高中数学弧度概念教学再探究

徐远志

摘 要：高中数学教学中，概念的教学具有基础性，这种基础性不应当因为其只是基础而忽视教学过程，而应当从学生构建数学概念的角度，发展学生的数学思维，提高学生的数学认识. 尤其是对于像弧度这样的概念教学而言，要促进学生对引入概念必要性与合理的理解，通过比较与运用，促进学生应用概念的直觉. 调查表明，学生对弧度概念的学习存在着认识上的不足，这种不足又由于教师忽视必要过程引起的. 充实、完善、精设概念教学的情境，对于提高包括弧度在内的数学概念的教学，具有极为重要的意义.

关键词：高中数学；概念教学；弧度；探究

从知识逻辑的角度来看，概念是规律建立的基础. 在高中数学教学中，大部分概念都是建立在义务教育阶段的数学学习基础之上的，也正因为九年义务教育的积累，学生在高中数学学习过程中才能熟练地利用各个数学概念进行新的数学概念的构建. 但其中也存在一些特殊的概念，这些概念与原来所学的概念看似有联系，但学生往往又寻找不到这种联系. 对于这样的概念而言，如果在教学中不给予高度重视，那学生在理解这些概念的时候很可能就是煮夹生饭，其对于这一概念的理解而言自然没有好处，对于建立在这些概念之上的其他数学知识的学习与理解，也会存在长时间的隐性障碍. 因此，对于这些概念，在实际教学中必须高度重视，要引导学生知其然也知其所以然. 笔者以为，弧度就是这样的一个概念.

弧度学习的真实情况扫描

弧度这一概念的学习情形到底怎样？这个问题的回答凭教师猜想是不太可靠的，最可靠的答案应当在学生那里.

根据笔者近三年来对正在教的学生，与已经毕业后的学生进行调查发现，其实相当一部分学生对为什么要引入弧度表现出很大的困惑. 具体来说有三种情况：一是部分学生想不通为什么要引入弧度，在他们看来，用角度来表示角是最自然、最简洁的方法，舍易而取难是没有道理的. 用他们中部分学生的话来说，总不能因为要学三角函数所以才要学弧度吧. 二是部分学生认为弧度制与角度制完全是两回事，用角度来表示角，很形象，是用有理数来表示，而用弧度来表示角的时候，就有了圆周率π，这是一个无理数，角度怎么会与它有关系呢？三是一部分学生（主要是毕业后的学生，部分数学基础较好，对高中数学知识还有一定的印象）认为弧度制在学习一段时间之后，感觉其确实有角度制所无法替代的地方，但在新学的时候确实感觉到突兀，很长时间里都是一个阴影.

根据学生的这些反映，笔者以为高中数学教学中，对于弧度这一概念，不能简单地照搬教材上的安排，而应当引导学生从弧度制引入的必要性角度来认识其重要性，这样才能在弧度这一概念的起始教学中不至于埋下太多的“隐患”.

为什么在数学中要引入弧度

为什么要引入弧度？这个问题对于高中数学教师来说可能不是一个问题，一部分教师会认为教材中既然有这样的安排（笔者所使用的苏教版数学必修四中，弧度概念出现在第一章“三角函数”的第一节），自然是要教的；也有一部分教师认为，学生应该会自然地理解教师所教的弧度，不需要给出特别的注意.事实是不是这样呢？

根据笔者的教学经验，数学概念对于学生而言的真正的基础性作用的理解，在于学生能够在不对概念本身有任何怀疑的情况下，理解概念本身，并在概念的基础上去建立新的数学知识. 譬如弧度，苏教版教材中是怎么安排的呢？是给出一段说明（具体略），然后问出一个问题：720°角是怎样的一个角？接着介绍“任意角”，并给出正、负角和零角的定义，经由对任意角的一课时左右的学习之后，才给出“弧度制”的概念，其引入是借助于角度制与弧度制的简单比较来进行的，定义1弧度为“长度等于半径的圆弧对应的圆心角”，定义弧度制为“用弧度作为角的单位来度量角的单位制”. 这样的安排，体现了教材编写者基于角度制建立弧度的意图，但从数学知识发生的角度来看，仍然显得比较简单.

翻开相关资料可以发现，弧度制在数学史上的引入比较复杂，而引入这段数学史对于学生来说可能也有着重要的意义. 数学史上，弧度制显然是在如何描述角的问题驱动之下形成的. 描述角的方法其实很多，角度制与弧度制只是其中的两种，两者之间“360度=2π弧度”的关系，奠定了学生由已知到未知的基础. 事实上，弧度制的引入更多的是服务于弧形的计算，从弧形的周长，到弧形的面积，用弧度制来计算都是极为简洁的，如圆弧长度s就可以表示为rθ.要知道，“简洁”是数学最为基本的特征，也是数学发展的重要推动力，在教学中如果注重这个因素，那学生的思维障碍往往可以迎刃而解. （此外，从三角函数求导的角度建立弧度制的必要性也很重要，只是其对于高中数学学习无法产生直接作用，故此不赘述.）

高中数学教学弧度有效教学

那么，到具体的教学实际中，如何有效地实施弧度概念的教学呢？或者说，怎样的教学策略才是有效的呢？几经探索，笔者形成如下观点：

其一，提供弧度制的建立必要性，打破学生原有的认知平衡，激发学生的学习动机.

这一策略重在给学生创设弧度制学习必要性的情境，笔者的做法是这样的：先给学生提供两个利用角度制解决问题的题目，让学生回忆角度制的优点与形象特征. 在此基础上提供新的问题：某圆半径为r，面积为S，则两者关系是什么？这是一个极为简单的问题，瞬间即可完成. 在此基础上，教师将面积公式S=πr2转换成S=πr×r，然后问学生，此等式中πr是否存在着什么特别的含义？这个问题学生基本上是无法回答的，但他们会意识到既然老师提出了这个问题，那就可能有着某种意义. 在学生这一心理的基础上，教师让学生去观察这个因式，学生会发现其是由π和半径r相乘而得. 这个时候教师再告诉学生，在某种表示角的单位制中，扇形的面积都可以表示为半径平方与某个角的乘积的一半，即S=，那么，同学们能否从这两个看起来没有关系的表达式当中发现一些联系呢？学生在这一问题的驱动之下就会仔细观察，一般情况下，会有三五个学生发现其中的关系，有三分之一的学生能够隐约发现这种关系，但无法准确描述.有了这样的思维基础，教师再给出最终的阐述：新的表示角度的单位制中，1弧度角即为长度等于半径的圆弧所对的角. 学生就会寻找到上述两个式子之间的对应关系，从而完成从角度制向弧度制的转换.

其二，让学生阐述弧度制与角度制的异同，并提供具体情形，理解弧度制的优点.

在接受了弧度制之后，还要寻找到它的好处，才能让学生接受弧度这一概念. 笔者首先让学生认识到“角度是几何角度的理解，而弧度是函数角度的应用”，然后在后续知识的学习中，只要运用到弧度，就可以让学生思考一个问题：如果此时不是弧度，而是角度，那么我们解决问题可能会遇到什么样的困难？这样的问题，常常可以引得学生的会心一笑，弧度制应用之广泛也可以深入学生之心.

其三，提供足量训练，让学生养成运用弧度制的习惯. 足量的训练是十分重要的，只有学生在不断的训练当中生成运用弧度的直觉，学生才会将弧度概念当成一个基本的、可以直接运用的数学概念. 当然，这里所说的足量训练应当是一种变式训练，而不是某一种类型题目的重复训练，这里还需要考虑到学生的学习心理，不能产生厌恶情绪.

以上三个策略的运用，一般可以让学生知弧度之然，也可以知弧度之所以然. 事实上随着高中数学知识学习的不断深入，学生可以在三角函数、导数，对于较好的学生，教师还可以适当渗透微积分的基本概念，让学生认识到弧度制的应用，要远比角度制广泛，且更为简洁，因此成为更具广泛性的度量角的方法. 在此过程中也可以引导学生认识到：数学知识的发展一定是向着广泛与简洁两个方向的，数学建模也是为了让复杂的生活对象变成简洁的数学对象. 这种规律性的认识，可以引导包括弧度概念在内的很多数学概念的深层次理解.

弧度概念教学之后的再思考

弧度概念只是高中数学中一个不太起眼的概念，可以从学生构建概念的角度去了解学生的学习实际，并提出更为有效的教学策略时，笔者发现对高中数学教学的研究空间还非常大，一些经验性的教学行为当中还存在着许多值得思考的地方.

就概念教学而言，一般认为概念具有基础性，这种基础性不应当是因为只有基础性而忽视，而应当注意到这种基础既是概念本身的基础，也是基于其上的其他概念与规律的基础. 同时更应当注意到在基础概念的教学中要培养学生的数学思维，让学生认识到数学概念的建立有其必然性与科学性，要让学生形成关于数学的逻辑性发展认识，只有建立这样的认识，学生才会发现自己所学习的数学过程，就是一个数学知识不断积累、数学大厦不断形成的过程，这对于提高学生的数学素养来说，也是有积极意义的.