图形变换的性质及其教育价值

☉江西师范大学数学与信息科学学院　况琳琳　刘锡光



图形变换的性质及其教育价值

☉江西师范大学数学与信息科学学院况琳琳刘锡光

一、引言

义务教育课程改革对几何课程体系作了较大调整，平面几何内容加大，其中“图形的变化”单独列出，并作为“图形与几何”的一个重要组成部分呈现.此外，图形变换（平移、对称、旋转）中的对称变换与旋转变换更是独立成章，并且，几何内容的编排更是有意突出让学生以图形变换的思想去探索三角形、平行四边形、圆等图形的性质.由此，渗透图形变化思想，体现动态几何教育价值成为初中平面几何教学的一项重要任务.

二、概念与性质

为反映图形变换内容在实验几何向演绎几何过渡中的特殊作用，教科书对平移、对称及旋转概念的介绍更强调其几何直观性，从直观图形抽象出相关性质.

1.平移变换

图1

如图1所示，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两点是对应点.连接各组对应点的线段（或在同一条直线上）平行且相等.图形的这种移动，叫做平移.

2.轴对称变换

图2

如图2所示，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

由此可知，如果两个图形关于直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

3.旋转变换

图3

如图3所示，把一个平面图形绕着平面内任意一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

由此可知，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

图4

如图4所示，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.

由此可知，中心对称的图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形.

从教材的编排特点来看，在学习了平行线等相关性质之后再学习平移变换，这样的安排不仅使得学生能从平行线的角度去认识平移变换，探索平移变换的性质，更能反过来加深对平行线相关性质的认识.轴对称变换中，把等腰三角形的学习安排在轴对称变化之后，让学生以变换的思想去探索和认识等腰三角形.同样地，旋转变换更是与圆的相关知识的学习安排在一起，让学生以平移、轴对称、旋转变换的思想去探究圆的相关性质.由于，在初中阶段不便于给出几何变换的形式化定义，故教材的编排只是让学生从生活中熟悉的例子作为探究起点，探究几何变换的性质，体会平移变换的思想，了解变中的不变.

三、教育价值

从初中几何图形变换的概念及性质的特殊处理考量，其至少具有以下几方面的教育意义.

1.能多角度认识几何图形

从图形变换的角度认识平面几何中的基本图形，有利于学生从不同方向掌握基本图形的结构特点和性质.此外，能培养学生从运动变换的观点去考虑问题，可以为学生多样化的思维提供较大的空间.

例如，“对平行四边形中的AB=CD且AB∥CD”可以从以下角度来认识：

（1）从数量关系和位置关系的角度引导学生认识图形.

（2）从平移的角度加以分析，如图5，将线段AB沿AD方向平移AD长度即得到线段DC，因此AB=CD且AB∥CD.

图5

图6

（3）从中心对称的角度来分析，如图6，将线段AB绕点O旋转180°得到线段DC，因此AB=CD且AB∥CD.

2.有利于探索发现几何图形的性质

在平面几何的教学过程中，可让学生从探索几何基本图形有关变换的基本性质入手，形成对变换的初步理性认识，再把变换基本性质作为更深入认识其他图形的一个方法.这样，学生在探索图形更多的性质的过程中，不仅能使学生进一步加深对变换本身的理解，也能使学生进一步探索发现基本图形更多的性质.

例如，圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，并且是很特殊的轴对称图形和中心对称图形.由于这种特殊的对称性，教学中就可以让学生从轴对称变换的角度或者是旋转变换的角度去认识圆，由此可以很容易得到圆的各种性质.并且采用这种方法讲解圆，不仅直观、简便，而且学生还能够把它迁移到与圆有关的其他图形中去.比如，利用轴对称的基本性质探索三角形、四边形、等腰梯形等其他图形的某些性质.

3.有利于培养学生的合情推理能力

由于几何图形具有直观、形象的特点，当学生通过动手操作实验，从直观感知的基础上认识轴对称、平移、旋转等变换后，再借助直观的图形变换探索出图形的几何性质，使静止的图形在头脑中动起来，这样能更好地培养学生的合情推理能力.特别地，在发展学生图形直觉、观察、操作、探索、合情推理能力等方面具有“过程性”的教育意义.

例如，在学习等腰三角形的性质时，可让学生利用剪的等腰三角形的模具，将它两腰折叠重合，折痕两旁的图形重合，让学生通过观察、探究，发现等腰三角形是一个轴对称图形，在此基础上，让学生很容易作出等腰三角形的底角相等，对顶角平分线和底边上的高、中线互相重合等性质合情推理.这样不仅容易得到结论，而且使学生认识更加深刻，并且它的折痕对性质的证明有启发作用.

4.有利于培养学生思维的良好品质

初中几何图形变换是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性和不变量中最为特殊的基本情形，而一般几何变换则是从运动、变化的观点来研究几何图形及其性质，利用几何变换来解决平面问题往往会显得更加直观、更加形象，如果再结合一般演绎几何的处理方法，则可以更好地培养学生思维的灵活性和敏捷性.

例如，如图7所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，且所构成的四边形的对角线长恰好分别等于线段AB和BC.

此问题的解证只需将AP沿着线段AB方向平移AB长，得到线段BQ，连接Q、C，则有BQ=AP，DP=QC，即可得证.

图7

四、结束语

综上可见，图形变换在初中几何教学具有多方面的教育价值，教学实践中，要求我们能正确处理教材中对图形变换的定义及性质，理解图形变换体现的新课程理念，把握好操作、演示、实验几何在初中几何教学中的重要作用，真正发挥变换几何在演绎几何教学中的感知经验的基础性作用.但是，从当下的教学实践现状来看，据我们了解，并不是所有的教师都能自觉地践行这种新变化.比如，有的教师认为它忽视了数学的逻辑体系，削弱了基础知识和基本技能；还有的教师不按教材的编写，随机地更改内容的前后顺序，仍按传统的处理方式来进行教学；还有的教师认为“变换固然可以促进对图形的认识，但课标中没有将变换的有关结论作为基本的几何事实（公理），而且课标的最终目的是要求学生能基于课标所罗列的那些公理进行严格的几何证明，这样，不管借助变换探索图形性质多么方便，最终仍然要落实到严格证明，而以变换为依据的证明是不严格的、‘不合法的’（至少现行课标没有明确其合法性），各种学业考试中，借助变换进行证明是较难得到认可的”.［1］所以，本文论及的问题旨在让一线教师们更好地把握图形变换在初中几何教育中的价值.

参考文献：

1.赵生初，许正川，卢秀敏.图形变换与中国初中几何课程的自然融合［J］.数学教育学报，2012（4）.