能分离，则难偏自消，方程解集显函数



能分离，则难偏自消，方程解集显函数

——从2015年全国高考看函数与方程的本质关系

四川省汶川县汶川中学(623100)樊梅

文[1]指出，一般的多元方程中，变量之间就有确定的隐函数关系(实解)，变量的取值范围(实解集)是自然确定了的,只要能解出一个变量(分离变量)就得到一些显函数(解出的变量就表示含其余变量代数式的值，因此，显函数是特殊的多元方程，是代数式(代数式整体换元就是显函数,即一般的多元方程和代数式都是隐函数,即一般方程中分离变量就得显函数，代数式换元就得显函数)，是多元方程实解的表达式)，求显函数的定义域或值域就可求得变量的取值范围,也就可判定方程有无实解,有多少实解,实解的分布等,反映在与之等价的图像(方程的图像就是方程解集的另一等价表现形式)上,就是平行于x轴的直线与函数图像有无交点，有多少交点，交点分布的那部分函数值域问题,因此,数学问题的本质是方程的解集,在坐标系上就是方程的图像. 因此，在方程(不等式)中，若能分离变量，则方程(不等式)就化为显函数，通过函数广泛解决方程问题，特别解决无法解出或很难解出变量的方程的解集问题，这也是高考的热点问题.

(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.

(2)参考解答因用分类讨论而很难，但分离参数化为显函数求值域就不难了.

图1

例2(2015年全国高考四川卷理21)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.

(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立，且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

(x0>1)②，由①、②消去a得

注：例2本质是二元方程组

参考文献

[1]熊福州,张龙跃.数学问题的根基本质是方程的解集[J].中学数学研究(江西),2015,7.