平面图形的直观图中线段的变化规律探讨

李凤华　孔宪荣

《普通高中课程标准实验教科书(数学)》必修2中，对水平放置的平面多边形的直观图的画法，采用了斜二测画法.在画图规则中，规定了平行于轴的线段的平行性不变；平行于x轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度缩为原来的一半.而对于不平行于轴的平行线段是否仍平行，不平行于轴的线段的长度是否改变呢？本文借助平面向量对此类问题加以探讨.

问题1 已知线段AB和CD，在直观图中分别对应线段A′B′和C′D′.若AB∥CD,则A′B′∥C′D′吗？

解 设i,j,i′,j′分别是x轴，y轴，x′轴,y′轴的正方向的单位向量，则可设AB=xi+yj,由CD∥AB,得：CD=mAB=mxi+myj,据斜二测画图规则，得

A′B′=xi′+12yj′,C′D′=mx

i′+12myj′

=mA′B′,

所以C′D′∥A′B′.

故A′B′∥C′D′.

问题2 已知线段AB和CD,在直观图中分别对应线段A′B′和C′D′，若|AB|=|CD|且AB∥CD,则|A′B′|=|C′D′|吗？

解 若|AB|=|CD|且AB∥CD,则CD=AB，由问题1求解过程（相当于m=1时的情况）知，C′D′=A′B′,

所以|A′B′|=|C′D′|.

问题3 探究不平行于轴的线段AB的长度与其直观图A′B′的长度之间的大小关系.

解 由问题2的结果知，相等的平行线段在直观图中仍相等，因此可把线段AB平移到OP，且使OP方向向上.可设OP=xi+yj(其中y>0)，则O′P′=xi′+12yj′.

于是有

|OP|=|O′P′|趚2+y2=x2+14y2+22xy趛=223x;

|OP|>|O′P′|趚2+y2>x2+14y2+22xy趛>223x;

|OP|<|O′P′|趚2+y2

所以，当OP即点P在射线y=223x(x>0)上时，

|OP|=|O′P′|;当

OP在射线y=0(x>0)与y=223x(x>0)之间时，

|OP|<|O′P′|；当OP在射线y=0(x<0)与y

=223x(x>0)之间时，|OP|>|O′P′|.

由于OP方向向上，它的位置可通过其所在直线的倾斜角体现；又因为AB∥OP且|AB|=|OP|，所以，直线AB和直线OP的倾斜角相等，记为θ,则当θ∈(0,arctan223)时，线段AB的长度在直观图中变长；当θ=arctan223时，线段AB的长度在直观图中不变；当θ∈(arctan

223,π)且θ≠π2时，线段AB的长度在直观图中变短.

问题4 在问题3中，记|A′B′|2=m|AB|2,则（1）m的变化范围是什么？（2）它与直线AB的倾斜角θ有何关系？

解 （1）在OP=xi+yj中，y=xtanθ,则由问题3的求解过程知

|AB|2=x2+y2=(1+tan2θ)x2,

|A′B′|2=(x2+y24+22xy)=14(tan2θ+22tanθ+4)x2,

所以m=tan2θ+22tanθ+44(tan2θ+1).

令t=tanθ,s=4m,则s=t2+22t+4t2+1(其中t∈R)，于是有

（s-1)t2-22t+(s-4)=0.

当s≠1时,(-22)2-4(s-1)(s-4)≥0,即s2-5s+2≤0,解得

5-172≤s≤5+172;

当s=1时，t=-324也符合.

所以,m=14s∈［5-178,5+178］.

故所求m的范围是［5-178,5+178］.

(2)s′=-22t2-6t+22(t2+1)2,令s′=0,得t1=-3-1722,t2=-3+1722,所以

s′=-22(t--3-1722)(t--3+1722)(t2+1)2.

当t∈(-∞,-3+1722)时，s′<0,s是关于t的减函数；当t∈(-3+1722,-3-1722)时，s′>0,s是关于t的增函数；当t∈(-3-1722,+∞)时，s′<0,s是关于t的减函数.

故当t=-3+1722,即θ=π+arctan(-3+1722)时，smin=5-172,mmin=5-178;

当t=-3-1722,即θ=arctan(-3-1722)时,smax=5+172,mmax=5+178.

综上可知，平行线段在直观图中仍平行；平行且相等的线段的直观图仍为平行且相等的线段；不平行的等长线段在直观图中不一定相等；不平行于轴的线段长度与其在直观图中线段长度的大小关系取决于线段所在直线的倾斜角，但它并非无限制的变长或变短，其变化率为

［10-2174,10+2174］.

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