由此及彼 由个到类——以“问题解决”的教学为例张

福建省厦门市湖里第二实验小学 张碧玉

由此及彼 由个到类
——以“问题解决”的教学为例张

福建省厦门市湖里第二实验小学 张碧玉

在数学问题教学的实践中，往往需要引导学生进行由此及彼、由个到类的数学思考，进而发展学习者转化与类化的能力。这些能力能发展学习者的数学素养，让学习者因学数学而智慧。

小学数学 问题解决 转化类化

众所周知，数学使人聪明，学好数学能更简洁、准确、快速地解决问题，这种能力亦或称之为素养的东西如何通过数学学习得以培养起来，值得每一位数学教育工作者的深思与践行。笔者发现：在数学问题教学的实践中，往往需要引导学生进行由此及彼、由个到类的数学思考，进而发展学习者转化与类化的能力。这些能力的培养，反过来又能促进解决问题的水平与能力的提升，同时发展学习者的数学素养，让学习者因学数学而智慧。

一、由此及彼，发展学生的转化能力

转化是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题,从而使问题得以顺利解决的一种数学思想方法。发展学生的转化能力，可以让学生自主建构更完整更系统的知识体系。因此，在问题解决教学中，教师应当在转化的素材与时机上下功夫，让学生在恰当的时机运用适当的素材做好转化的文章。

1.活用转化的素材。转化虽无处不在，但能把素材进行巧妙的利用，离不开老师对教材的深入挖掘和把握。特级教师俞正强执教的《植树问题》一课就是很好的典范。在传统的教学中，我们往往是直接出示植树新问题，引导学生通过画线段图从而得到“棵树比段数多1”的办法。但在俞老师的课堂上，他却在新旧知识的联结点上，巧妙运用转化，化新为旧，以旧引新。

课一开始，俞老师在黑板上出示一道题：20米，平均每5米分一段，共分几段？这是一道典型的平均分问题，学生们很快解答为：20÷5=4（段）。

紧接着，俞老师出示了第二道题：20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？

生1：应该还是用除法，20÷5=4。

师：有不同意见吗？

生2：我认为应该是要种5棵树。

师：为什么？

生2：因为每5米一棵树，而刚开始的时候就要先种一棵树，所以是种5棵树。

师：我们算出来明明是4棵，他偏偏说是5棵，谁懂他的意思？

生3：是不是就是从0米开始就要先种一棵？

这时俞老师利用线段图画一画，引导学生感受“5棵树”的由来。

师：这两道题有没不一样？不一样在哪里？

生：一个问分几段，另一个问种几棵。

师：几段和几棵有什么不一样吗？

生：段是两个中间的一个单位，棵是以个为单位的。

师：平均分是一段一段分的，但种树的时候，是种在段上的还是种在哪里的？

生：段与段之间的点上。

师：对！种树是种在点上的，两者的区别就在这儿……

数学中每一个新知识几乎都是在旧知识的某一连接点上生长起来的，从教学片段中可以发现，俞老师巧妙地从除法平均分入手，先解决一道平均分“旧问题”，再试着解决植树“新问题”，制造出“我们算出来明明是4棵，他偏偏说是5棵，这是怎么回事”的认知冲突，再深入分析“这两道题有没不一样？不一样在哪里”，在寻找植树问题与平均分问题之间的异同点中，感受新旧知识的紧密联系，也让学生对新生事物自然而然产生亲切感。

2.巧用转化的时机。教学实践表明：同样的素材会因不同的时机选择而产生迥然不同的教学效果。因此，教学中老师还要善于把握好转化的时机。例如，在执教《加法交换律》一课时，在学生认识了加法交换律后，老师问到：加法交换律我们以前见过吗？孩子们就想：这不是今天才学习的新知识吗，我们哪里有见过呢？老师出示下图，并故作神秘地说：我们不仅见过，我们还用过呢。不信呀，你们瞧！

让学生情不自禁地感叹到：原来我们早就认识这个新朋友了，数学知识原来是这样的紧密联系。

这个转化的素材其实也可以前置于课的开始，然而，置于课的开始将大大地削弱本课的探究性。而此时“回马一枪”将新知与旧知联系起来，引导学生由此及彼，对于学生建立系统的知识结构是很有好处的，并且也让学生对转化思想的体验更深刻更真切。

综上所述，在不断地由此及彼的转化中，教师通过对教材进行深入细致的挖掘和运用，把看似无关联的知识点在恰当的时机进行巧妙的转化。学生一方面会发现数学知识不是割裂的知识碎片，而是充满联系的整体，这对于他们利用联系的方法学习数学是大有帮助的。同时培养起他们一种普遍联系的哲学眼光；另一方面，在广泛的转化的学习经验的积累中，学生自然而然地可以在转化中学会转化，发展转化的能力。

二、由个到类，发展学生的类化能力

类化，就是让学生通过解决一个问题进而学会解决这一类的问题，从而借助事情的共同特征去认识事物，创造事物。有了类化能力，不仅能形成良好的认知结构，建立数学模型，还能发展创新思维，提升学习品质。具体地，在数学解决问题中应当注重引导学生敢于联想、善于联想以培养学生的类化能力。

1.引导学生敢于联想。数学上的联想往往表现为一种想象，诚如爱因斯坦所说的：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切 ，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”在解决问题的教学中，教师引导学生大胆联想，往往可以突破“一个题”的羁绊，而将目光与思考锁定到“一类题”共同特征上。

在俞正强老师执教的《植树问题》中就有这样一个引发学生联想的片段：

师：植树人把树植在点上，想想看，还有什么人做什么事也把它做在点上的？

在俞老师循循善诱下，学生们放飞思维，举出了很多生活中“种”在“点”上的例子，如：桌上每隔几分米放一个水杯，这里水杯是“树”；建筑工人每隔几米打地桩，这时地桩成了“树”；街上每隔几米竖一个路灯，路灯成了“树”；高速公路每隔几米设置一个服务区，服务区成了“树”；每节课的课间放一首音乐，这音乐也成了“树”。俞老师甚至让孩子们思考：美国每隔五年选总统，总统是不是“树”？这个大胆问话，可把孩子们难住了，总统怎么成了树？可每隔五年的规律就是平均分，总统居然真的是“树”。多么大胆的联想啊！不仅让学生看到了一棵树，更是看到了一片的“数学问题”的树林。

这样一种打开学生视界的教学，让学生逐渐地学会由个到类地思考问题，也让学生的思维更开放、更自由、更无拘束，由此，与其说打开的是眼光中的视界，毋宁说打开的是学生思维的天地。

2.引导学生善于联想。大胆地联想是意识层面的，只有意识上的“敢于联想”显然是不够的，在具体的数学问题解决的教学中，教师还应当引导学生学会联想的方法，从而善于联想。只有这样，有了主动联想的意识，再加上有了联想的方法，学生才能真正在问题解决中自觉运用联想的方法，从而在不断积累的联想的经验与体验中学会由个到类地数学思考。

在《用字母代表数》一课中，老师设计了这样一道抢答题：

①蜗牛每天爬3米，x天爬（ ）米。

②一朵百合花3元，x朵百合花（ ）元。

③阿姨每天做3面红旗，x天做（ ）面红旗。

师：你发现了什么？

生：答案都是3x

师：3x给我们讲述了不同的数学故事，它还可以讲什么故事呢？你来试试看。于是，同学们打开了思维的大门，畅所欲言地讲述他们对3x这道式子在生活中的运用。这样的练习设计，不仅让孩子们用数学的眼光去发现生活中的数学问题，更让学生进一步体会，现实生活中的看似许多不同事件，其实都蕴含着相同的数量关系或者数学意义。

综上所述，解决问题的教学不是为了一个题的教学，而是为了一类题的领悟。学生对一类题的领悟不可能也不应当建立在完成一类题的训练之后，教师要做的是让学生从一个题中看到一类题，那种就题讲题的教学是让学生只见树木不见森林的教学，是低效的教学，更是制约学生思维能力发展的教学。更恰当的做法应当是引导学生大胆联想，“举一隅而以三隅反”，进而在不断的经验积累中发展“由个到类”的数学思考。同时在广泛的类化的学习经验的积累中，在类化中学会类化，发展类化的能力。