关于培养学生数学反思能力的思考

孟祥忠

摘 要：反思学习是提高学生素养的重要通道，也是教师提升专业水平的关键环节。作者就反思在现实教学中的重要性，提出了自己的观点。教师要善于激发学生在课堂中积极参与反思，强化学生在解题训练中的反思，组织学生不断进行阶段性反思。

关键词：反思学习；数学；学生素养

一、问题的提出

反思对教师的专业成长起着至关重要的作用。有的教师虽从教多年，但在专业素养上却提高甚微，缺少的就是“教学反思”这个环节。同样，在学生的学习活动中，进行科学而深刻的反思也尤为重要。笔者在近几年的教学中，做了一些关于培养学生反思意识和反思能力的尝试，深感反思在学生数学学习过程中的必要性和深远意义。本文结合数学新课程的教学，浅谈在新课程背景下，对培养学生数学反思能力的思考。

新《数学课程标准》赋予了数学课程“使每个学生获得必需的、与个性发展相适应的数学，从而获得数学素养的提高”的重大育人功能。数学素养的提高，能使学生形成“数学头脑”，从而在面对错综复杂的问题时，能够“数学地思考”，因而对学生的终身发展意义深远。数学课程强大的育人功能，要求每一个学生在教师的指导下，积极主动、充满自信、富有乐趣地学好数学，从而“让不同的学生各获最佳发展”。

然而，在现实教学中，数学却被相当部分学生视为“很难、无味、无奈”的学科。不少学生经常诉苦：

“上了一节数学课，听了不少，也练了不少。下课了大脑中留下来的却太少。”

“老师上课讲的例题我能听懂，但课后的作业我却不会做。”

“平时实在做了不少习题，但考试时面对‘新题，却还是找不着北。”

“数学概念、公式、定理太多且难记，很容易混淆、弄错。”

“作业、考试中的错题，我更正了。但下次考试时，我又犯了同样类型的错误。”

……

种种迹象表明，相当部分学生学习数学的效率低下，学习活动仅仅局限于记忆、模仿和积累，而缺乏对知识点的自主探究、对知识网络的主动构建以及对数学的归纳提炼。在紧张而忙碌的数学学习中，由于缺少了培养数学思维能力、提高数学素养的重要环节——数学反思，从而使数学学习仅仅停留在“是什么”的层面上，而忽略了“为什么”“还有什么”“怎么办”等拓展思维、提高解题能力的维度。

在此，就何谓数学反思、数学反思的必要性以及如何培养学生的数学反思能力等问题，浅谈自己的感悟。

二、反思的实质及其必要性

反思，即回顾与思考。古代思想家荀子曾言：“君子博学而日参省乎己，则知明而行无过矣。”可见，反思对于修身治道，其意深矣。

数学思维能力是数学素养的核心。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现直至反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体表现，同时又有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式做出思考和判断，在形成理性思维能力中发挥着独特的作用。

数学反思是这些过程中的一个重要环节。它不仅仅是对所学知识做一般性的回顾或温习，更是深究知识的形成过程，深究各知识点之间的有机联系以及知识网络的构建，深究在数学学习活动中所运用的数学思想、方法和技能，并将其进行抽象、归纳，获得数学经验，揭示数学规律，构建数学模型，从而在此基础上实现“再创造”或创新。

数学学习过程与方法唯有在不断反思中趋于完善。不断反思自己的数学学习过程，就能不断改进学习方法；不断经历交流、反思等学习过程，就能逐步深刻感悟到数学思想方法之精美，逐步把握数学探究活动的规律、技能和技巧，从而不断提高数学思维能力，提高数学素养。

三、如何培养学生的反思能力

1.激发学生在课堂中积极参与反思

“问题是数学的心脏”，在课堂教学中，教师要精心设计问题情境，提出对学生具有挑战性和吸引力的问题，激发学生的问题意识，激发学生的发散性反思、批判性反思以及构建性反思。

例如，在“多边形的内角和”教学中，教材以四边形ABCD为例，用一条对角线AC将其分为两个三角形，可得四边形内角和为360°；教师则可设计用两条对角线AC、BD将四边形分割成四个共点O的三角形，四边形内角和等于四个三角形内角和减去一个周角的度数，即360°。

在这一过程之后，学生对结论已基本明了，但他们或多或少地有一些想法或困惑。此时教师可适时逐步引导，鼓励学生参与反思和感悟：

（1）点O是AC、BD的交点。点O有自由吗？如果让点O在AC上动起来，结论还成立吗？

（2）点O不在线段AC上可以吗？在四边形内任意位置可以吗？

（3）点O在四边形ABCD边上可以吗？

（4）点O在四边形外部可以吗？

（5）这些方法有什么共同特点？

通过对以上问题的反思与感悟，学生们加深了对“分割转化”方法的认识，充分认识了各种探究方法的实质性联系，经历了知识的“生长”过程。在此“水到渠成”的基础上，再由学生自己选择自己所喜欢的方法合作探究五边形、六边形的内角和，则学生们往往会表现得自信积极，课堂将会呈现出和谐的师生互动、生生互动与合作交流的局面。经过这样的反思与感悟环节，学生们对这一知识点的掌握必将深刻，同时，也感悟了化归、类比等数学思维方法，其数学素养自然得到了发展。

再如，在学习“共线向量”时，不妨插入这样一个片段：先引入平行线的性质：“a∥b，b∥ca∥c”，然后很自然地板书，教师稍作停顿，静观学生反应。此时则给学生一个反思的时机。当学生恍然大悟地指出此式的错误时，“批判性反思”已经起到了平铺直叙难以达到的效果。

在课堂小结这个环节，教师其实也可以引导学生从知识、技能到数学思想方法等方面进行小结反思。通过设置诸如“这节课你学到了些什么？”“你觉得哪个环节最难？”“最难忘的环节？”“你感悟到了何种数学思想方法？”等问题，引导学生对本节课内容主动进行反思感悟，促进学生的思维参与，从而加深理解的深刻性，培养他们概括提炼和知识建构的能力。

实际上，只要教师精心设计，课堂中的反思无处不在。通过有效的课堂反思，可以激发学生的兴趣和热情，促进学生的思维参与，加强学生的智慧碰撞。日积月累，持之以恒，学生的数学素养将得到实质性的提高。

2.强化学生在解题训练中的反思

题海茫茫，仅靠多做题来记忆、模仿驾驭题海显然是不现实的。为了避免学生面对新题找不到北，解题后的反思至关重要。在教学中，教师应指导学生尽早养成解题后认真反思的习惯。每做完一个比较新鲜的数学题后，应该试着从以下几方面加强反思：①题中的条件信息是以何种形式呈现的？还可以用那些形式呈现？②这个数学题考查了那些知识点？③这个知识点可以用来解决那些问题？④用到了何种数学思想方法？⑤是否还有其他解法或更佳解法？⑥能否把此题作一般性推广和引申，从而构建数学模型？⑦改变原题的结构或适当改变题给条件，解题又如何变化？⑧我是如何根据题给“信息”联想“知识点”，从而找到解题思路的？⑨解题过程中出现错误的原因在哪里？该吸取怎样的教训？今后应该注意什么？

例如，在《高二数学选修（2～3）基础训练》中，有这样一道题：

4名师范学生在毕业后分配至3个学校。每个学校至少分配1人，有多少种分配方案？

我让学生在课后结合此题思考如下几个问题：①你能想出几种办法？分别体现了何种数学思想方法？②再做一题：设A={1、2、3、4}，B={5、6、7}，B中的元素在A中都有原象，则可建立多少个A→B的映射？③比较前两题，能否构建一个“问题模式”？④请再编一“同模”习题。在习题课上，大家踊跃回答，设计了很多好题，并逐步归纳出“4个不同的球入3个不同的盒子不空”这一问题模型，并进一步推广为“m个球入n个不同盒子不空”问题模型。我因势利导，再提出“m个相同的球入n个相同盒子不空”模型的解法。学生们经过思考讨论后，弄清了这两个模型的区别，从而掌握了“两串”数学题。当学生们后来见到某省高考题中一道“四个部门任选三个风景区中的一个去旅游（各部门选择每个景区是等可能的），求三个景区都有部门选择的概率”一题时，大家马上能将其得心应手地抽象为“四个不同的球入三个不同盒子不空”问题模型而求解。

再如，在一习题中有一条件为“函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点”。在解完此题后，不如设问请学生反思：这一条件还可以用哪些形式给出？答案很多：①方程ax2+bx+c=0有两个不等实根；②若f（x）=ax2 +bx+c，存在实数m，使得af（m）<0；③已知g（x）=a（x-m）2+n，an<0 ；④已知 g（x）=a（x-m）（x-n），（m≠n）……

通过对此问题的思考，拓展了学生的解题思路，实现了“一题多变，一题多用”，培养了他们的思维发散性和深刻性，促进了知识向能力的转化，从而提高了解题的应变能力。

3.组织学生不断进行阶段性反思

“学而时习之”“温故而知新”，单元复习或阶段回顾非常重要。在这一过程中，尤其需要组织和指导学生进行深刻的数学反思以构建知识网络，提高解题能力，并改进学习方法。

在平时的学习中，学习往往是知识点的积累和解题经验的堆积。如何将这些知识点按照科学的线索有机融合为知识模块并进一步构建清晰的知识网络，如何将解题经验上升为“居高临下，游刃有余”的通法、解题策略或对近段的学习加以整合感悟，以优化适应自己的学习方法？在平时的单元复习或期末复习中，我指导学生做了如下尝试：

（1）创作“知识点方框结构图”。让学生事先熟读单元知识点后关上书本，按照知识点之间的纵向及横向联系，闭卷创作一幅“单元知识方框结构图”。在结构图右侧，按知识点序号列出相应的重要公式或定理。一学期下来，将各单元知识点结构图装订成册。

（2）撰写“单元学习小结”。结合具体的数学问题，将近段时间以来在数学学习中的得意与困惑、解题方法的感悟与思考、学习进步或退步的原因剖析，以及对学习数学的兴趣与信心、对老师的教学建议等，写成一篇简洁的短文，以作业的形式上交。教师做书面评析指导后再发还给学生保存。

（3）充实“错题本”。要求学生将一段时间以来在作业、练习、考试中出现的错题录入“错题本”。简要地表述错处、错因以及录入“错题本”时的思考，并将“错处、错因”用红笔做出醒目记号。

以上几种单元复习的形式，实质上是给学生具体的反思渠道。通过“阶段性”反思，学生的思维从感性上升到理性，知识印象由知识点集结成知识网络。同时，对学生的学习态度与情感、学习方法与效率以及教师的教学反馈与调节，都将产生积极有效的促进作用。

生活中有这样一道选择题值得我们思考——你最难忘的人是：A.你听说的人；B.你有时见到的人；C.你天天见到的人；D.你在心中回忆思念着的人。答案不言而喻。要解决学生“难学”的问题，实现学生学习的兴趣和信心由“负螺旋”到“正螺旋”的转变，培养学生的反思意识和能力至关重要。反思是提高学生数学知识与能力素养的重要通道。“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，但愿古人治学的最高境界在今天的新课程教学中呈现精彩。

（作者单位：湖南省株洲市第三中学）