水下环肋功能梯度材料圆柱壳耦合振动的波动解

梁 斌，陈金晓，李 戎，张 伟

（1.河南科技大学 土木工程学院，河南 洛阳 471023；2.九州工业大学机械系，日本 北九州 804-8550）

水下环肋功能梯度材料圆柱壳耦合振动的波动解

梁 斌1，陈金晓1，李 戎2，张 伟1

（1.河南科技大学 土木工程学院，河南 洛阳 471023；2.九州工业大学机械系，日本 北九州 804-8550）

研究了考虑功能梯度材料的水下环肋圆柱壳耦合振动特性。根据Flügge理论和正交各向异性板壳理论，采用波动法推导出静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合振动特征方程，运用牛顿迭代法得到静水压力下环肋FGM圆柱壳的耦合频率值。经过退化计算，与已有文献的研究结果进行对比，验证了文中计算的正确性和有效性。通过算例，分析了静水压力下环肋FGM圆柱壳在不同静水压力、材料组分、体积分数、壳体尺寸、肋条尺寸和数目等情况下耦合振动的变化规律，以及这些因素对耦合频率的影响。

功能梯度材料；静水压力；环肋；圆柱壳；波动法；耦合频率

0 引 言

功能梯度材料（functionally graded material，简称FGM）是一种特殊的各向异性材料，自从其设计概念由日本科学家在1984年提出以来，由于功能梯度材料体现出的优异性能和新颖材料的设计思想，引起了广大学者的高度重视并开展了功能梯度材料结构性能的研究。环肋圆柱壳是工程中常用的一类结构形式，如火箭、潜艇耐压壳以及海洋平台桩腿等，这类结构工作环境非常复杂和极端，常受到强空气动力作用、极端气候环境及流体的作用，需要对这类结构的动力特性进行深入研究。

目前，关于功能梯度材料、环肋或水下圆柱壳的动力性能研究已取得一些研究成果。Loy等[1-3]在经典薄壳理论的基础上，利用Rayleigh法建立FGM圆柱壳自由振动的特征方程，并根据特征方程求出FGM圆柱壳的固有频率，分析了边界条件、体积分数、材料组分等因素对FGM圆柱壳自由振动的影响。Li[4]利用波动法研究了圆柱壳的振动特性，并将该方法与数值有限元建模研究进行比较，发现该方法计算结果对复杂边界条件和长壳结构更精确。Rahimi等[5]基于Sander壳体理论，运用能量法研究了功能梯度材料的体积分数呈指数分布时，加肋FGM圆柱壳的振动特性。Liu[6]采用Love壳体理论和波动法分析了环肋形式、肋条尺寸和数目等因素对充液环肋圆柱壳耦合振动的影响。甘等[7]采用Flügge经典壳体理论和正交各向异性分析方法，研究了在薄膜简支边界条件下和静水压力下环肋圆柱壳的自由振动基频，并分析了基频最低包络面。陈[8]根据无损预报方法计算了静水压力下环肋圆柱壳弹性失稳的临界荷载，分析了边界条件对静水压力下环肋圆柱壳临界荷载的影响。以及其他研究文献[9-12]。但是由于振动控制方程的高度非线性问题，尚未发现综合考虑功能梯度材料、环肋及静水压力等组合因素下圆柱壳振动特性的研究文献。

本文在Flügge理论和圆柱壳正交各向异性理论的基础上，首次采用波动法建立静水压力下环肋功能梯度材料圆柱壳耦合振动频率的特征方程，运用牛顿迭代法求解特征方程得到耦合频率。通过两类退化计算对比，验证本文研究方法的有效性和正确性。最后通过算例，探讨静水压力、加肋形式、肋条尺寸和数目、功能梯度材料组分、体积分数、壳体参数、边界条件等因素对水下环肋功能梯度材料圆柱壳耦合振动的影响。

1 力学模型

假定水下环肋（外加肋）圆柱壳力学模型如图1所示，R表示平均半径，L表示圆柱壳长度，h表示圆柱壳壁厚，hr表示肋条截面高度，br表示肋条截面宽度，d2表示肋条间距，e2表示环肋的偏心距，本文在圆柱壳的中面上建立正交坐标系（x,θ, ）z，其中x,θ和z分别为圆柱壳的轴向、环向和径向坐标。

图1 环肋圆柱壳及其环肋截面模型Fig.1 Geometry of ring-stiffened cylindrical shell and stiffener

圆柱壳和肋条均采用相同的功能梯度材料。假设圆柱壳沿厚度方向的弹性模量与材料组分的百分比有关，则其函数表达式为：

其中：V1和V2分别是圆柱壳内、外表面材料的体积百分比，P为幂率指数，其取值范围为0≤P≤∞。

当圆柱壳的组分材料为两种时，假定内、外表面材料参数分别为弹性模量E1，E2、质量密度ρ1，ρ2和泊松比υ1，υ2，环肋FGM圆柱壳的等效弹性模量E，泊松比υ，材料密度ρ表示如下：

2 理论推导

根据Flügge理论和正交各向异性理论，静水压力下环肋圆柱壳的运动方程表示如下[9]：

用波动法表示的圆柱壳振动位移方程如下：

其中：Um，Vm，Wm分别表示x,θ,z方向的波幅，ω表示固有角频率，km的大小与边界条件有关。

计算中需要考虑流体与圆柱壳结构的耦合效应，在流体中用柱坐标表示的声压场为：

其中：Jn（）表示n阶Bessel函数，轴向波数km和径向波数kr满足的关系表达式为：

其中：ρf表示流体密度，Jn′（）表示函数对变量krR的一阶导数。将（5）式代入（4）式，并结合方程（6）得到用矩阵表示的耦合系统运动方程：

其中：FL表示流体声场作用所产生的流体荷载项：

将方程（12）代入到方程（11）中求解方程，可以得到：

3 数值计算及分析

本文通过退化计算来验证理论研究的有效性和正确性，退化计算结果见表1与表2。表1给出了简支条件下各向同性材料环肋圆柱壳固有频率的退化计算，结果与参考文献[11]进行了对比。表2则给出了三种边界条件和静水压力下圆柱壳的耦合频率退化计算，结果与参考文献[12]进行了对比。两类退化计算表明了本文研究方法的正确性和有效性。表中m表示轴向半波数，n表示周向波数，Q表示静水压力。

表1 简支条件下环肋圆柱壳固有频率计算结果对比分析Tab.1 Comparison between the results of calculation of the natural frequencies for stiffened cylindrical with SS-SS

表2 不同边界条件下静水压力下圆柱壳耦合频率计算结果对比分析Tab.2 Comparison of fundamental natural frequencies under different hydrostatic pressures in various boundary conditions

续表2

本文通过多组算例研究了静水压力下环肋FGM圆柱壳的耦合振动特性，通过变化材料组分、静水压力、边界条件、壳体尺寸、肋条数目等多种因素，分析了耦合频率的变化规律，计算结果见图2-9。考虑到圆柱壳在静水压力状态下的稳定性，计算中通常考虑耦合频率为0时的静水压力值为临界静水压力值。本文计算时，静水压力值均控制在临界静水压力值以下。算例中，规定圆柱壳的功能梯度材料组分为外表面不锈钢、内表面氧化锆，文中所用到的组分材料参数见表3，计算中所选用的材料参数为：h/R=0.01，L/R=20，hr=0.005 82 m，br=0.002 18 m，P=1，m=1，n=2肋条数目Nr=19。

表3 材料参数表Tab.3 Material parameters

图2 不同静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线Fig2 Coupling frequency of submerged FGM cylindrical shell under different hydrostatic pressure

图3 不同轴向半波数m时静水压力下环肋FGM圆柱壳的耦合频率变化规律曲线Fig.3 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different axial half wave numbers

图2给出了两端固支和一端固支、一端自由条件下，不同周向波数n时，静水压力对环肋FGM圆柱壳耦合频率的影响规律曲线。从图中可以看出，随着静水压力的增大，耦合频率逐渐减小，但减小幅度不明显。两种边界条件下，耦合频率随着n值增大的变化规律不同，两端固支时，耦合频率随着n值的增大先减小后增大；一端固支一端自由时，耦合频率随着n值的增大而增大。当n=1时，静水压力对耦合频率的影响在一定程度上可以忽略不计。

图3给出了在两端固支和一端固支、一端自由时，环肋FGM圆柱壳的耦合频率随着周向波数n和轴向半波数m的变化规律曲线。取Q=10 kPa，从图中可以看出，边界条件和m值对耦合频率的影响主要表现在n值较小的情况下。当n=1～4时，两种边界条件下的耦合频率均随着m值的增大而显著增大，其中n=1和n=2时，增大幅度是成倍的；n=3和n=4时增大幅度明显减小；n＞4时，m值和边界条件对耦合频率的影响可忽略。

图4 不同材料组分的静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线Fig.4 Coupling frequency of submerged FGM cylindrical shell with various material components

图5 不同体积分数下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线Fig.5 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different volume fraction

以下取n=2。图4给出了两端固支条件下，不同材料组分对连续静水压力下环肋圆柱壳耦合频率的影响规律曲线。从图中可以看出，不同材料组分的环肋圆柱壳耦合频率均随着静水压力的不断增大而降低，在离临界静水压力值较远时，耦合频率的下降幅度比较均匀；在接近临界静水压力值时，耦合频率的下降幅度增大。材料组分对耦合频率的影响比较显著，这种影响主要体现在对振动强度的改变上，对耦合频率的变化规律并无太大的影响。

图5给出了两端固支条件时，不同体积分数下环肋FGM圆柱壳耦合频率的变化规律曲线。从图中可以看出，不同体积分数的耦合频率变化规律相似，P=0（环肋圆柱壳材料为不锈钢）时，耦合频率最大，P→∞（环肋圆柱壳材料为氧化锆）时，耦合频率最小。随着P值的不断增大，耦合频率不断减小，但耦合频率一直介于两种单一材料的耦合频率之间。当P＞10时，体积分数对耦合频率的影响可以忽略不计。

图6 不同h/R条件下静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线Fig.6 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different thickness-radius ratio

图7 不同L/R时静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线Fig.7 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different length-radius ratio

图6给出了两端固支条件下，静水压力下环肋FGM圆柱壳的耦合频率在不同h/R时的变化规律曲线。从图中可以看出，耦合频率均随着h/R的增大而显著增大，且增大幅度比较均匀；不同h/R下的耦合频率均随着静水压力的增大而连续下降。

图7给出了两端固支条件下，不同L/R对静水压力下环肋圆柱壳耦合频率影响规律变化曲线。从图中可以看出，耦合频率均随着L/R的增大而减小，且下降速度随着L/R的增大迅速减小，在L/R≤15时，下降速度较快，在L/R＞15时，下降速度相对缓慢许多。

图8给出了两端固支条件下，不同hr/br时静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线，从图中可以看出，不同hr/br下的耦合频率变化规律相似，且耦合频率非常接近，即hr/br对耦合频率的影响并不明显。

图9给出了两种边界条件下，不同肋条数目对静水压力下环肋圆柱壳耦合频率影响规律变化曲线。从图中可以看出，耦合频率均随着Nr的增大而不断增大，但这种增大幅度并不明显。两端固支的耦合频率明显大于一端固支、一端自由的。h/R=0.05时的耦合频率比h/R=0.01时的大几倍之多。

图8 不同hr/br时静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线Fig.8 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different hr/br

图9 不同Nr时静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率变化规律曲线Fig.9 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different number of ring ribs

4 结 论

（1）环肋FGM圆柱壳的耦合频率均随着静水压力的增大而减小。当静水压力远离临界静水压力值时，耦合频率的减小速度比较均匀；当静水压力接近临界静水压力值时，耦合频率减小速度增大。

（2）不同材料组分和不同体积分数时，静水压力下环肋FGM圆柱壳的耦合频率值不同，但耦合频率变化规律相似；考虑功能梯度材料这一因素之后，环肋圆柱壳结构的振动强度发生变化，临界静水压力值亦随之发生变化。

（3）在两端固支和一端固支、一端自由两种边界条件下，当m值不同时，静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合频率随n值增大的变化规律不同；边界条件和m值对耦合频率的影响主要表现在n值较小的情况下；当n增大到一定值时（一般为4），边界条件和m值对耦合频率的影响可以忽略不计。

（4）环肋圆柱壳的几何尺寸对耦合频率的影响比较明显，耦合频率随着h/R的不断增大而增大，增大幅度比较均匀；耦合频率随着L/R的不断增大而减小，在L/R较小时，减小幅度比较明显，当L/R增大到一定值时，L/R对耦合频率的影响减弱许多；与壳体尺寸相比，肋条截面尺寸和肋条数目对耦合频率的影响相对弱很多，在一定条件下，这种影响可以忽略不计。

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Study on the coupled vibration of submerged ring-stiffened cylindrical shells with functionally graded material using wave propagation approach

LIANG Bin1,CHEN Jin-xiao1,LI Rong2,ZHANG Wei1
(1.Civil Engineering School,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China;2.Department of Mechanical Engineering,Kyushu Institute of Technology,Kitakyushu-city,804-8550,Japan)

The coupled vibration characteristics of submerged ring-stiffened cylindrical shells based on functionally graded material(FGM)is studied.According to Flügge theory and orthotropic theory,the coupled vibration characteristic equations of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shells are derived by wave method.The coupled frequency of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shells is obtained by the Newton iteration method.The present analysis is validated by comparing results with those in the literature. By numerical examples,the effects of hydrostatic pressure,material component,volume fraction,shell size, ring size and number,and boundary condition on the natural frequencies of submerged ring-stiffened cylindrical shell are illustrated.

functionally graded material;hydrostatic pressure;ring-stiffened;cylindrical shell; wave method;coupled frequency

U661.44

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.009

1007-7294（2016）08-0999-08

2016-05-05

国家自然科学基金资助项目（51105132，11402077）；河南省自然科学基金项目（122300410112）

梁 斌（1963-），男，教授，博士生导师，E-mail:liangbin4231@163.com；陈金晓（1991-），女，硕士生，E-mail:chenjinxiao0520@163.com。