一道经典几何不等式的探究



一道经典几何不等式的探究

福建省大田第五中学(366100)杨维州

1.解法探究

1.1放缩证明

1.2换元证明

1.3柯西不等式证明

1.4三角-琴生不等式证明

1.5柯西-琴生不等式证明

2.变式探究

2.1加权探究

推广形式较为复杂，但对称优美，若对参数m,n,k取特定的值，可以得到许多简洁优美的不等式.不妨令m=n=2,k=1，则有如下推论：

2.2指数探究

在原题中作如下变换：a→ap,b→bp,c→cp，立得变式2成立.

证明:易知，在锐角三角形中，有b2+c2-a2>0,c2+a2-b2>0,a2+b2-c2>0，在原题中作如下变换：a→a2,b→b2,c→c2，立得变式3成立.