用几何画板辅助数学教学



○数学教育○

用几何画板辅助数学教学

泮爱菊

(浙江省台州市三门第二高级中学，317100)

普通高中数学新课程标准指出:“高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术的结合,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具,致力于改变学生的学习方式,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去．”

几何画板是实现数形结合思想的一个有效的辅助教学工具,以其入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和方便的动画功能,受到许多教学工作者的好评．在数学教学中,适当地借助几何画板能快速地抓住问题的关键点,能使抽象的数学问题变得具体、形象,能使复杂的“数”通过直观的“形”来表示,为数学活动提供了一个动态分析的环境,拓展了数学教学和研究的空间,为数学知识的建构提供了技术支持.几何画板的运用弥补了传统数学教学中的不足,有很强的实用性,它既减轻了教师的工作负担,又为问题的有效解决提供便利．本文介绍笔者在研究函数图象的变换中运用几何画板与学生互动探究的感受,供大家参考．

一、几何画板的主要功能

(1)可以直接画出点、线段、直线等基本图形,可以通过平移、旋转、缩放、反射等图形变换功能构造交点、中点、角平分线、垂线等几何关系,还可以通过这些变换画出更为复杂的几何图形．

(2)提供了强大的度量功能(长度、角度、面积、半径、斜率、比例、坐标等)和计算功能(代数运算、常用十余种函数计算等).当被测量的对象改变大小时,所测结果也随之变化,这样就可以借助几何画板来研究许多变量和定量问题了．

(3)动态演示功能．传统教学中,对于数学问题的教学只是在黑板中静态地表现结果,变与不变的问题只是在老师的阐述和学生的想象中来理解．几何画板把静态的形式转为动态表示,能够准确地表现动态的数学问题,把元素在运动中的不变性充分地展示给学生,使学生对一些数学性质、概念理解得更加透彻．

(4)提供了一般软件所具备的编辑功能,并能为所绘图形添加颜色.最新版在文字编辑时除具备选择字体、字型、字号等常规的功能外,新增加了常用符号及数学公式编辑功能．插入对象功能支持“OLE”对象,如BMP位图、PowerPoint幻灯片、声音(wav)、电影(avt)、Excel表格,Word文档,甚至可以通过打“包”直接调用应用程序,可以进行超级链接(如Internet网),并可利用剪贴板将绘制图形转换到其它Windows应用程序中,以达到交换信息的目的．

二、几何画板在函数图象的变换中的应用

1.简单的函数作图

函数是中学数学中最基本、最重要的概念,它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分．正如华罗庚所说:“数缺形少直观,形缺数难入微．”为了解决数形结合的问题,在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图,但手工绘图有不精确、速度慢、不易修改、容量小等弊端;而几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端,大大提高课堂效率,进而起到事倍功半的效果．

2.函数的平移、伸缩变换

小试牛刀后,笔者又提出了“函数图象的平移”这一问题.我先作了y=2x-2和y=2x+2的函数图象,让同学们比较与函数y=2x之间的关系,让学生初步的体验图象平移变换中“左加右减,上加下减”的意义．接着又提问:函数y=2x-2+2的图象如何由函数y=2x的图象变化得到?

生:可以通过两种变换得到.

方法1:先将y=2x的图象向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到．

方法2:先将y=2x的图象向上平移2个单位,再向右平移2个单位得到．

接着又提问:函数y=2x-a,y=2x-a+b的图象与函数y=2x图象之间有什么样的关系?这个问题对没有接触过几何画板的学生来说,虽说是无从想象的,但也正因为此,学生的求知欲被调动起来了．我在x轴上取一个动点a,作为一个动参数,然后再作出函数y=2x-a的图象,再通过拖动动点a,让学生观察动点a对函数图象变化所起的作用．以此方法,再作函数y=2x-a+b的图象,以a、b为参数,来观察图象随参数的不同所产生的变化．

过去在讲授函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象时,要用几个课时的时间分别对A、ω、φ、k的不同取值作出图象,然后再“观察”总结,没有动态的演示,没有更多的比较、更多的探索．现在用几何画板展示y=Asin(ωx+φ)+k的图象,让学生分别拖动控制按钮A、ω、φ、k,就可以真正观察到函数图象生成的变化过程及结果,同时思考是由函数y=sinx的图象作了怎样的变换得来的．学生间也可以进行很好的“协作”,容许学生对一切想试探的值进行探试,来加深对这一问题的认识,进而实现教学目标．

3.函数图象的翻折、轴对称变换

用几何画板作函数图象或在平面内对图象作平移、旋转、伸缩等变换相对比较容易.然而,有些图象除了上述的变换外,需将某些已知函数图象(或其一部分)绕直线经空间翻转180°,虽然最后的结果可用几何画板中的“变换”中的“反射”处理获得,但若想展现图象经由空间的翻转过程并不是一件轻而易举的事,又将是一个挑战．

为了便于说明,下面仅以变换函数y=x2-4x+3的图象而获得函数y=|x2-4x+3|的图象为例．由于经过学生的讨论后,发现y=|x2-4x+3|可以看成是将y=x2-4x+3图象位于x轴下方部分绕x轴翻转到x轴上方而得,因此,需要将图象上的点按变换的不同需求分类作出(如图1)．

对于x轴下方部分的图象,我制作了一个控制点F,通过拖动控制点F就可以将x轴下方图象翻折到x轴上方,然后经过整理就得到了所需的函数图象(如图2)．而对于一般的函数y=|f(x)|和y=f(|x|)与y=f(x)图象之间的关系作法类似．

4.讨论方程或不等式的解(集)

方程、函数和不等式之间存在着一定的相互依存关系．在学习的过程中,我们往往要利用这种关系,将某些方程或不等式的问题转化为函数的问题,并最终图象化．通过函数图象中存在的交点及交点的变化情况,揭示问题的内在本质和参数的几何意义,从而使问题简化．几何画板在这方面也给我们提供了一个很好的平台,可以很方便地从图形的变化中,让学生进行感知,去寻求对策,进而运用合理的数学运算、推理等方法使问题得到彻底解决．

比如，在前面学习的基础上,我又提出了这样一个问题:讨论当k取不同值时,方程|x2-4x+3|=k的解的个数．

分析讨论方程|x2-4x+3|=k的解的个数,等价于求函数y=|x2-4x+3|图象与y=k图象交点的个数问题.我们通过构建这两个函数的图象,拖动y轴上的控制点k,利用y=k这一动直线的移动变化观察出与函数y=|x2-4x+3|图象交点的个数(如图3),使问题得以解决．在这个演示实验的帮助下,学生就能很容易地获得所需要的答案．

5.运用图象直观,走出常见误区

方程2x=x2有______个解?此类问题在不少参考书上出现过,而学生往往会错误的认为只有两解．其实这个问题可以转化成函数y=2x与y=x2图象的交点有几个的问题.如果徒手作图,很容易得出只有两个交点的结论,笔者运用几何画板为学生展示了这个问题,就很直观地得出3个交点的结论,同时也加深了学生对“指数爆炸”这个概念的印象．

三、教学中运用几何画板应注意的问题

几何画板引入课堂,对教学活动无疑是大有帮助,但在应用时要注意以下几个问题:一是多媒体技术对教学只是起着辅助的作用,不应为应用多媒体而忽略知识的传授,更要注意避免多媒体在教学中的负面影响．二是几何画板确实为教学提供了很大的方便,但我们在应用时,只能用它来引导学生学习,让它帮助学生思考,而不是代替学生思维.作为教师要给予恰当的提示,通过计算机演示实验帮助学生完成思考过程,形成对知识的理解.利用几何画板是为了对一些学生不易掌握或不好理解的教学内容进行模拟实验,探索,让学生更直观更深刻更容易地理解和掌握所学知识,而不是利用计算机直接地给出结论,否则会使学生养成过分依赖的习惯,挫伤学生的创造意识和实践能力．因此我们在利用它教学时,必须要在比用传统教学手段授课易让学生接受、省时省力基础上才用它．

总之,从上面的探究过程可以看出,几何画板大大超越了传统黑板的作用,改变了常规教学的模式,有着传统尺规所无法比拟的优越性．“动态”是几何画板的魅力所在,它让抽象的数学问题变得直观,它为教师和学生创造了一个观察、探索几何图形内在关系的情境,动态地再现数学问题的发现过程与形成．几何画板不但使得数学问题形象化,更能吸引学生的眼球,让学生探究知识的欲望达到极致,让学生陶醉在美妙的数学世界中,几何画板让我们的数学课堂变得更加精彩．