数学问题教学的五个探索点

方均斌，梁 凯，朱 玲

（温州大学 数学与信息科学学院，浙江 温州 325035）



数学问题教学的五个探索点

方均斌，梁 凯，朱 玲

（温州大学 数学与信息科学学院，浙江 温州 325035）

摘要：随着提问、说题、讲题等一些话题的延伸，很多围绕数学问题的教学形式研究已经摆到日程上来．目前，数学问题教学过程中有5个探索点需要数学教师特别关注：选题、显题、变题、链题、恋题，即：重新审视数学问题的题源，关注数学问题教学中的呈现策略，对学生进行数学问题变化训练，让学生把相关的数学问题进行必要的链接，加强学生对数学问题解决的反思教学活动．

关键词：问题选择；问题呈现；问题变化；问题链接；问题情结

中国目前在问题教学中出现了诸如提问、说题、讲题等一些动态研究的积极发展态势，尽管中国在数学问题教学方面号称“解题王国”，但受应试教育、具体教学操作约束、传统观念等影响，使一些亟待研究的话题还没有引起人们足够重视．为了更好地提高数学问题的教育效果，目前中国数学问题教学中的选题、显题、变题、链题、恋题5个探索点亟待开发．

1 选 题

与相对比较成熟的问题解决层面研究相比，中国基础教育阶段的数学问题选题工作至少有以下3方面亟待完善．

首先，目前中国数学问题解决仅针对“‘没有毛病’的数学问题”，使得学生对问题的批判意识普遍削弱．例如，2003年江苏省高考数学题的第一个数学考题引起了很大争议[1]，由于该题是选择题且位于整个卷面的首位，一些数学成绩不错的学生“纷纷中招”．从这个问题可以看出，学生对错题几乎没有“免疫力”．因为，目前给学生所解决数学问题的一个大前提是所给的问题条件很少出现“残缺”、“冗余”甚至“矛盾”等“错题”现象[2]，学生对出现这些现象的数学问题处理的批判性意识很差[3]，几乎毫无“心理防备”，有学者曾经对此提出自己的担忧，认为一些现实问题信息的“抽丝剥茧”任务绝大部分被数学家或者教师完成了，“钱学森之问”的困局或许就在于此[4]．也就是说，教师目前给学生解决的问题好比让他们“消化”的是“精粮”而非“粗粮”，这对他们的“消化功能”提高不利．因此，适当的时候可以出一些“错题”使学生在解决过程中提高审题能力，增加他们的批判性意识，如一个极端的例子“船长年龄问题”．在欧洲，流传着这样一个笑话：“一条船上有75头牛，32头羊，问船长几岁？”法国的一份调查报告显示，有64%的学生给出了“答案”：75-32=43岁．华东师大的张奠宙教授在中国一些中小学做了同样的测验，得到上述答案的学生比例竟高达92%，甚至在上海市某重点中学的高三年级，也有10%的学生如此作答[5]．经调查，大部分学生对在平时的练习中适当放个别错题让学生辨析这一做法持支持的态度[3]．

其次，即使是“正确的”数学问题，也只关注能够“有评价标准”的那些封闭题或者部分开放题，一些无法采取评价标准的数学问题（开放题）由于难以成为试题而淡出教师的教学视野．有研究者认为，根据教材设置一些难度适中，具有可研究的开放题是实施教学内容开放的有效手段[6]．其实，尽管像张奠宙教授等一些学者呼吁让“开放题教学”成为“家常菜”[7]，但就目前的情况来看，效果并非理想，问题解决方法发散性、创新性的培养策略受到了应试教育的限制．

第三，中国数学教学由于应试的影响，与实际情境挂钩的数学问题明显偏少，虽曾经一段时间关注应用题的教学，但后来因应用题在考试中出现了诸如选题背景要公平[8]、学生认知条件（如：生活经验等）等原因，使应用题的教学也受到了一定的局限．

选题是问题教学的起始点，新加坡的著名数学教育家李秉彝先生在谈论数学教学的时候，寓意深刻地指出：吃什么比怎么吃更重要，意在强调数学内容选择的重要性．中国数学问题的题源由于与实际问题联系欠缺并且要求问题“不能出错”且有“评价标准”，使得学生在数学问题解决过程中固守于某些套路或者模式，思维的培养途径窄化．这种现象的根本原因在于中国考试文化的负面影响．有学者通过研究认为：从某种意义上讲，“考试文化”深刻烙印学生而扭曲自己的信念而改变行为[9]．其实，根据观察，教师的信念及相应的行为也会受“考试文化”负面影响的，因为常听到数学教师的观点：“高考怎么考，我们就怎么教．”因此，建议教师不能只盯住考试题目类型，在平时选题时，必须摆脱传统观念的束缚，拓宽题源，适度组织一些诸如数学建模、出“错题”[3]、解决无绝对评价标准的开放题等活动，可以让学生了解数学问题的来源以及培养他们数学问题原始信息捕捉及处理能力，提高他们的创新意识和能力．

2 显 题

选题观念拓宽是一方面，随之而来的问题是：如何将所选问题以恰当的形式展示在学生面前？那就是第二个话题：显题．显题是指数学问题信息呈现的策略研究．这个话题在课堂教学实践中也不太引发教师的注意，一个数学问题经教师选择后该以怎样的信息呈现顺序以达到完美的教育功能？

学生平时接触到的往往都是纸质信息媒介（纸质课本及练习），数学问题的信息呈现“一目了然”．但是，现代数学教育常采用多媒体信息技术，由于它具有信息呈现的播放功能，教师可以设置数学问题信息呈现的不同方式，以增加或开发数学问题的教育功能．对此，研究者曾经撰文探讨，主要观点是根据教学需要对例题信息进行逐步呈现以发掘数学例题的教育功能[10]．

其实，这个思想可以延拓到其它数学教育过程．一个数学问题往往具有题设（条件）和欲求（结论）部分，不同的呈现策略可以增加不同的教育功能．以课堂教学中的数学问题为例，从大的方面来说，数学问题可以按照题设（条件）信息和欲求（结论）信息分先后呈现，中间穿插教师的口语或体态语言信息．如，呈现问题条件信息后，教师辅之以口语“根据问题的条件，你能够得到什么结论？”同样，呈现欲求（结论）信息后，教师问“根据问题的结论，你认为，需要补充什么条件？”

从小的方面说，数学问题千差万别，为实现教师的教学意图，完全可以按照一定的顺序呈现部分信息并辅之以口语及体态语言信息等，把封闭的数学问题变得开放．如，有不少的数学问题包括图形信息，可以先呈现图形信息后，教师提问：“根据这个图形，你能够提出什么问题？”也可以先呈现文字或者符号信息后问：“根据问题的条件和结论，你能够作出需要的图形吗？”等等．这样，能够使数学问题从原先的封闭、一元到开放、多元，扩大其教育功能．

如果数学问题用以练习，教师完全可以按照课堂教学的程序把一个数学问题出成“半拉子题”，把教师原先准备用以辅助教学的口语用文字呈现，如，原先准备用“冷冰冰”的“已知A，求证：B”改为“根据条件A，你觉得结论B可能成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由”，甚至改为“A是B的什么条件？请说明你的理由”等．

如果数学问题用以测试，则根据需要把数学题以不同的信息呈现，如有些选择题，可以去掉选支信息而成为填空题等，也能够体现一些测试功能和意图上的变化．

显题是问题教学展开的第一步，它的呈现策略是实现策略性教育功能聚焦的一种手段，有时不需要刻意去寻求所谓的“开放题”[11]，也不必拘泥于课本例题的“一览无遗”，只要在问题信息呈现策略上“动一些脑子”．当然，显题过程中教师的附加信息也很重要，带有启发式的提问、微笑的表情、期待的眼神等，都在某个程度上激发学生对问题本身的兴趣．

数学问题信息呈现是一项教师的教学艺术，是引导学生思维从发散到收敛的过程，可以提高数学问题的教育价值，可以在实现教学意图上做更多的工作，而且还可以把其思想推广到其它教学环节．例如，一节课的课题呈现时机如果把握得好，可以让学生从思维定势中汲取教训和提高他们对这节课学习意图的理解；一个数学结论的信息呈现顺序如果构思精妙，可以提高学生的发现意识和能力；一张试卷的试题适度排序，可以把考核学生对知识、技能和能力掌握情况的工作做得更好一些，等等．

3 变 题

显题是对现有问题在信息呈现策略上改变使之教育功能发生变化，而“变题”则是指数学问题的变式．“变式教学”是中国数学教学中的一个传统，也是一大特色，备受广大一线教师的推崇与青睐[12]．应该说，教师在变式教学上所花的精力比较多，变式教学之所以受到重视应该与考试文化有关，因为不少试题都是命题人员绞尽脑汁对包括课本在内的数学问题进行的变式，自然促进授课教师在平时教学也进行变式．变式教学的“掌控权”基本上在数学教师手里，教师“我想变，就变”，固然，教师根据自己的教学意图掌控变式教学未尝不可，但在学生的眼里，有时摸不清教师变的意图和变的手段，让他们处于一种被动状态，他们思维主动性受到不利的影响．

首先，要让学生进行“要我变”的训练，即：教师拿出一个数学问题，问学生：“针对这样的数学问题，你准备怎样将其进行变化，而成为另外的一个数学问题？”让学生变题可以训练他们的类比、归纳、联想等一些命题变化的基本技能，甚至可以在变化的过程中发现一些有趣的数学问题，既提高了学生学习数学的兴趣，也为他们认清一些数学问题的来龙去脉，从而提高问题解决的参与感，为数学教师提供源源不断的数学问题研究素材，一举多得．例如，学生是通过一个实际情境问题来学习平方差公式的[13]，但在后续学习完全平方公式，教材又设置一个实际情境．强调数学与实际情境的联系并无异议．但这里缺失了一个“要我变”的训练，即对学生提出：“对公式(a+b)( a-b)=a2-b2，你能不能进行一些变化而得到其它等式？”甚至问学生：“针对这个公式，你有什么问题可提吗？”

其次，在学生“要我变”的基础上，让学生主动地产生“我要变”的欲望．学生拿到一个数学问题，解决完后往往没有再思考诸如：“这个问题的条件要是变一下，会得到什么结果？”“根据这个问题的条件，还能够得到什么结论？”等问题．例如，在一张试卷的最后采取开放式加试题：请你针对本卷中的任何一个问题进行变式，使之成为一个有趣的或者比较有意义的数学问题，并给出你的解答或发现、建议等．让那些应对考试能力“绰绰有余”的学生“有事可干”，而这些优质学生恰恰需要培养他们的发现能力，何乐而不为？只要长期坚持，这种测试导向往往会使学生特别是那些优秀学生针对数学问题产生“我要变”的意识．

第三，教师要对学生进行一些数学问题变化技能的训练和探讨，即对学生进行“如何变”的教学，教师不仅是在学生面前展示“教师变题的成果”，而且要显示变题的过程与方法．这样，既增强了“变”的意识，也提高了“变”的技能．例如，对学生实施4种数学命题之间的变化（指原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的变化）而进行的提问训练，还有诸如类比、归纳、实验、猜想等，也可以创设一种让学生产生数学问题变化的欲望情境等．如：勾股定理a2+b2=c2（其中，a，b，c分别为直角三角形的两直角边和斜边），教师可以把学生已经知道的结论“a+b＞c”挪在一起，问学生：“根据我们所知道的这两个式子，你能够提出什么问题？”以期引发学生探究“an+bn”与“cn”的关系问题．甚至，教师完全可以针对勾股定理设置要求学生对其进行变化的更开放问题：“针对勾股定理，你能否将其条件或者结论进行变化，使之成为另外一个数学问题？”余弦定理或许将纳入学生的视野，尽管余弦定理属于“高中数学教学范畴”，但初中生能够自己提出这样的问题，是初中数学教学的一个“可喜成果”．

教师把数学问题的“变式”掌握在自己的手里很可能基于这样的两个顾虑：一是考试中并没有考学生的变题技能，教师所变的问题一般经过自己的“筛选”后才展示在学生面前的，这样可以“掌控教学”；二是万一学生变题中出现了自己解决不了的问题，很可能导致教学的“失控”，怎么办？

可以这样认为，变题是问题教学的高潮．尽管中国对数学问题的变式教学比较重视，也取得了一些丰硕的实践性成果．但在“为什么要变？”“如何变？”“何时变？”“谁是变的主体？”等方面的研究确实存在短板现象．让学生从学会解题到学会变题，从“要我变”到“我要变”，让学生从被动的解题者到主动的变题者，让“应变能力”不再停留在“应付变的能力”，而是一种“应该变的能力”，进而形成一种主动求变的良好意识，这是创新性人才培养的必然诉求，也是今后很重要的一个数学教学发展研究领域．

4 链 题

数学问题解决中的迁移，很大程度上依赖于问题之间的抽象关系[14]．变题是将问题“打散”的过程，让多如牛毛的数学问题成为“一盘散沙”绝不是我们教育工作者的本意，变题之后的一项举措就是要引导学生认清不同数学问题之间的关系，“链题”工作自然纳入研究者的视野．研究者查阅到的提及“链题”一词最早的一篇文献 “链题——高考复习数学的有效途径之一”[15]，但该文及后续文献中对“链题”概念并无明确界定．链题主要有两个层面的含义：一是指数学问题与其它问题的链接，也就是把相关数学问题从知识、条件、结论、命题变化、思想方法等方面进行链接；二是指一个数学问题与诸如教材等学习材料中的相关知识链接．

链题是问题解决者对命题者意图猜测及寻求这个问题源头的一项举措．也是提高学生数学问题解决综合能力的一种重要手段．

加强链题训练，可以提高学生问题解决的能力．因为，学生通过显题后很可能就会联想到之前解决过类似的数学问题，从而提高问题解决的效率．同时，链题训练，可以让学生在知识、思想方法上对已经解决过的数学问题系统化，这也是一种数学知识、思想方法的有效梳理手段．

加强学生的链题训练方法：一是在解题过程进行知识、思想方法链接．如：“之前我们曾经见过类似的数学问题吗？”“这个数学问题牵涉到哪些知识？”“这个问题你准备尝试哪些方法？这些方法以前在解决其他问题时的成功率是多少？”等，从而启发学生通过链题达到对相关知识方法复习巩固的目的，提高了数学问题解决的成功率．二是问题解决成功后进行的链接．如：“这个问题可以与之前的哪些数学问题一起归类？请说明你的归类理由．”“请你把课本里面的数学问题进行必要的归类，并说明你的归类理由．”等，这样的链接往往能够使学生把问题解决系统化，做到既见树木又见森林，完善其认知结构．

链题是问题教学的整合，将一题一题的教学，从知识与方法上串合起来，像一颗颗珍珠串成美丽的珠链．在问题教学如此普遍的今天，这项工作也应该引起广大教师的关注．

5 恋 题

前面讨论了数学问题教学应该引起大家注意的4个方面，但还有一点更需要教师注意，那就是对数学问题的情感．数学情感需要培养，数学所蕴涵的深刻文化内涵需要数学教育工作者们去发掘、去创造、去推陈出新[16]，引起联想的是“恋题”二字．研究者查到提及“恋题”的文献是一位考生的咨询[17]，该文所提“恋题”大意是学生考试时老是对之前某个未解决的数学问题“耿耿于怀”而影响了其它问题的解决．与此负面提法相反，这里所提的恋题概念是指当学生解决（完）一个问题后，对问题进行反思和回味，显示出对已经解决的数学问题的一种“依依不舍”心态．这种心态可以引领学生对问题解决过程进行认真总结，揣摩编题者的意图，为编题者的精妙构题而“拍案叫绝”．根据了解，一些学生对数学问题采取的态度是做一题抛一题，使自己深陷题海而迷失数学问题解决之根本目的．导致他们往往对数学问题感情淡薄甚至“恨之入骨”，体会不到编题者的“苦口良心”．

恋题可以分为问题未能够解决和能够解决两种情况．

如果学生在平时学习中对某个数学问题由于解决不顺而恋恋不舍，不言放弃，这绝对是一个好现象，教师只要适度指导，此类学生肯定“大有前途”．但因遇到一个难题而影响其它问题的解决或者缺乏整体的学习规划，则需要在学习策略上进行必要的指导甚至进行心理疏导．

与因问题解决遇到不顺情况相比，学生如果能够在问题解决后还继续保持一种割舍不下的心态而对其进行研究，这应该是数学问题教学的“理想状态”．

首先，恋题让学生问题解决后不急于抛弃，而是认真总结和反思，把握问题解决的根本规律，并且对自己在解决过程中出现的相关知识和方法进行回顾，与其它问题进行必要的链接，能够达到做一题而对相关内容融会贯通的目的，增加了问题解决的收获．

其次，恋题也是揣摩命题者意图的过程，通过恋题，往往能够使学生有针对性地进行相关的复习，查漏补缺．

第三，恋题不仅是问题解决、揣摩命题意图的过程，而且还带着欣赏的眼光看待数学问题，拉近学生与命题者的心理距离，培养学生问题解决的积极心态，提高学生的数学学习兴趣．

恋题是需要教师积极引导的，在诸如试卷点评课等对数学问题解决的相关教学过程中，数学教师往往只停留在问题解决答案、方法层面，很少对数学问题采取欣赏性总结．恋题工作主要有：一是引导学生对数学问题进行评价．如：“你认为这组（个）数学问题命题者的意图是什么？”“这些（个）问题命题者是如何构思出来的？”“这些（个）问题的精彩地方在哪里？”“这份试卷有哪几个问题是最漂亮的？请你说说理由．”等，在平时的作业布置上增加对数学问题的评价这一要求．二是组织学生进行说题或者讲题，说题、讲题是近几年在中学悄然升起的一种教研活动，尽管目前还没有一种有关说题、讲题相关概念及它们之间严格界定的权威文献．但，粮草未到，兵马先行，很多数学教学实践都是这样展开的．站在不纯粹是为了问题解决的角度去审视数学问题很值得尝试．这种尝试不应局限于教师之间，也可以在教师与学生、学生与学生之间进行[18]，在说题或者讲题过程中可以加强学生对数学问题评价和理解训练．三是在必要的时候，教师可以进行恋题示范，让学生慢慢学会如何恋题以及如何在恋题过程中增加一些收获．四是让学生提出以自己命名的猜想，然后根据问题的“质量”给予评价（例如，只能够难倒自己的赋予一颗星，把全班同学难倒的赋予两颗星，把授课教师难倒的赋予3颗星；以此类推．还可以根据难倒的时间长短进行“二级评价”），把这些“难题”或者“猜想”挂在班级、学校宣传栏甚至网站上，在学生中形成恋题风气．如果一位学生提出一个以自己命名的难题，在这位学生就学期间内，将包括老师在内无人解决，绝对可能让这位学生甚至所有师生对这个问题“终生难忘”．恋题是问题教学的延伸与深化，陈景润就是在他的老师引导下，对哥德巴赫猜想“恋上一辈子”．

问题教学是数学教学的核心，其过程是一个有机的整体．这个“整体”中的“5个探索点”需要教师投以更多的关注．值得指出的是，这“5个探索点”之间并非独立的，而是存在一定的关系，而且，5个探索点之“排列组合”将产生针对数学问题教育的众多探索话题，非一文所能解决．寄希望大家对这些问题进行必要的探索．如，选题中如果注意适度出现一些“错题”以及原始数学问题情境，可以促进学生的变题、恋题意识．加强恋题、链题、变题、显题等教学也往往能够帮助学生认清一些数学问题的源头和本质，不被千差万别的数学问题所迷惑，做到“以不变应万变”．又如，“显题”工作似乎只是教师教学中对问题信息显示的教学策略，但如果教师在显示过程中“附加信息”运用得当，绝对可以让学生产生变题欲望以及产生“链题”和“恋题”效应，甚至对“选题”产生浓厚的兴趣，等等．其实，如果引导学生关注数学问题的来源，也很自然地涉及恋题、链题、变题、显题及选题这5个环节．所以，平时教学不应让学生的视野仅局限在问题解决层面，应该让他们开始关心数学问题的来源，与命题者进行“对话”，提高批判性意识和创新精神．

［参 考 文 献］

[1] 孙新峰，孙展．江苏省“高考错题”风波[J]．新闻周刊，2003，（30）：36-37．

[2] 方均斌．例说“错题”及其教育功能[J]．数学通报，2006，（5）：54-56．

[3] 方均斌．数学信息处理的批判性意识的调查与思考．数学教育学报，2010，19（1）：48-50．

[4] 陈清梅，邬瑞光，邢红军．追寻“钱学森之问”[J]．教育科学研究，2012，（12）：38-42．

[5] 刘静波．繁杂与复杂[J]．未来教育家，2013，（Z1）：104．

[6] 杜庆宏．开展高效数学教学的行动研究[J]．数学教育学报，2007，16（3）：40-43．

[7] 张奠宙．让“开放题教学”成为“家常菜”[J]．数学教学，2004，（1）：封底．

[8] 任子朝．创设应用情境考查学生素质—谈高考数学应用题的考查[J]．中学数学教学，1998，（1）：1-2，6．

[9] 肖春梅，喻平，颜丽增．高中生数学认识信念的现状及对学习的影响[J]．数学教育学报，2010，19（5）：87-89．

[10] 杨秋红，方均斌．数学例题的信息呈现方式及其教育功能的发掘[J]．数学通报，2013，（12）：35-38．

[11] 方均斌．用开放的眼光审视数学题[J]．数学教学，2002，（5）：19-22．

[12] 阮伟强．走出“变式教学”的三个误区[J]．数学教学研究，2013，（9）：55-57．

[13] 范良火．义务教育教科书（数学，八年级上册）[M]．杭州：浙江教育出版社，2012．

[14] 喻平．加工水平对具有广义抽象关系数学问题迁移的影响[J]．数学教育学报，2005，14（3）：5-8．

[15] 陈文远．链题——高考复习数学的有效途径之一[J]．新疆教育，1995，（4）：209-217．

[16] 沈亚军．略论数学教育情感领域教学目标[J]．数学教育学报，2003，12（1）：33-36．

[17] 田中伟．幸福信箱[J]．高考金刊（理科版），2012，（5）：65．

[18] 周俊敏．初中数学“说题”的探究[J]．中国科教创新导刊，2013，（6）：31．

[责任编校：周学智]

Five Exploring Points in Mathematics Problem Teaching

FANG Jun-bin, LIANG Kai, ZHU Ling
(Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035, China)

Abstract:With the extensions of topics such as questioning, narrating problems, explaining problems, many instructional mode researches centering on mathematics problems has been put on the agenda.We think that there are currently five exploring points that we mathematics teachers need to pay particular attention to during the process of mathematics problem teaching, namely selecting, presenting, changing, linking and reflecting topics, which means reexamining the source of our mathematics problems, focusing on the presenting strategies of mathematics problems, letting students do variant training, making necessary links on related mathematics problems and strengthening reflective teaching activities on solutions of mathematics problems.

Key words:selecting; presenting; changing; linking; reflecting

作者简介：方均斌（1964—），男，浙江洞头人，教授，硕士生导师，主要从事数学学科教学论研究．

基金项目：2013年浙江省高等教育课堂教学改革研究项目——基于中小学教师参与实时互动的《数学教学论》课堂教学改革（kg2013366）

收稿日期：2015–10–09

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0047–04