《封闭图形中的植树问题》教学思考

王立松 李 伟

一、教学前思

《封闭图形中的植树问题》是人教版小学数学教科书（2014版）五年级上册新增加的内容，它是在教学沿着一定的线段路线植树（两端都植和一端植一端不植）之后的封闭图形的植树问题。对于新课改中增加的教学内容，我们在教学中要理解增加背后的意图，把握教学的整体目标，在学生的经验中寻找兴趣点、提升点。

本单元《数学广角》主要渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型，然后用发现的规律来解决生活中的简单实际问题，通过比较让学生理解在封闭曲线上植树与一端植一端不植中的植树问题的联系。

与原实验教材相比，本次修订后的《植树问题》新增了《封闭图形中的植树问题》（新教材例3），将原来的“围棋盘”（原实验教材例3）移至练习二十四的第14题。另外，教材在“做一做”和练习中增加了“圆形滑冰场安装路灯”和“项链上的水晶”等生活实际问题，一方面激发学生的学习兴趣和探究欲望；另一方面帮助学生多角度、有效地体会和运用植树问题的数学思想和方法。

二、教学过程

1.创设情境，引入问题。

师：同学们喜欢玩游戏吗？

生：（齐）喜欢。

师：你们喜欢玩“抢凳子”的游戏吗？（喜欢）

（6人和5张凳子，每次淘汰1人，谁最后还能坐到凳子谁就是冠军）

师：从这个游戏中你了解到了哪些数学信息？

生：6个人抢5张凳子，就像我们前面学过的两端都植树的问题。

师：它们有什么相同之处和不同之处？

生：相同之处就是6人就相当于6棵数，5张凳子就相当于5个间隔数；不同之处两端都植树是一条线段，而抢凳子是首尾相接的曲线，如果从一张凳子拿开并拉直就是一条线段的植树问题。

师：说得太好了，今天这节课我们就来研究《封闭图形的植树问题》。（板书课题）

2.多元表征，感知模型。

（1）出示例 3：

张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？

你从题中知道了哪些信息？

这个植树问题和以往的问题有什么不同？

（一个是线段，一个是封闭图形）

师：就是这个问题，请用你喜欢的方法进行研究。

（2）借助操作，探究规律。

①初步体验，化繁为简。

师：我们用一个圆表示120米的池塘，每隔10米栽一棵树，大家可以用自己喜欢的图案表示树，每隔10米栽一棵树，照这样一棵一棵栽下去……是不是很麻烦？

生：很麻烦。

师：为什么觉得麻烦？

生：因为120米里面有12个10米，画起来比较麻烦。

师：我们可以先选取120米中一小段来研究。

②教师演示，直观感知。

教师边演示边说明。

师：我们选取120米中的40米来研究。

用一个圆表示40米，每隔10米栽一棵树。

如图，我们把这个圆平均分成几份？

也就是几个间隔数？栽了几棵树？

③化曲为直，再度感知。

师：如果把圆拉直成线段，你有什么发现？

（发现封闭图形和在不封闭图形中的“一端栽一端不栽”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。）

（3）借助表格，验证规律。

师：不用画图，如果这个池塘是 10米、20米、30米、40米……又应该栽几棵树呢？请同学们拿出学习纸，填写表格。

（4）比较归纳，理解规律。

师：比较这两种方法，你发现“封闭图形中的植树问题”中的间隔数和棵数有什么关系？

生：间隔数=棵树。

（5）及时巩固，强化规律。

师：同学们明白了封闭图形中的植树问题的间隔数和棵数之间的关系，老师出几道题考考大家：6个间隔数种了几棵树？10棵数有几个间隔数？操场周围栽了8棵数，每两棵树之间的距离是25米，这个操场的周长是多少米？

3.回归生活，实际应用。

（1）完成“做一做”。

出示“做一做”：圆形滑冰场的一周全长是150m。如果沿着这一圈每隔15m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？

师：用你喜欢的方法，解决这个问题。

（2）完成“练习二十四”第12题。

出示题目：一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？

（3）张大爷在正方形鱼塘边上植树，每边等距离植树10棵（四个角都植树），每两棵树之间距离4米。鱼塘的周长是多少米？

（4）20名同学在老师画好的圆形场地周围玩“丢手绢”游戏。开始的时候，他们每两人间的间隔是2米。玩了一会儿，有12名同学被淘汰，剩下的同学继续玩，间隔应改为多少米才公平？

（5）完成“练习二十四”第14题。

课件出示围棋棋盘，并将最外层分别放3枚、4枚、5枚……学生画图填表并理解。

4.对比小结，畅谈收获。

（1）畅谈收获。

师：通过这节课的学习，你有什么收获？

（2）对比小结。

师：回忆一下，“植树问题”有几种类型？每种类型中棵数与间隔数之间有什么关系？

三、教后思考

学生在学习本课前已经接触了植树问题，会解决在一条线段中的植树问题（两端都栽、只栽一端或两端都不栽），了解了栽的棵数与间隔数的关系。本课主要研究封闭图形上的植树问题，重点是让学生在头脑中建立解决此类问题的模型，如何让学生建立起封闭植树和线段植树的联系是教学的关键。因此在设计教学时，主要通过学生课前预习，课上采用生活游戏引入、演示感官探索规律等，激活学生的生活经验，动态反馈学生思维，沟通知识之间的联系，有效地突破教学难点，主要表现为以下几个方面：

1.关注学生学习的方式与方法。

学生在学习了例1和例2后，对植树问题有了一定的经验和基础。在教学例3时，教师要引导学生认真观察发现与前面植树问题的相同点和不同点，再通过小组合作交流，自主探究，让学生领会封闭图形中植树问题就相当于一端栽一端不栽的情况。

2.注重建立模型的对比与沟通。

学生学习植树问题的难点之一就是容易将两端都栽、一端栽另一端不栽和两端都不栽三种情况混淆。在学习完例3后，教师引导学生将这三种情况进行了对比与沟通，把只有一端栽作为基本的模型，再与两端栽或两端都不栽的实际情况进行比较，便于学生理解和记忆。

3.培养学生运用的意识与能力。

通过基本练习（“做一做”和练习二十四的第12题）和变式练习（求鱼塘周长、“丢手绢”游戏和练习二十四的第14题），培养学生灵活运用所学知识的应用意识和能力。求鱼塘的周长是将封闭图形中的圆形转化成长方形；“丢手绢”游戏则是植树问题数学模型的逆向应用，是让学生发现和理解植树问题中的“总长”、“间隔数长度”、“间隔数”和“棵数”之间的联系；而棋盘中的植树问题是从封闭图形中的曲线到正方形，引导学生通过填表格，让学生认真观察、分析、思考，发现其中蕴含的规律，即“每边放的棋子数”、“每边间隔数”和“最外层总数”之间的关联。