函数中的三个“二次”及关系

杨　爽

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.

一、例题分析

例1 已知二次函数f（x）=ax ２+bx+c和一次函数g（x）=－bx，其中a、b、c满足a>b>c，a+b+c=0（a，b，c∈R）.求证：两函数的图象交于不同的两点A、B.

证明：由y=ax２+bx+c，y=-bx，消去y得ax２+2bx+c=0.

Δ=4b２－4ac=4（－a－c）２－4ac=4（a２+ac+c２）=4［（a+ ）２+ c２］.

∵a+b+c=0，a>b>c， ∴ a>0，c<0.

∴ c２>0. ∴ Δ>0，即两函数的图象交于不同的两点.

二、分析总结

1．二次函数的基本性质

（１）二次函数的三种表示法：y=ax２+bx+c；y=a（x－x1）（x－x２）；y=a（x－x０）２+n.

（２）当a>0，f（x）在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x０= （p+q）.若－

2．二次方程f（x）=ax２+bx+c=0的实根分布及条件

（１）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小?圳a•f（r）<0．

（２）二次方程f（x）=0的两根都大于r ?圳Δ=b２-4ac>0，- >r，a•f（r）>0．

（３）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根?圳Δ=b２-4ac>0，p<- 0，a•f（p）>0．

（４）二次方程f（x）=0的两根在区间（p，q）内只有一个?圳f（p）•f（q）≤0.

（５）方程f（x）=0两根的一根大于p，另一根小于q（p

3．二次不等式转化策略

（1）二次不等式f（x）=ax２+bx+c≤0的解集是：（－∞，α］∪［β，+∞）?圳a<0且f（α）=f（β）=0．

（2）当a>0时，f（α）

|β+ |．

（3）当a>0时，二次不等式f（x）>0在［p，q］恒成立或?圳- 0或p≤- 0或- ≥p，f（q）≥0．

（4）f（x）>0恒成立?圳a>0，Δ<0或a=b=0，c>0．f（x）<0恒成立?圳a＜0，Δ<0或a=b=0，c<0．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”