巧用运算律

朱亚邦

有理数的加法和乘法的运算律是很重要的运算方法,它在很多有理数运算中起到简化运算的作用,使解题思路变得简捷,对培养同学们的思维能力和创新能力都有着独特的作用.本文介绍如何巧妙运用这些运算律解题.

一､加法结合律:(a + b) + c = a + (b + c)

例1 计算:(239.78 + 71.23) + 28.77.

先从小括号内算起显然比较麻烦,若先把71.23与28.77结合起来,相加后结果为整数,然后再和第一个数相加,这样就简便多了.

解:原式=239.78 + (71.23 + 28.77)

=239.78 + 100

= 339.78.

二､乘法交换律:ab=ba.

例2 计算:420 × 9 × .

因为420 × 可以约分化简,所以应在运算中交换9和的位置.

解:原式= 420 ×× 9 = 60 × 9 = 540.

三､乘法结合律:(ab)c=a(bc)

例3 计算:[25 × (-0.125)] × (-8)

因为(-0.125) × (-8) = 1,所以先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,这样更简单.

解:原式= 25 × [(-0.125) × (-8)] = 25 × 1 = 25.

四､乘法分配律:a(b + c) = ab + ac.

例4 计算:8 ×+×-+ .

8与第一个括号内的分数相乘仍会得分数,若8与第二个括号内的分数相乘,结果为整数,因此可先把8与第二个括号内各数相乘.

解:原式=8 ×-+×+

=(5 - 2 + 4) ×+

=7 ×+

=1 +

=2.

五､逆用分配律:ab + ac = a(b + c).

1. 直接逆用分配律.

例5 计算:66 × 176 - 66 × 34 - 66 × 42.

按一般计算规则,要先进行3次乘法运算,再进行2次减法运算,共需进行5次运算.注意到式子中有共同因数66,因此,应将分配律反过来应用.

解:原式=66 × (176 - 34 - 42) = 66 × 100 = 6 600.

2. 拆数后逐步逆用分配律.

例6 计算:99 × 99 × 199.

直接计算将会很繁,我们可以把199变成99+100,这样就可以逆用分配律进行计算.

解:原式=99 ×99 + 99 + 100

=99 × (99 + 1) + 100

=99 × 100 + 100

=100 × (99 + 1)

=100 × 100

=10 000.

3. 变形后逆用分配律.

例7 计算:13 + 6 ÷ 2 + 1.

先把带分数化成假分数,即将原式变成 + ÷ + ,逆用分配律将前后两个括号内的公因数提取后再计算.

解:原式= +÷+

=125 ×+÷ 25 ×+

=125 ÷ 5

= 25.

六､拆数后应用分配律.

例8 计算:25 ×- 11 ×.

这道题若直接进行计算比较麻烦,但我们发现,24与25相差1,11与12也相差1,因此可以把25拆成24 + 1,把11拆成12-1,这样可以运用分配律,便于约分化简.

解:原式=(24 + 1) ×- (12 - 1) ×

=23 +- 11 +

=13.

七､添数后应用分配律.

例9 计算 ++++ .

此题可以按常规方法通分进行计算,但这样做比较复杂,我们可以取各分母的最小公倍数60来乘各个数,所得结果再除以60即可.

解:原式=++++ × 60 ÷ 60

=(20 + 10 + 6 + 5 + 4) ÷ 60

=.

八､引申后应用分配律.

例10 计算:÷+++++ +++ + ÷ .

因为前后两部分互为倒数,所以我们只需计算出后半部分的结果即可.

解: ++++÷

= ++++× 60 = 45.

故 ÷++++= .

原式 = + 45 = 45.

九､分配律正､逆同用.

例11 计算:

- +-× 12 ×- 3 × 1 + 4 × 1.

12 ×-3 × 1 + 4 × 1可变形为12 ×-12 ×+ 12 × ,我们发现,可以逆用分配律,得12 ×-+ = 12,然后再用12乘前面括号内各数,正用分配律.

解:原式=- +-× 12 ×- 12 ×+ 12 ×

=- +-× 12 ×-+

=- +-× 12

=-5 + 2 - 9 = -12.

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