凸显模型价值学习方程概念——特级教师张齐华《认识方程》片断赏析

王锋琴 钱建兵

片断一：感受价值，建立关系

师：一个未知数，怎样才能变成已知数呢？知道张老师今年多大吗？

生：不知道。

师：既然不知道，那它就是个未知数，在座谁的年龄是已知数？

一学生示意他的年龄是11岁，教师在已知数下面板书：11。

师：现在，如果我告诉大家，我的年龄和他的年龄之间的某种关系，你能不能知道我的年龄？

生：（很肯定地）能！

师：（神秘地）偷偷告诉大家，如果把我的年龄减去20岁，还要比他大，谁知道，我今年多大？

生：不能确定。

师：看来，根据这一年龄关系，还没法确定我的年龄，这样吧，我再换一条试试：如果我的年龄减去30岁，就要比他小了。

生：还是没法确定。

师：奇怪了，给你这样的关系不行，那样的关系也不行。那你们到底要知道怎样的关系？

生：不能大也不能小，要正好相等。

师：好厉害的想法！那行，如果现在我告诉你们，把我的年龄减去25岁，正好和他的年龄相等。

生：36岁！

师：奇怪，三句话，同样都告诉了“我的年龄”和“他的年龄”之间的关系，为什么前两回都不行，而这回却又行了呢？

生：因为前两回只说了你的年龄减掉几岁后，要么比他多，要么比他少，所以我们无法确定。但这一次直接告诉相差25岁。

师：说得真好！不过，数学问题，如果用数学的方式来观察和思考，或许会显得更清楚、更简洁。张老师建议，下面我们试着把这三组关系，用含有字母的式子表示出来，看看大家会有什么新发现。

生：我发现，只有有了等号，我们才能知道未知数是多少。

师：可别小看这个等号哦，正因为有了它，我们才能够在未知数x和已知数11之间建立起某种等量关系，并根据等量关系找到未知数的结果。像这样，在未知数和已知数之间建立的等量关系式，我们就把它叫做方程。

【赏析：方程是建立未知与已知之间等量关系的模型。张老师立足于这一本质。以猜年龄的情境，引导学生将已知与未知建立联系，在经历两次不等关系的“失败”之后，已知与未知之间的等量关系呼之欲出，从而凸显了方程的价值。这正是这一设计的独特之处，特别注重方程的价值，也就是在解决问题的过程中建立等量关系，理解方程的意义，而不是为了方程而方程，方程的意义与解决问题相分离，使方程的意义退化成一堆堆无用的符号碎片，造成对方程的认识僵化。只有运用知识，才能体现其价值，才能让其生动活泼起来。

学生在初步学习方程时，面临最大的问题是：长期的算术思维困扰，总是将思维聚焦于如何去求得未知量，习惯于从问题出发或条件出发进行推理求解，而不是主要着眼于相应的等量关系。张老师将方程的认识立足于等量关系，突出等量关系在认识方程中的地位，方程没有经过任何运算，只是阐述一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身。】

片断二：丰富意义，深入认识

出示苹果、西红柿、西瓜、梨、草莓。

师：它们的质量都是未知数，有什么东西能使它们变成已知数吗？

生：天平。

师：有了天平与砝码就一定能知道它们的质量吗？出示下图。

师：观察，哪些水果的质量已知，哪些未知？把你的想法在小组内说一说。

（学生交流）

师：2号也有天平与砝码，为什么西瓜的质量我们没法知道？

生：因为天平没有平衡。

师：能不能说得专业一点？

生：因为2号天平中，未知数和已知数之间没有建立起等量关系。

师：可3号建立了等量关系啊？

生：虽然建立了等量关系，但两种水果的质量都是未知数，没有已知数。

生：这里的未知数没有和已知数建立等量关系。

师：通过刚才的学习，相信大家对方程已经有了初步认识。这些式子中，有方程吗？

根据学生的回答整理出板书：

【赏析：这一环节的重点是让学生掌握方程的形式化定义。定义在概念学习中是十分有用的，能够减少学生通过正反例辨别概念相关属性所付出的努力。重视方程的价值，并不是说方程的形式化定义不重要，而是这种定义要让学生感受到其价值，学生才有学习的意愿。承接第一环节对方程有了初步认识之后，这里利用天平，再一次丰富学生对方程的认识，因为天平是等量关系最直观形象的表达，直观地表示出方程的实质是建立已知与未知之间的等量关系。由于有了天平作为由直观情境向抽象的数学表达之间的一个过渡，利用纯式子进行辨析方程的形式化定义就不那么突兀，学生易于接受。乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”在一次次的比较辨析中，自然剥离了方程的非本质属性，逼近了方程的本质，方程的概念呼之欲出。设计的练习采用正反例强化策略，紧紧围绕方程意义中的要素——未知量和等式，科学合理。最后两个变式设计新颖，在对第7题的判断中，强化了未知量，第8题则强化了等式。】

片断三：体会模型思想

学生分别列出4x=320。

师：观察三道题，你发现了什么？

生：列出的方程都一样。

师：奇怪，三个问题各不相同，怎么列出的方程是一样的？

生：因为它们说的都是同一件事。

师：既然这样，那你还能再找到一个问题，也能列出这样的方程吗？

（学生交流，汇报）

师：这样的问题，能找到多少个？

生：无数个。

师：那这无数个问题，为什么只需要一个方程就能表示出来？

生：因为它们的数量关系是一样的。

师：是啊，只要它们具有同样的数量关系，无论多少个问题，一个方程就能概括。这就是方程的魅力所在。

【赏析：方程即模型，方程背后是建模思想。在这一环节，张老师精心设计了三个不同的情境，抽象出同一个方程。在为什么的反思中，学生剥离了具体的情境，意识到“说的是同一件事”，实质就是让学生“去情境化”的过程，学生意识到这是一个模型。走出情境，是为了让学生建立模型，进行数学化的过程。让学生再找列出同样方程的问题是又进入情境，是为了加深对模型的认识，也是数学化的过程。在数学与生活之间转化，丰富学生的数学抽象思维，着力于思维的深刻性的培养】。