，如果要求复数的绝对值，怎么办？

设计意图在熟悉实数绝对值的前提下，问题3不难回答，但这样的问题设计，体现了联系的原则，让学生深刻认识到实数的绝对值与复数的模之间的内在联系，促进了学生对复数模的理解.

教学过程

生8：复数的绝对值，就是在复平面内，复数所对应的点到原点的距离.

师：生8根据实数绝对值的含义推广到复数绝对值的含义，有一定的道理，但在复数中，我们通常把复数的绝对值叫做复数的模.哪位同学再来进一步阐述一下复数的模？

生10：不成立. 因为z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2，|z|2=a2+b2.

师：复数与向量对应，但也有与向量不同的地方，向量的平方等于模的平方，而复数的平方不等于模的平方.那么，能否修改得到正确的复数等式呢？

师：对！下面请大家完成例题2、3.

例2已知复数z1=3+4i，z2=-1+5i，试比较它们模的大小.(一学生口头回答)

例3设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1)|z|=2；(2)2<|z|<3(教师投影一学生的作图，并点评)

问题4已知复数z满足|z-1+i|≤1，那么复数z对应的点的集合表示什么图形？(给学生5分钟时间思考，允许交流讨论，最后学生代表汇报研究成果)

设计意图学生虽已知道复数模的几何意义，在未预习的情况下，问题4略有难度，属于“够得着，又要跳一跳，才能解决的问题”.学生可以用复数模的几何意义解决，若发现问题是复数差的模，还可由实数差的绝对值，归纳出复数差的模的几何意义，找到新的解题方法，仍是一个以归纳为主线的探究问题，也是一个发散性的问题.通过问题4，可以培养学生分析的能力，激发他们的学习兴趣.

师：谁来谈谈问题4的解决方法？

生12：设复数z=x+yi，它对应于点Z(x,y).则|z-1+i|=|x-1+(y+1)i|=

师：你的处理方法不错！谈谈你的分析思路.

生12：要求复数对应点Z的集合是什么图形，等价于求点Z的轨迹方程，故设复数z=x+yi，将z-1+i的模转化为求复数x-1+(y+1)i的模，从而用复数模的几何意义，得出点Z(x,y)的轨迹方程.

师：你分析得非常好！还有其他的解决思路吗？

生13：因|z-1+i|=|z-(1-i)|，它表示复数差的模，其含义是动点Z(x,y)到定点(1,1)的距离，因此，点Z的集合表示的图形是以(1,-1)为圆心，1为半径的圆面(包含边界).

师：你的解决方法非常简单！谈谈你的想法.

生13：不等式左边可以化为复数差的模，这与实数差的绝对值相似，实数差的绝对值表示数轴上两实数对应点间的距离，估计复数差的模也应如此.

师：生13联想到复数差的模，他利用实数差的绝对值的几何意义，推测出复数差的模的几何意义，运用了由特殊到一般的归纳思想，很有道理！其实，这种处理方法，我们刚才已运用，先由点表示实数到点表示复数、再由实数的绝对值到复数的模，也是同样的道理.不过，我们还要进一步理清其道理.

师：生14把复数差的模转化为对应向量差的模，从而得到复数差的模的几何意义就是复平面内与这两个复数对应两点间的距离，他把复数问题转化为向量问题，运用了转化的思想，非常好！再请同学们完成下面这道练习题.

巩固练习已知复数z满足|z+4i|+|z-4i|=10，求复数z的对应点Z的轨迹方程.(投影一学生的过程，并点评)

问题5复数的模与复数差的模有没有联系？

设计意图 问题5难度不大，主要目的是让学生再理解特殊与一般的关系，进一步认识复数差的模的含义.

生15：复数z的模|z|=|z-0|，它表示复数所对应的点到原点的距离，是复数差的模的特殊情况.

师：是的！复数的模与复数差的模本质上是一致的.好，哪位同学来总结一下本节课的学习内容？

生15：主要学习了复数的几何意义，一是用复平面内的点表示复数；二是复数的模就是复数所对应点到原点的距离；三是复数差的模表示两个复数所对应两点间的距离.

师：对！本节课的学习，运用了哪些思想方法？

生15：主要运用了由特殊到一般的归纳思想，根据实数与点的关系、实数绝对值的意义、实数差的绝对值的意义，探究发现复数的相关几何意义，当然还涉及到一些其他的思想方法，如转化思想(复数问题转化为向量问题)，以及数形结合思想等.(留白5分钟，学生总结、反思，下课)

四、两点反思

笔者根据上述“复数的几何意义”的教学设计上课，课堂上学生思维活跃，自感效果不错，有两点思考，与读者分享.

1.加强探究教学，促进学生理解

数学课堂教学，首要问题是学生的理解，无论是概念、公式、定理，还是思想方法，必须得理解，否则只能生搬硬套，无法灵活运用.怎样才能促进学生的理解呢？笔者认为要合理设计问题，引导学生自主探究，学生通过探究获取新知，他们的理解才会更深刻，运用才能更灵活.就如本文，教师的主要任务是问题引导，学生主要是分析问题，若干结论几乎都是由学生自己发现的，特别是问题4，学生在未知复数差的几何意义下，研究不等式|z-1+i|≤1的含义，他们发现复数差的模，联想到实数差的绝对值，得出新结论，是本节课问题设计的亮点.

2.注重知识生成的方法教学

常有人讲“授人以鱼，不如授人以渔”，意思是教给学生方法比教给学生知识更重要(见文[2])，笔者非常认同这一点，首先，一些数学知识学生不可能终身记忆，而学生学习的一些数学思想方法却能终身受益，借用这些思维方法、方式可能会更合理地解决生活中的问题；其次，要想真正地获取数学知识并长久不遗忘，靠死记硬背是不行的，只有学生掌握了获取知识的方法，对知识的理解才能更深刻，记忆才会更长久，即使偶尔遗忘，也有可能通过一定的方法重新演绎还原，正所谓：有“渔”才有“鱼”.本文的教学案例，不仅是让学生获得复数的几何意义，更让学生学会了由特殊到一般的归纳手段.

参考文献

[1]单 墫. 苏教版普通高中课程标准实验教科书(数学选修2-2)[M].江苏教育出版社，2012.

[2]崔志荣. 关注知识生成的反馈教学[J]. 中小学数学，2015(1-2)：43-45.