一类广义四元素群上的Cayley图

曲靖师范学院数学与统计学院 马 丽

一类广义四元素群上的Cayley图

曲靖师范学院数学与统计学院 马 丽

对称图的研究起源于W.T.Tutte在1949年的一个重要结论。他证明了，当s≤6时不存在s-弧传递3度图。Cayley图作为一类具有高对称性的图受到广泛研究。本文主要研究一类广义四元素群上的Cayley 图，并给出此类图的具体刻画。

广义四元素群 Cayley图 O'Nan-Scott型

一、预备知识

本文所有的图都是简单的连通图，给定一个图Γ，用V Γ、E Γ、A Γ、Aut（Γ）分别表示它的点集、边集、弧集和全自同构群。

令G是一个有限群，S为G的不包含单位元1的子集，我们如下定义群G关于其子集S的Cayley（有向）图。

定义1：图Γ=Cay（G，S），其中图的顶点集V Γ=G，边集E Γ=｛（x，y）|yx-1∈S｝。

Cayley图是一类重要的点传递图，关于Cayley图有下列重要结论。

Γ=Cay（G，S）是群G关于子集S的Cayley图，则：

（1）Aut（Γ）包含G的右正则表示R（G），因而Γ是点传递的。

（2）Γ连通当且仅当G=〈S〉。

（3）Γ是无向图当且仅当S=S-1。

定义2：广义四元素群Q4p=｛〈a，b〉|a2p=1，b2=1，ab=a-1｝，根据定义关系知Q4p中的2p阶元素为ai，（i，2p）=1，4阶元为aib，其中i∈Z2p。

二、主要结果及其证明

设Γ=Cay（G，S）是群G关于子集S的Cayley图，对任意α∈Aut（G）则容易验证α是由图Γ=Cay（G，S）到图Γ=Cay（G，Sα）的图同构。

考虑Cayley 图的连通性和无向性，即G=〈S〉，S=S-1且不包含单位元的生成子集S在自同构Aut（G）下的轨道，则我们有如下的定理：

证明：由于Cayley图Γ是连通的，无向的。

则有S=S-1且G=〈S〉，因此S≠1。

下面分别考虑|S|=2和|S|=3情形。

当|S|=2，此时可分为以下两种情况讨论：S中只含有4阶元； S中只含有2m+1阶元。

（1）S中只含有4阶元

G中全体4阶元集合为｛a±2m-1，aib|0≤i≤2m+1｝，则S有下列2种情况：｛a2m-1，-2m-1｝，｛aib，a-ib-1｝。

然而这两个集合中的元素分别生成〈2m-1〉和〈aib〉，所以都不能生成群G。

（2）S中只含有2m+1阶元

G中全体2m+1阶元集合为｛ai|i∈Z2m+1，（i，2m+1）=1｝。于是S只可能为｛ai，a-i｝。此时S中的元素只能生成群〈ai〉，显然G≠〈S〉。

当|S|=3时，由于S=S-1，故S中必包含有2阶元。故3元子集在AutG下的轨道，可分如下情况讨论：S中只包含2阶元； S中只包含2阶元和2m+1阶元；S中不包含2m+1阶元。

（1）S中只包含2阶元

由于G中全体2阶元有3个：a2m、b2、a2mb2，因此全体2阶元生成〈a2m，b2〉，显然G≠〈S〉。

（2）S中只包含2阶元和2m+1阶元

则S只有3种情况：｛ai，a-i，a2m｝，｛ai，a-i，a2mb2｝，｛ai，a-i，b2｝ 。显然这三种情形都不可能生成G。

（3）S中不包含2m+1阶元

G中的非2m+1阶元为ai、aib、i，为偶数。

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ISSN2095-6711/Z01-2016-10-0236

马丽（1983—），女，博士，讲师，研究方向：群与图