儿童建模学习，走向思维的深处

王翠 帅莉

一、 儿童建模学习的提出

在力学小学国家级十二五规划课题“基于学科特质的研究性课堂的深化研究”的中期汇报中，成尚荣先生曾提出：我们的教育应该指向儿童的深度学习。“深度学习”寓意颇深，其最终目的是让儿童拥有深刻的思维品质，持久的学习力。数学从本质而言，是研究数量关系和空间形式的，是在不断的抽象、概括模式化的过程中发展和丰富的，《义务教育数学课程标准》中提出“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解。”数学学习只有深入到“建模”的意义上，才真正走进了数学学习的“腹地”。基于此，我们提出了力学的数学课堂教学主张“儿童建模学习”。

二、 儿童建模学习的内涵

提起数学建模，很多人第一反应是初高中的数学竞赛，也常常会有人疑问：小学能建模吗？其实我们力学小学研究的儿童建模学习，并不是指狭义的建模竞赛，而是广义的数学建模，是基于儿童视角，聚集数学本质，不断让学生经历从具体事例或现实原型出发，逐步抽象、概括建立起某种模型并进行解释和运用，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习的能力。

三、 儿童建模学习的定位

第一，研究的对象是儿童。儿童在不同的发展阶段有不同的思维特点，所以儿童建模学习是基于儿童的认知特点，基于儿童的生活经验，基于儿童的思维方式的。我们研究的儿童建模学习，需要从儿童的“最近发展区”出发，通过适切的问题展示，引领儿童进入数学的深度思维，从而到达儿童的“最优发展区”。

第二，目标指向儿童的深度学习。力学小学提出的儿童建模学习的目标指向儿童的深度学习，指向儿童数学能力、数学思维等素养的提升，指向发展儿童的学力。我们以“儿童建模学习”为突破口，让儿童理解并形成数学的思维，逐步经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养儿童建模的意识，让儿童经历建模的过程，形成建模的思想。在此过程中，儿童个体通过不断自我构建，学会猜想、抽象、运用数学模型解决生活问题，举一反三等，这样在小学阶段就能积淀丰厚的数学活动经验，为初高中的数学学习甚至是终生学习都奠定思维的基础。

四、 儿童建模学习的操作途径

1.利用已有经验，让儿童建模学习

《义务教育数学课程标准》指出，数学教学活动必须建立在学生认知发展和已有的知识经验基础之上。美国教育心理学家奥苏伯尔也说过，影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状态去进行儿童建模学习。所以，有效的教学活动必须是基于学生认知起点展开的自主探究的过程。

进行《认识面积》教学时，在学生通过摸一摸、比一比、找一找、说一说等活动认识面积的含义后，我设计了让学生比较平面图形面积大小的教学环节。

（1）认识基本的比较方法

a.观察法

师：图形王国里有四个图形宝宝，你知道几号图形的面积最大？几号图形的面积最小吗？

生： ④号图形面积最大，最小的是①号图形。

师：一眼就看出来了。有时我们可以直接用观察的方法进行图形的大小比较。板书：观察。

b.重叠法

②号、③号图形，也请你们来观察一下，它们谁的面积比较大？（不能一眼就看出）有什么好办法？

生：重叠一下后发现③号的面积比②号的面积大。

小结：当图形的大小比较接近时，我们可以用重叠的方法进行比较。板书：重叠。

（2）自主探索面积的比较方法

师：这儿还有两个图形宝宝，你还能比较出他们的大小吗？

同桌两人合作，看哪一对同桌能想出好办法。为了给同学们一些提示和帮助，老师给大家提供了一些工具：剪刀、小圆片、透明方格纸。如果你觉得有用的话，你可以用它们，使用剪刀要注意安全，你也可以用你自己身边的材料。

生1：重叠后，剪拼。

生2：数圆片。

生3：数方格。

“学习”不是简单的信息积累，而是新旧知识、经验的相互作用引发的认识结构的重组。有效的学习是学生的经验体系在一定环境中由内而外的“生长”，是以学习者原有的知识经验为基础来实现知识的建构。

在认识面积概念时，学生通过手掌与数学书封面重叠大小时已经积累了面积比较的初步经验，已经接受了“全等形等积”和“面积的可加性”的思想渗透，而在学习了“观察法”和“重叠法”以后，学生又已经建构了面积比较的初步方法。教师在准确把握了学生的认知起点后，组织学生比较正方形和长方形的面积大小，此时学生发现原有的观察法、测量法都不能解决问题，产生了认知冲突，此时教师适时提供丰富的材料（直尺、剪刀、透明方格纸、小圆片等），这是引导学生深入研究的无声语言。教师没有直接告知面积方法的比较，而是给学生充足的空间去独立思考、展开探索、形成自己的想法。学生在所提供材料的帮助下，动手操作、自主探究，展现出有模有样的科学研究过程。

在充分尊重儿童、倡导个性发展的环境下，学生充分交流展示自己的想法，而这几种方法又展现了学生不同的思维水平：剪拼后重叠的方法是学生基于观察、重叠方法的学习基础上选择的比较策略；数圆片的方法和数方格的方法是用统一的标准去测量面积大小，这是基于学生认识厘米所积累的用统一标准去度量的思维经验；而最后一种用面积公式的孩子的思维方式相对固化，可能由父母告知或提前预习得到面积公式，但是对于面积概念的理解并不透彻。在这一系列活动中，学生逐步建构起比较面积大小的思考过程，通过系统体验和学习，形成了良好的认知结构。

2.利用几何直观，让儿童建模学习

几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，突破数学理解上的难点。其实，几何直观是数形结合思想的更好体现。通过图形的直观性质来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化、相互渗透，为儿童数学建模学习开辟了一条重要的途径。

【案例】四年级《乘法分配律》

（1）出示老大的菜地图。

①提问：两块地的面积和是多少？

②列综合算式计算两块地的总面积。

③交流列分开算和合起来算两种不同思路的算式。

④比较得数，建立等式：（6+2）×9=6×9+2×9

（2）研究老二菜地的总面积。

①会列综合算式计算吗？写在作业纸上。

②学生汇报算式。（相机板书）

③追问：都是像这样分开算的？为什么不合起来算了？

（3）研究老三菜地的总面积。

学生独立列式。

问：这次为什么又能合起来算呢？建立等式：（8+3）×6=8×6+3×6

追问：孩子们，回忆一下刚才我们解题的过程，想一想，老大、老三菜地的总面积既可以分开算又可以合起来算，根本原因是什么？

师：哦，原来是有相同的边，那在乘法算式中就是有相同的？（数）乘数

（4）类比展开，体验感悟

①举例验证

②师：孩子们，观察这两道等式，你有什么发现？那像这样的等式，你还能举出一些吗？请你在作业纸上写一写。

用乘法的意义解释规律

师：刚才我们的小朋友是用计算的方法证明了两边的式子是相等的，想想我们前面学习的乘法知识，你能试着解释一下吗？

（5）揭示规律，理解意义

①谈话：你能把这样的规律用自己的方式表示出来吗？

②学生尝试表达，然后交流展示。（学生有的用文字表示，有的用图形表示，有的用字母表示）

③小结：数学上我们一般用小写字母表示（a+b）×c=a×c+b×c，这里的c可以表示算式中的哪些数？

像这样，用两个数的和乘第三个数，就等于这两个数分别乘第三个数，再把它们的积相加。这就是我们今天研究的——乘法分配律。

运用乘法分配律进行简便计算，历来都是教学上一块难啃的硬骨头。我们课前进行了前测，发现了一些问题：第一，学生大多数能感知乘法分配律是什么，但为什么总是难以运用相对规范的数学语言进行表达和概括？第二，多数学生能够根据乘法分配律的外形结构特征完成一定的填空、连线，并形成初步的认识，但真正运用时怎么就漏洞百出呢？其实，乘法分配律的学习和学生已经学过的运算律相比，表达形式复杂，有2种运算符号、3个数参与；原有知识不容易同化，学生已有的混合运算的经验无法与新知建立联系，不容易找准新知学习的切入点。

鉴于这样的认识，我们进行了多次的磨课，从“数学建模”的视角对这一传统的教学内容进行新的诠释与表达：本课以“有一条边相等的两个长方形面积之和”的素材为载体，让学生经历从具体问题到类比推理，再到建立模型、解释模型的过程，充分感受模型思想。在其后的丰富拓展中不断赋予模型“生长”的力量，让乘法分配律的模型既根植于图形，又不拘泥于图形，使得用字母表达的乘法分配律有了“丰腴”之美。

3.利用动手操作，让儿童建模学习

儿童空间建模学习的形成是经历“具体——半具体、半抽象——抽象”的阶段，而在这三个阶段的过渡中，需要教师在教学中提供“梯子”。操作就是学生建模学习中的“梯子”，其对学生积累构建直观模型的经验具有不可替代的作用。

【案例】《认识长正方形》

师：长方形对边相等吗？四个角都是直角吗？还需要验证我们的猜想。

同桌合作验证后交流：你是用什么方法验证的？得出了什么结论？

随机处理以下环节：

a.长方形边的特征

（1）量：你量出的结果分别是多少？说明什么？（指名多人汇报）

小结：尽管大家手中的长方形大小不同，但是通过测量我们发现每个长方形的对边都相等。

（2）折：除了用量一量来验证长方形对边相等的特征，还有其他的方法吗？

学生介绍折的方法：

小结：通过量一量，折一折，我们验证了长方形对边相等这个特征。

b.角的特征

方法1：用直角一个一个去比一比，发现了长方形有四个角，而且都是直角。

方法2：先把四个角重叠在一起，再用直角直接比一下就可以了！

师：你能想办法验证正方形的四条边都相等吗？

生1：我折的方法和长方形一样，先把正方形上下对折，再左右对折，发现它上下边相等，左右边也相等。所以，正方形的四条边相等。

师：这只能说明正方形对边相等，怎样折才能验证这两条相邻的边也相等？

生2：再把它斜着对折，上边和左边重合，所以上边=左边，下边和右边重合，所以下边=右边（如下图）这样一折，我们就能得出邻边也相等了，正方形的四条边都相等。

生3：我还有更简单的折法。把这张长方形纸对折两次，四条边重合在一起，说明四条边都相等。

上述教学中学生经历了动手操作验证“特征”的全过程，不仅收获了关于长方形特征的相关知识，建立了一个问题解决的数学模型，操作前通过讨论验证的方法，提高操作的有效性，从而建立了问题解决的数学模型；交流时略有侧重，重点探讨“边的特征”，首先是量，学生感悟到要通过大量的例证才能得出长方形对边相等，这是一次不完全归纳的经历，构建归纳的模型思想；把一个长方形对折，观察到对边重叠在一起，就能推理出长方形的对边相等，为学生积累了一定的推理经验。在验证正方形四条边相等时，绝大多数同学都会运用验证长方形边特征的原有经验——沿着两条边对折，此时教师洞悉了探究中学生的难点，启发学生思考：怎样折才能验证邻边相等？进而研究出最为简便的方法：斜着对折两次，将四条边全部重合在一起。在探究的过程中，教师着力帮助学生提升原有的数学活动经验，将它纳入到新的认知结构中，借助几何直观，通过“同化”和“顺应”，架构了探究经验与数形结合思想的快速通道。数学模型的建立不是最终目的，而让学生形成一种模型意识，建立思维方法，反过来再去解决问题，让学生理解并形成数学的思维、促进数学的理解、促进自我的数学建构，这种数学化的思想才是根本的目的。

4.利用知识结构网络，让儿童建模学习

学生所学的数学知识看上去是零散的，但其实知识之间都是由结构脉络的，是有千丝万缕的联系的，所以教师的教学一定不能只立足于学生每个小知识点的掌握，要有大空间意识，要将知识串联在一起，让儿童真正形成建模思想。

【案例】五上平面图形的复习

首先，要求学生回忆和归纳各个平面图形的面积公式的推导过程及联系。让学生通过自己的努力构建知识网络图。

通过教师引导，学生形成合理、完善的知识网络图：

在知识整理过程中，教师通过数学知识的整理把握，重视对隐形的数学建模的感悟与体验，使学生能触类旁通，举一反三，并学会将知识迁移。在这个环节中，学生明白长方形是最基本的平面图形，其他平面图形面积公式都可以通过剪拼、转化成长方形进行推导，而提醒的面积推导公式更是有很多种。

学生回忆面积公式推导过程，在寻找知识之间联系的过程中逐渐形成知识网络，不仅实现了对旧知的重组和构建，同时还渗透了“转化”的数学思想，从而使学生进一步认识了图形的变化规律，对平面图形面积的计算这一模型有了深刻的认识。

作为小学来讲，数学建模并非遥不可及，也并非揠苗助长。从数学学科的价值和本质入手，对数学建模进行深度的思考和剖析，引导学生建构数学模型，提高学生发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和素养，是一种方法，是一种思想，更是一种观念，一种意识！

（王翠、帅莉，南京市力学小学，210013）

责任编辑：颜莹