数学直觉思维的教学价值、特质及其培养路径

孙展孝　刘富民

摘要：直觉思维和悟性思维是我们民族传统思维哲学文化的特色和优势所在。要借助直觉思维，发掘直觉思维的特色优势，使直觉思维和逻辑思维完美结合，相得益彰，从而实现民族思维品质在现代科学意义上的蜕变。小学高年级学段是小学生思维品质的启蒙和形成阶段，培养小学生尤其是小学高年级学生的直觉思维能力，促进其逻辑思维能力发展，意义深远。其培养可由引导小学生释放数学形象直观开始，然后采取启发式教学法、实践式教学法在学生课堂教学中加以引导。

关键词：数学直觉思维；传统思维哲学；教学价值；培养路径

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2016）04A-067-05

义务教育数学课程标准明确提出发展学生的数感、符号感，在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养，特别是直觉思维能力的培养。数学直觉思维是数学思维的一种基本成分，是数学学习活动中的一种认知过程和思维方式。在现实实践中，“数学直觉思维”最直接的效果就是有助于学生数学学习能力的提高。而更大的效果则是学生们可以拥有创新精神和创造能力。所以，“数学直觉思维”对于培养和提高学生创造、发明能力有很大帮助。小学阶段是小学生思维品质的启蒙和形成阶段，培养小学生尤其是小学高年级学生的直觉思维能力，促进其逻辑思维能力发展，增强分析和解决问题的能力，培养创新能力和科学精神，意义深远。

一、小学数学直觉思维的理性认知

（一）传统思维哲学视角下的直觉思维

从传统思维哲学视角来看，中国传统思维方式具有辩证性、整体性、直觉性、反思性以及实用性等多重特征，但和西方思维方式相比，最鲜明的还是其悟性特征，不妨把其称为悟性思维。西方的哲学思维方式就其主流来说是理性主义的，而中国传统哲学的思维方式与西方哲学的思维方式却迥然不同，虽然中国传统哲学的思维方式含有理性的因素，但并不归结为理性，它较注重和强调悟性、直觉和体验，但又不归结为非理性。直觉是中国人最常用的思维方式。而直觉是经验的产物，但不一定是逻辑的结果。中国思维传统中缺少逻辑思维，重顿悟而轻证明，重归纳而少演绎，长于综合而短分析，思维具有一定的模糊性。要使这种思维的模糊性变得清晰和理性，就要借助直觉思维，发掘直觉思维的特色优势，使直觉思维和逻辑思维完美结合，相得益彰，从而实现民族思维品质在现代科学意义上的蜕变。

（二）数学直觉思维的表现形式

前苏联科学家凯德洛夫更明确地说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动。”直觉思维指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。思维者不是按部就班地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，通过丰富的想象做出敏锐而迅速的假设、猜想或判断，跳过若干中间步骤或放过个别细节而直接把握研究对象的本质和联系。其表现形式是以人们已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类比、归纳、猜测之后对所研究的事物做出一种比较迅速的直接的综合判断，它不受固定的逻辑约束，以潜逻辑的形式进行。关于数学直觉思维的研究，目前比较统一的看法是认为存在着两种不同的表现形式，即数学直觉和数学灵感。这两者的共同点是它们都能以高度省略、简化和浓缩的方式洞察数学关系，能在一瞬间迅速解决有关数学问题。

（三）数学直觉思维的主要特点

数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自由性、直观性、自发性、不可靠性等特点。迪瓦多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠‘直觉。”在教育过程中，教师如果把证明过程过分地严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败。

直观性。数学直觉思维活动在时间上表现为快速性，即它有时是在一刹那间完成的；在过程上表现为跳跃性；在形式上表现为简约性，简约美体现了数学的本质。直觉思维是一瞬间的思维火花，是长期积累后的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。

跳跃性。直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象做出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式，清晰地触及到事物的“本质”。

简约性。对于一个问题情境，直觉思维引导我们根据自己的知识经验和具体情况，无须思考也不用推理就能立即做出判断，得到结论。这一点与逻辑思维截然不同。逻辑思维是将研究对象分成许多细节，然后遵循由易到难，由简到繁，一步一步地进行。直觉思维却是略去某些细节，迅速越级进行预测。这种简约性是以头脑中保持的信息为基础的，是凭借大量知识的经验所产生的结果。

综合性。直觉思维从认识开始时，就是将客体作为一个整体来反映的。它只抓住了客体主要的、本质的矛盾，而那些次要的、非本质的环节往往被忽略。直觉思维以对问题的整体理解为基础，进行触及本质的判断，因而思想着眼于整体。它不是按照先将客体分解成各个组成部分，再对各个部分之间关系进行分析研究，最后把所研究的成果综合起来这样一个程序来认识事物的。

创造性。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。

二、数学直觉思维的培养

一个人的数学思维能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”对于一个专业的数学工作者来说，他所具有的数学直觉显然已不再是一种朴素意义上的原始直觉，而是一种精致化了的直觉，是通过多年的学习和研究才逐渐养成的。

扎实的基础是产生直觉的源泉。迪瓦多内一语道破了直觉的产生过程：“我以为获得‘直觉的过程，必须经历一个纯形式表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化”。“直觉”不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但绝不是无缘无故地凭空臆想，成功孕育于1%的灵感和99%的血汗中。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂了一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验.对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”

在课堂教学中，数学直觉思维的培养和发展是情感教育下的产物之一，知情融为一体，使认知和情感彼此促进，和谐发展。敏锐的观察力是直觉思维的起步器，‘一叶落而知天下秋的联想习惯、科学美的鉴赏力是直觉思维的助跑器，强有力的语言表达能力是直觉思维的载体。美国心理学家布鲁纳认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维。直觉思维能力可以通过多方联想，学会从整体考察问题，注意挖掘问题内部的本质联系，借助对称、和谐等数学美感，养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。

（一）创设民主开放的思维环境，鼓励学生大胆猜测

创造条件让学生猜想是培养学生直觉思维的一个重要途径。从心理学的角度看，猜测是直觉思维的一部分，它具有快速、直接、跳跃的特点，是学生有方向的猜想和判断，是创造性思维的重要形式和表现，在教学中培养学生的猜测意识，引导学生进行大胆的猜想，正是培养学生直觉思维的重要方式。例如：在学生学习了同分母分数相加减之后，学习异分母分数的加减法，教师可以引导学生猜想：异分母分数相加减会是怎样的？它会与同分母分数加减法有什么联系？在教学正方形的周长时，让学生猜想：正方形的周长可能与什么有关？有什么关系？用猜想贯穿课堂教学。这样不仅能调动学生的学习情趣，引导学生积极探索、主动学习，而且能让学生的数学直觉能力在猜测中获得有效发展。学生的猜测可能是经过周密思维符合逻辑性的，但更可能是稚嫩无序的，甚至是错误的。作为教师，应始终引导学生大胆猜测，当学生猜错时也不要泼冷水，不然就会扼杀学生的数学直觉。因此，直觉的产生首先需要有宽松开放的教学环境，让学生感到心理安全和心理自由，从而能放开胆量，敢想、敢说、敢猜。

1.现实情境的创设。对小学生而言，现实情境是发生在他们身边的可以触摸到的事物，颜色、声音、动画是他们喜闻乐见的主旋律，因为美丽生动的童话故事、活泼有趣的游戏、直观形象的模拟表演等呈现形式契合这一学段的儿童天真爱幻想的天性和心理特征。在我们低年级的数学教学中常用的一种情境创设就是现实情境。在本质上，这是学生真实生活的反映，它的依据就是学生已有的生活经验。

2.趣味情境的创设。趣味性的谜语故事、游戏都是学生们喜欢的，能激起学生的学习兴趣，这些情境既符合小学生的心理特点，也让学生获得较为形象化的初步认识，使学生在一种较为轻松快乐的气氛里融入学习。

3.问题情境的创设。问题是思维的火花，而好奇是学生的天性，是学生探究未来世界的起点，引人入胜的问题情境能激活学生的思维。教学过程中，问题的形成不是自发的，是教师把学生引入积极的思维状态而有目的地设置的。对学生而言，问题情境既有现实性趣味性又有思考性和开放性，不同程度的学生都愿意积极参与问题的讨论。在设计问题情境的时候，可将问题情境故事化，提高问题情境的趣味性，也可将问题情境活动化，确保每个学生个体有效参与。问题情境具有强烈的吸引力，能激发学生的学习兴趣，促进创造性思维的发挥。根据直觉思维考察问题，还要重视各个元素之间的联系以及系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向，并选取数学问题供学生训练，引导学生利用已有的知识去猜想、发现、论证。

（二）给学生直觉思维“留白”，让学生主动感悟

“悟”是学生主动探求知识的一种心理活动，是外在知识内化的重要途径。学生只有用心去感悟，才能自己发现知识的内在规律，做到融会贯通，达到“真懂”、“彻悟”的境界，提高数学直觉能力。如在教学“商不变的规律”时，教师先提供一组算式让学生通过计算，发现它们的商都是3，于是学生觉得非常奇怪，产生探索的欲望，并试图找出其中的规律，这时再让学生根据已给出的式子，自己编出商是7的算式。学生通过积极主动的探索，从人人动手编题中体验到了除法中各数间的变化，悟出商不变的规律。教师应当提供机会、创设情境，引导学生主动探索，使学生在自己探索的过程中真正“悟”透数学知识。当学生使所学内容的整个知识系统在头脑中形成非常直观浅显，非常透彻明白的东西时，也就达到了“直觉地把握”。

1.转变观念，敢于感悟。在大多数数学教师的观念中只有“说得清、道得明”、步步为营、层层推进的逻辑思维才是唯一合理的数学思维。在这种狭隘的数学思维观下，直觉色彩很强的猜想活动就不可能得到教师的肯定和尊重，时间一长，学生的思维极有可能被框死，不敢大胆猜想，不敢越雷池半步，从而丧失直觉、丧失灵感。可见，转变教师狭隘的数学思维观，是培养学生猜想能力的前提。

2.应用经验，大胆感悟。直觉来源于个人的学识和经验，它是学识和经验积累到一定程度的产物。只有具备丰富的知识和较强的能力，才能凭借偶然的触媒产生灵感直觉到事物的本质。积极的类比、联想、猜想有利于培养学生的探索能力。因此，教学中教师要让学生充分运用已有的经验大胆猜想。教师引导学生大胆猜测时，应允许学生在猜想过程中失败，鼓励他们去寻求猜错的原因，否则，会扼杀学生的数学直觉。

当然，敢于猜测不等于可以不负责任地乱猜乱想。猜测是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于未给出结论的数学问题，猜测是解题的路标；对于已有结论的问题，猜测是寻求解题途径的垫脚石。猜测并非都是直觉思维，但在相当多的场合，猜测属于带有直觉性的高级认识过程。猜测的形成是针对研究的对象或问题，联系已有知识与经验进行形象的分解、选择、加工、改造的整合过程。如有这样一个应用题：在一个农场里，鸡和兔一共22只，它们的脚有58只，鸡和兔各有几只？这是一个类似于古代鸡兔同笼的问题，这种题目很多学生都觉得难以理解，也无从下手。教学中可引导学生大胆猜测，找到了答案后，教师可以请学生回顾一下猜测的过程，再引导学生进一步思考，最后将“鸡是0只，兔是22只”一直到“鸡是22只，兔是0只”中所有情形下的脚的数量计算出来，并进一步引导学生观察、思考，探索出规律和解决问题的思路。这种“猜测—交流—验证”的教学过程，不仅能调动学生的学习情趣，引导学生积极探索、主动学习，而且使学生的数学直觉能力在猜测中获得有效发展。

3.合理联想，验证直觉。形象思维实质是人们的直觉和经验的应用，人们对这种直觉、经验的研究工作刚刚开始，还没有上升为系统的科学理论，但可以说，以表象为基础，进行联想和想象，是形象思维的主要方式。经过形象的概括加工，识别事物本质，并进行再造性和创造性的想象活动，是人类思维的重要方式之一。表象的形成虽然离不开感知，但它一旦形成，却能摆脱感知的局限性，而具有自己的独立性和灵活性。形象思维从本质上讲也可以说是表象的运动和发展。我们可以通过运用表象来展开丰富的想象活动。爱因斯坦说过：“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括世界的一切。”不过，想象的水平是依一个人所具有的表象和质量的情况为转移的。表象越贫乏，其联想与想象越狭窄、肤浅，表象越丰富，其联想和想象越开阔、深刻。所以开展联想和想象活动也是训练学生形象思维的重要手段。如教学直线的认识，我们要让学生在线段表象的基础上联想到直线。

（三）关注渗透数学哲学观点，发展直觉思维

直觉的产生也是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养对数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则直觉能力也越强。

1.重视学生观察技巧的培养。学生无论是直接知识还是间接知识的学习都离不开观察，直觉在观察上表现出快速和灵活。这就需要我们在教学中重视培养学生对教材敏锐的观察力，让学生掌握正确的观察方法，并经常训练，形成技能。（1）观察要有目的性。如教学循环小数时，一开始，教师设计这样的一组情景题：①春夏秋冬春夏秋冬……②一、二、三、四、五、六、日、一、二、三、四、五、六、日……③红、绿、黄、红、绿、黄……然后提问：“哪一个同学能找出这组题的共同特征？”不仅一下子调动了学生观察的兴趣，而且明确了观察的目的，让学生很快通过观察发现“依次不断重复出现”这样一个规律，为掌握循环小数这一概念打下了良好的基础，同时突出了课的重点难点。（2）观察要有选择性。如学习方程概念时，教师可出示以下练习。判断下列各式哪些是方程：①1+3=4、②3=2x、③7>x、④3x+5x、⑤6+x>x-5，让学生运用方程概念，有选择地观察、判断，从而做出正确的选择。（3）观察要有顺序性。杂乱无章的观察难以收到良好的效果。观察要有一定顺序，有条理、有步骤进行，或从整体到部分，或从小到大，或从大到小……要注意前后连贯，层次分明。

2.重视解题类型多样化训练。教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维。如选择题，由于只要求从几个选择项中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。

3.设置直觉思维的意境和动机诱导。教师要转变观念，把学习的主动权还给学生。在教学过程中引导学生运用试探性的思考方法，从整体思考，把握问题实质，迅速合理地猜测出答案，从而培养学生解决问题的创造性、新颖性和灵活性，促使学生思维向逻辑思维能力方面过渡。教师对学生的大胆设想应给予充分肯定，应爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和直觉思维的悟性。

直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”这正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

责任编辑：石萍