全国卷与“球”结缘带来的新挑战

广东 张红红

全国卷与“球”结缘带来的新挑战

广东 张红红

随着新一轮高考改革号角的吹响，2016年一共有25个省市回归全国卷．纵观近五年全国卷（理科数学），在立体几何这一板块的客观题中，球的组合体的考查尤其受到命题专家的青睐．

通过全国卷的真题和各省市模拟卷的分析，我们发现，命题专家在客观题中对球的组合体的考查时，常常需要学生根据已知描述自行画出直观图（或截面图），这样能很好地考查学生的空间想象能力，进而考查学生的抽象思维能力、对文字与图形的相互化归能力、运算能力等等．当所设计的客观题对应的几何图形较为复杂时，学生往往会觉得解决它比解决一道解答题难度更大．所以，球的组合体身兼数职，具有较强的考查功能性．

既然各类考题都热衷于与“球”结缘，这一考查方式为备战全国卷的考生带来了新的挑战．下面通过一些考题解析，让同学们体会解答这类题型要注意的细节问题．

【例1】（2015·全国卷Ⅰ理）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（ ）

A．1

B．2

C．4

D．8

【解析】该几何体为半球和半个圆柱的组合体，直观图如下：

【点评】画直观图时，为了作图和看图的方便，我们常常自己决定正视方向．所以适当调整方向是画图的一大技巧．

【例2】（2013·全国卷Ⅰ理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为（ ）

【解析】球与正方体上底面相交，得截面圆O1（即上底面中心），当球恰好接触水面时即与水面相切于O2（即正方形中心），由r2＋d2＝R2得（R－2）2＋42＝R2，解得R＝5，所以球的体积为．故选A．

【点评】球与水面相切于正方形中心O2是由球与正方体的对称性决定的．利用对称性，我们往往事半功倍．

【例3】（2012·新课标理）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为（ ）

【解析】球心O在截面圆中的投影必为截面圆的圆心O1，而等边三角形△ABC内接于截面圆O1，故△ABC的中心（即重心）与O1重合．所以CO1＝．在Rt△COO1中，由r2＋ d2＝R2可算得．因为O为SC的中点，所以S到截面圆O1的距离等于算得，所以此棱锥的体积为V＝

【点评】三角形的重心分所在的中线长度比为2∶1．

【例4】（2015·石家庄模拟）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

【解析】该几何体为倒放的正三棱柱．直观图如下（左）：

球心O在截面圆中的投影必为截面圆的圆心O1，而等边三角形△GFK内接于截面圆O1，故其中心（即重心）与O1重合．由等边三角形边长为2，可算得．由对称性可知，在

在Rt△FOO1中，由r2＋d2＝R2可算得故该三棱锥的外接球的表面积为．故选B．

【点评】为方便看图，三棱柱外接于球时将位置调整为正放．

【例5】（2016·广州模拟）在三棱锥P－ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB＝则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．16π B．20πC．25πD．32π

在Rt△AOO1中，OO1＝O2D＝1，AO1＝2，故该三棱锥的外接球的半径为，其表面积为4πR2＝20π．故选B．

【点评】因为侧面PBC⊥底面ABC，且PD垂直于两平面的交线BC，所以PD⊥底面ABC，所以有OO1∥O2D．这些推理结果有助于图形的描绘．

【例6】（2016·广州模拟）同底的两个正三棱锥内接于同一个球，已知两个正三棱锥的底面边长为2，球的半径为3，设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan（α＋β）的值是__________．

【解析】球心O在截面圆中的投影必为截面圆的圆心O1，而等边三角形△ABC内接于截面圆O1，故△ABC的中心（即重心）与O1重合．在等边△ABC中，由AB＝2可算得

【点评】正三棱锥的三大特点：底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面中心，各侧棱长相等．明白了这些性质，就能轻松得出PD⊥AC，O1D⊥AC，则∠PDO1＝α．同理∠QDO1＝β．

【变式】在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，，求该三棱锥外接球的表面积．

【答案】5π

最后，为了突破这一难点，叮嘱同学们注意以下几点．

1．熟悉几个经典模型的直观图．如：长方体外接于球（长方体的对角线长等于球的直径）；棱长为a的正四面体的外接球半径为，棱长为a的正四面体的内切球半径为．

2．习惯性地将几何体的底面所在截面圆描绘出来．

3．找准球心在截面圆中的投影（即截面圆的圆心）．球心和截面圆圆心的连线垂直于截面圆所在的平面．这样可以利用勾股定理算得相关线段长度．

4．巧用几何体的对称性．

5．巧借依托体．我们常常将某些特殊的三棱锥或其他几何体置于长方体中（或补形成长方体），研究该几何体的外接球便转化成研究该长方体的外接球．

（作者单位：广东省惠来县第一中学）