湍流激励下简支平板振动特性的解析法研究
2016-05-04陈美霞魏建辉
陈美霞，罗 琦，魏建辉
（华中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉430074）
湍流激励下简支平板振动特性的解析法研究
陈美霞，罗 琦，魏建辉
（华中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉430074）
解析法基于随机激励理论，采用湍流脉动压力的Corcos模型作为输入，结合考虑流固耦合时平板的频响函数，求解得到平板振动速度的自功率谱密度。计算结果同已有文献吻合较好，证明了解析法的正确性。同时研究结果表明：湍流激励下平板的振动特性体现了平板本身的固有特性；随着来流速度的增大，平板振速的均方谱密度幅值按一定的数值关系增大。
湍流边界层；随机激励理论；平板振动特性；解析法
0 引 言
当潜艇航行时,物面边界层由层流发展为湍流。湍流边界层内随机的速度扰动产生的随机的脉动压力激励弹性结构振动并产生辐射噪声。湍流脉动压力是面分布的随机激励力源，其分布特性决定了输入给结构的能量，人们通常采用频率-波数谱定量地描述它与结构相互作用的空间和时间耦合程度。经典的湍流脉动压力频率-波数谱模型首先由Corcos[1]建立,他由试验结果拟合得到窄带的空间相关函数,再通过空间域和时域的傅里叶变换得到湍流边界层脉动压力的频率-波数谱模型。Kraichnan和Skudrzyk[2]、Haddle[3]等人对湍流边界层脉动压力进行了定量描述研究，并给出了平板表面湍流脉动压力的自功率谱密度的表达式。湍流脉动压力是时间和空间上的随机过程，平板受其激励产生的振动和声辐射也是随机过程，因此需要采用统计方法进行描述。Strawderman[4]考虑了流体负载的耦合作用，研究了无限大平板和简支平板在湍流脉动压力激励下的振动响应。他利用湍流脉动压力的互功率谱密度作为激励源，求解得到振动响应的功率谱密度函数，数学表达式比较复杂，但计算直观方便。Davies[5]针对矩形平板，采用频率-波数谱求解弹性结构受湍流脉动压力激励的振动和声辐射，提出了模态波函数概念，并据此分析了矩形平板振动模态与湍流脉动压力空间耦合的特征，计算结果与试验结果比较一致。俞孟萨，吴有生[6]综述了湍流边界层脉动压力的频率-波数谱模型、湍流脉动压力的测量方法以及弹性结构受湍流边界层脉动压力激励的外场辐射声场计算方法；吕世金，白振国[7]采用湍流脉动压力的波数-频率谱模型作为输入计算了加肋无限大板在湍流激励下肋骨对结构振动和声辐射的影响。陈美霞，魏建辉[8]提出了一种基于随机激励理论计算结构在湍流激励下振动特性的半解析半数值算法，计算结果同已有文献中解析法计算结果吻合较好。Liu等人[9]利用试验研究了湍流激励下平板是否加筋及加筋稀密、位置对振动、噪声的影响。
本文解析法采用湍流脉动压力的Corcos模型作为输入，结合考虑流固耦合时平板的单频响应函数，进而求解出平板振动响应的自功率谱密度和均方谱密度。
1 基本理论
1.1 数理模型
四边简支有限长平板浸没在密度为ρf、声速为cf和来流速度为U0的流体中，其z<0的表面受到湍流脉动压力的激励。本文中来流速度U0与声速cf相比可忽略不计，因此不考虑对流运动对声速的影响，认为声速cf为一恒值。若已知湍流脉动压力的统计激励特性，可以将它作为一种外力激励平板，再求解平板和流体的耦合振动。在以上过程中忽略平板振动和声辐射对湍流边界层的影响，即认为湍流脉动压力的激励特性是相对独立的参量，它与平板振动和声场之间没有耦合。
图1 有限长四边简支平板及坐标参考系Fig.1 Finite plate and coordinate reference system
平板声-流场-平板耦合振动的总控方程可写成：
式中：D为平板的弯曲刚度，r为损耗因子，μ为平板单位面积的质量。平板受到的三种压力分别为：平板z<0表面的湍流边界层脉动压力；平板z<0表面的声压；平板z>0表面的声压pa。
平板振动引起的声压满足波动方程：
流体与平板耦合面的连续性条件：
1.2 随机激励理论
根据线性系统的叠加原理，湍流激励下平板振动位移的表达式为：
式中：θ=t-t′，hw为平板振动位移的脉冲响应函数。
根据随机激励理论，湍流激励下平板振动位移的互相关函数为：
（5）式进行时域-频域的傅立叶变换，得湍流激励下平板振动位移的互功率谱密度：
式中：Spp为湍流脉动压力的互功率谱密度函数，Hw为平板振动位移的单频响应函数。
根据Hw的物理含义可知：
（8）式表明：湍流激励下平板振动速度的互功率谱密度的得到关键在于确定湍流脉动压力的互功率谱密度函数和平板振动位移的单频响应函数。
1.3 湍流脉动压力的互功率谱密度
经典的湍流脉动压力模型首先由Corcos建立,脉动压力在空间域上的互功率谱密度的表达式为：
式中：Φp（ω）为表面某一点脉动压力的自功率谱密度（均方压力谱密度）；ξ,η分别为沿来流方向和垂直来流方向的坐标分量，是空间两点的相对距离；Uc为湍流边界层在来流方向的迁移速度，实验表明Uc=（0.6～0.8）U0。
文献[3]给出了平板表面脉动压力的自功率谱密度Φp（ω）的表达式：
式中：ν为流体的运动粘性系数，L为来流距离，f0为平板的迁移频率。
（11）式表明：在f
平板的迁移频率f0的表达式为：
（12）式表明：平板的迁移频率f0随着来流距离增大逐渐变小，随着来流速度的提高逐渐变大。综合（11）、（12）式可知：随着流动的进行,迁移频率变小，脉动压力也随之变小；随着来流速度的提高，迁移频率变大，脉动压力也变大。
1.4 平板振动位移的单频响应函数
1.5 平板振动速度的互功率谱密度
2 算法验证
为了验证解析法的正确性，以文献[8]中的平板为例。平板的计算参数如下：
（1）板的几何尺寸及物理参数
平板的几何尺寸：a×b=3 ft×2 ft。平板的抗弯刚度D=3.56×103lb·ft，平板单位面积的质量μ=0.317 lb-s2/ft3，结构损耗因子r=0.01。
（2）流场的物理参数及流动参数
自由流动速度U0=17 ft/s，边界层位移厚度δ=0.832 5 in。
（3）计算频率
本文的计算频率为1～273 Hz,间隔2 Hz；278～818 Hz，间隔5 Hz。
图2中的169号节点〈坐标（x，y）=（a/2，b/2）〉和224号节点〈坐标（x，y）=（3a/4，b/2）〉在文献[8]中已给出了计算结果，提取这两个点的解析法结果与之进行对照，如图2所示。
图2 平板速度响应的自功率谱密度Fig.2 The power spectral density of plate velocity
解析法与文献[8]中半解析半数值法计算结果对比可知，两条曲线的趋势基本一致，峰值位置基本吻合，峰值大小相近。图2中两条曲线整体的吻合程度表明解析法的可行性和正确性。解析法的误差主要在于声场与平板之间耦合项的处理及模态截断；文献[8]中半解析半数值法的误差主要在于网格划分及模态截断。解析法计算单个频率耗时16 s左右，而半解析半数值法计算单个时间耗时82 s左右，以上计算均是在主频2.80 GHz、内存8 GB的计算机上完成的。从上可知，解析法的优势是计算时间大大减少，且适合进行机理性研究和影响规律分析。
3 算例研究
3.1 计算参数
计算模型如图1所示，其计算参数如下：
几何尺寸：a×b=0.65 m×0.60 m，厚度h=0.005 m；
材料参数：泊松比ν=0.3，杨氏模量E=2.1×1011N/m2，密度ρs=7 800 kg/m3，结构损耗因子η=0.01；
流场参数：流场介质声速cf=1 500 m/s，流场密度ρf=1 000 kg/m3；
来流速度：U0=6 kns/8 kns/13 kns，来流距离：L=1 m；
计算频率：10-200 Hz，间隔1 Hz。
平板速度响应点：A点坐标为（a/2，b/2），B点坐标为（3a/4，b/2）。a为平板在来流方向的长度，b为平板在垂直来流方向的长度，如图1所示。
3.2 来流速度对平板振动的影响
根据公式（11）、（12）可知，来流速度U0分别为6 kns、8 kns和13 kns时平板表面某一点的脉动压力的自功率谱密度Φp与频率f之间的关系如图3所示，不同来流速度之间平板表面某一点的脉动压力的自功率谱密度曲线之间的增量为（f0为迁移频率）：
图3 不同来流速度下平板表面某一点脉动压力的自功率谱密度变化曲线Fig.3 The power spectral density curve of pulsating pressure at different stream velocity
分别计算来流速度U0为6 kns、8 kns和 13 kns时平板振动速度的自功率谱密度，计算结果如图4所示。
由图4可以看出，随着来流速度的增大，平板各点振速的自功率谱密度和均方谱密度变大，并且在不同来流速度下平板振速的频谱特性曲线变化趋势基本是一致的。这主要是因为平板的速度响应取决于输入，本文平板的输入都是Corcos模型的互功率谱密度，图3表明脉动压力随着来流速度的增大的变化趋势是基本一致的，而平板的频响函数与本身特性的相关是固定的，因此不同来流速度下平板振速的频谱特性的趋势是一致的。
图4 不同来流速度下平板振动速度的对比Fig.4 The plate velocity at different stream velocity
表1 不同来流速度下平板的迁移频率Tab.1 f0at different stream velocity
由（12）式可知，平板在不同来流速度下的迁移频率如表1所示。
根据图4和表1，利用公式（9）、（11）、（21），通过数值拟合计算可知，不同来流速度之间平板振动速度自功率谱密度的增量为：
式中：U1>U0，f0为迁移频率。
为验证其增量关系的正确性，将图4（c）中来流速度为6 kns、8 kns的曲线根据增量关系分别偏移得到来流速度为7 kns的曲线，并与来流速度为7 kns时的直接计算结果对比，如图5所示。
由图5可知，两种方法得到的曲线吻合得非常好，说明了不同来流速度之间平板振动速度自功率谱密度的增量关系是正确的。若已知某一来流速度下平板振速的自功率谱密度曲线，通过增量关系对其进行偏移，则可得到其他来流速度下平板振速的自功率谱密度曲线。
图5 来流速度为7 kns时平板振动速度响应Fig.5 Plate velocity when U0=7 kns
3.3 计算结果分析
为了解湍流激励下平板振速响应峰值点与平板固有特性之间的关系，以来流速度U0=6 kns时平板的振动速度的自功率谱密度曲线（如图4所示）为例，进行以下相关研究。
根据（18）式编程利用扫频计算求解得到水中平板前6阶的固有频率如表2所示。
取图4（c）中平板各个振速峰值点对应的频率可得湍流激励下平板振速峰值点对应的频率如表3所示。
表2 水中平板前6阶固有频率Tab.2 First 6 natural frequency of plate in water
表3 湍流激励下平板振速峰值点对应的频率Tab.3 Frequency of the plate velocity corresponding to the peak point
图6 各个峰值点对应频率的速度响应云图Fig.6 The velocity contour corresponding to the frequency of the peak point
利用matlab编程对计算结果进行可视化处理，得到图4（c）中湍流激励下平板振速响应曲线各个峰值点对应频率的振动速度响应云图如图6所示。
综合表2、表3和图6可知，湍流激励下平板振速的峰值点对应的频率在水中平板的固有频率附近，且峰值点对应频率的振动速度响应云图与固有模态一致，表明湍流激励下平板的振动特性体现了平板本身的固有特性。
4 结 论
本文解析法采用湍流脉动压力的Corcos模型作为输入，结合考虑流固耦合时平板的单频响应函数，求解出平板振动响应的自功率谱密度。解析法计算结果同已有文献吻合较好，证明了本文解析法的正确性。本文方法相对于数值法来说计算时间大大减少，且适合进行机理性研究。研究结果表明湍流激励下平板振动特性体现了平板本身的固有特性。本文还对来流速度对湍流激励下平板振动特性的影响进行了研究，得出了以下结论：随着来流速度的增大，平板的振动越发剧烈；不同来流速度之间平板振动速度自功率谱密度的增量为：，式中：U1>U0，f0为迁移频率。
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Analytical method for calculating the vibration characteristics of simple-supported plate excited by turbulent boundary layer
CHEN Mei-xia,LUO Qi,WEI Jian-hui
(College of Naval Architecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)
An analytical method based on random excitation theory,the power spectra density expression of the excitation caused by turbulent boundary layer given by Corcos as input,combined with the frequency response function considering fluid-structure interaction,the power spectral density of the plate velocity is calculated.The calculated results are in good agreement with references,proving the correctness of the analytical method.The research results show that the vibration characteristics of the plate excited by turbulent boundary layer reflects the inherent characteristics of the plate itself;the mean square spectral density of the plate's velocity becomes higher as the stream velocity becomes higher.
turbulent boundary layer;random excitation theory;vibration characteristic;analytical method
O357
：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2016.04.013
1007-7294（2016）04-0487-10
2015-07-03
国家自然科学基金资助项目（51179071）；中央高校基本科研业务费资助，HUST（2012QN056）
陈美霞（1975-），女，副教授；罗 琦（1988-），男，硕士，通讯作者，E-mail:lqymydtt@163.com。
