逆向思维在微积分教学中的应用

金少华，臧婷，徐勇，程俊明



逆向思维在微积分教学中的应用

金少华，臧婷，徐勇，程俊明

微积分课程[1]以其严密性、抽象性、逻辑性、连贯性和推理性而著称，教学过程中普遍存在教师难教、学生怕学的问题．逆向思维具有把数学问题化隐为显、化难为易和化繁为简的功效．为提高微积分课程的教学质量和学生的学习效果，本文指出在微积分课程教学中应注意运用逆向思维等多种思维形式．

逆向思维的基本特点是从已有思路的反方向去思考问题．许多事实表明，逆向思维有利于开阔思路，有助于解决某些难题，克服思维定势的保守性，值得在教学过程中积极运用．如微分中值定理是微积分中基本的、重要的定理，证明的关键在于构造一个辅助函数，使其满足定理条件．由于学生对于构造辅助函数尚属初遇，从而很难接受．但若用逆向思维，便可较自然地找出辅助函数，易于学生接受．

柯西中值定理[2]如果函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，并且在开区间内，那么至少存在一点，使得.

分析对该题的通常解法是：先求出所给幂级数的收敛域，即和函数的定义域，然后利用幂级数的运算性质，和函数的连续性、可积性、可微性及变量代换求出和函数，过程较为繁琐．可以尝试运用逆向思维求该幂级数的和函数．

本题运用逆向思维的求解方法是由已知的幂级数展开式（的展开式）及其收敛域向要求和函数的幂级数凑，这就把该问题化隐为显，化难为易，化繁为简了．

[1] 高等学校工科数学课程教学指导委员会本科组．高等数学释疑解难[M]．北京：高等教育出版社，1992

[2] 同济大学应用数学系．微积分[M]．3版．北京：高等教育出版社，2010

（河北工业大学 理学院，天津 300401）

河北省高等教育学会“十二五”规划教研立项课题（GJXH2015-269）；河北工业大学教研立项重点项目（201502022）；2016—2017年度河北省高等教育教学改革研究与实践项目（2016GJJG024）