一类新的Ray谱任意符号模式*

梅银珍， 高玉斌

(中北大学 理学院， 山西 太原 030051)



一类新的Ray谱任意符号模式*

梅银珍， 高玉斌

(中北大学 理学院， 山西 太原 030051)

摘要:研究了组合矩阵论中Ray模式矩阵的谱任意及其极小化问题. 首先利用推广的幂零-雅可比方法， 通过矩阵和图之间的关系证明给定模式类矩阵的雅可比行列式是非零的； 寻找给定Ray符号模式的一个幂零矩阵， 从而得到了一类新的仅含3n个非零元的谱任意Ray-符号模式矩阵. 然后利用矩阵分析的方法证明该模式也是极小Ray-谱任意符号模式.

关键词:Ray-符号模式； 幂零-雅可比方法； Ray-谱任意符号模式； 极小Ray-谱任意符号模式

0引言

符号模式矩阵的定性理论主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类的组合性质, 即研究实矩阵所具有的仅与其符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质,它与图论、 组合矩阵论、 矩阵分析、 常微分方程、 信息和计算科学、 经济学、 化学等有密切联系. 例如， 考察复符号模式矩阵定性类中的矩阵所统一具有的性质对研究量子力学中带有复元的线性动力系统是非常有意义的， Ray-模式矩阵是复符号模式的一种特殊模式. 近年来， Ray-模式矩阵的研究成为一些国际同行广泛关注的热点问题， 它也是组合矩阵论中一个非常重要的研究课题.

n阶Ray 模式矩阵A=(aij)是指元素取自集合aij∈{eiθ|0≤θ<2π}∪{0}的矩阵， 简称为Ray模式， 其中i是虚数单位， i2=-1. 用Qn表示全体n阶Ray模式所组成的集合. 对任意A∈Qn, 所有与A有相同Ray模式的复矩阵组成的集合

称为由A所决定的定性矩阵类， 记为Q(A).

令A是n阶Ray模式. 若对任意给定的每个n次首1复系数多项式r(x)， 均存在复矩阵B∈Q(A)， 使得r(x)即为B的特征多项式， 则称A是Ray谱任意模式(a Ray Spectrally Arbitrary Pattern， RSAP). 若存在复矩阵B∈Q(A)， 使其特征多项式为xn， 则称A是蕴含幂零的(PotentiallyNilpotent，PN).

Ray模式P=(pij)是Ray模式A=(aij)的母模式是指， 若aij≠0， 则pij=aij. 若P是A的母模式， 则A是P的子模式.

谱任意模式必定是幂零的. 如果A是RSAP， 而且A的任一真子模式都不是Ray谱任意模式， 则称A是极小Ray谱任意模式(aMinimalRaySpectrallyArbitraryPattern，MRSAP).

谱任意问题首次在文献[1]中被Drew.等人提出， 他们将谱任意符号模式进行了分类， 给出了判断谱任意符号模式的幂零-雅可比方法[2]， 随后学者使用该方法给出了一些谱任意模式[3-9].JudithJ将该方法推广到了Ray模式[10]， 本文利用推广的幂零-雅可比方法， 给出了一类极小谱任意Ray模式， 并对其极小性进行了研究.

设

(1)

式中： n≥6, θ∈[0,2π].

下面证明An是MRSAP.

1部分引理

令A[i1,i2,…,ik]表示矩阵A的k阶顺序主子矩阵，A[i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jl]表示由来自矩阵的i1,i2,…,ik行， 去掉A的j1,j2,…,jl列所构成的子矩阵.

为了考虑方便， 设

(2)

其中, ai>0, bj>0, i=1,2,…,n, j=1,2,…,n, 则Bn∈Q(An).

令|λI-Bn|=λn+α1λn-1+α2λn-2+…+αkλn-k+…+αn-1λ+αn, αk=fk+igk, k=1,2,…,n.

由于矩阵的特征多项式中xn-j的系数即为Bn中j-长的不相交的圈的符号和， 从而可得Bn的特征多项式， 如表 1 所示.

detJ=detJ[1,2,…,2n-6]detJ[2n-5,2n-4,2n-3,2n-2,2n-1,2n]=

表 1　Bn的特征多项式

λ的幂次系数λn-1a1-cosθ+i(b1-sinθ)λn-2a2-a1cosθ+b1sinθ+i(b2-b1cosθ+a1b1-a1sinθ)λn-3-a3-a2cosθ+(a1b1+b2)sinθ+i[b3+b2(a1-cosθ)+b1(a2-a1cosθ)-a2sinθ]λn-4-a4+(a2b1+a1b2+b3)sinθ+i[b4+b3(a1-cosθ)+b2(a2-a1cosθ)-b1(a2cosθ+a3)]λn-j(5≤j≤n-3)-aj+(bj-1+a1bj-2+a2bj-3)sinθ+i[bj-(a1-cosθ)bj-1-(a1cosθ-a2)bj-2-(a3+a2cosθ)bj-3-∑j-1k=4akbj-k]λ2an-2+(a2bn-5+a1bn-4+bn-3)sinθ-bn+i[bn-2+(a1-cosθ)bn-3+(a2-a1cosθ)bn-4-a2bn-5cosθ-∑n-4k=3akbn-k-3]λan-1+(a2bn-4+a1bn-3)sinθ-a1bn+i[bn-1+a1bn-2+(a2-a1cosθ)bn-3-(a2cosθ+a3)bn-4-∑n-3k=4akbn-k-1+(an-2-bn)b1]λ0a2bn-3sinθ-an+i(a1bn-1+an-1b1+an-2b2-a1b1bn+a2bn-2-a2bn-3cosθ-∑n-3k=3akbn-k)

引理 2当n≥6时， 存在θ∈[0,2π]使得Ray模式An蕴含幂零.

(3)

和

(4)

首先， 由式(3)和式(4)可得

(5)

将式(5)代入式(3)和式(4)则有

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

将式(7)， (8)代入式(9)整理可得

q2(4-5q2)bn-6+q(11q2-10q4-2)bn-7+

式(10)两侧同时乘以a1b1后将式(9)代入， 则

引理 3(推广的幂零-雅可比方法[10])：

1) 首先在给定的Ray模式类中寻找一个幂零复矩阵， 不妨记为B；

2) 在B中挑选eθij的2n个正系数， 记为r1,r2,…,r2n， 将这些正数分别用变量t1,t2,…,t2n来代替， 替换后所得矩阵记为X；

3) 记矩阵X的特征多项式为

5) 若行列式|J|在(t1,t2,…,t2n)=(r1,r2,…,r2n)点处值非零， 则给定的Ray模式以及它的所有母模式(Superpatterns)都是谱任意的.

引理 4[10]任一n阶不可约谱任意Ray模式至少含有3n-1个非零元.

2主要结果

由引理1， 引理2和引理3可得如下定理.

定理 1当n≥6时， 存在θ∈[0,2π]使得Ray模式An和其母模式都是谱任意的.

定理 2当n≥6时， An是一极小Ray谱任意模式.

证明令T=(tij)是An的一个子模式. 假定T是Ray谱任意的， 则T一定是幂零的. 下面分情况讨论

1) 显然t33≠0. 否则tr(T)≠0.

2) 为研究方便， 设B∈Q(T)， 取B为式(1)形式的矩阵.

2a)t12≠0,t23≠0且tn-1,n≠0. 否则， 对应矩阵的行列式值是零或纯虚数.

2b)an≠0. 否则， 对应矩阵的行列式值是一实数.

2c)a2≠0,an-2≠0,an-1≠0且ti,(i+1)≠0，i=4,…,n-2. 否则， 对应矩阵是符号非奇异的.

2e)bj≠0,j=2,…,n-2. 否则， 在B的对应矩阵的特征多项式中， 令f1=g1=f2=0, 则gj恒小于零.

3) 因为T是RSAP, 设B是其幂零矩阵. 则

3a) a1≠0, b1≠0且t34≠0. 否则， 由引理2知b2=0, 从而T最多只有3n-2个非零元， 这与引理4相矛盾.

3b)a3≠0. 否则， 令引理3中fn-1=0， 则有a1b1bn-an-1b1>0, 从而B是符号非奇异的.

综上所述， 不存在An的真子模式是谱任意的， 故An是极小谱任意Ray模式.

参考文献:

[1]McDonald J J, Stuart J. Spectrally arbitrary ray patterns[J]. Linear Algebra and its Applications, 2008, 429(4): 727-734.

[2]CaversMS,KimIJ,ShaderBL,etal.Ondeterminingminimalspectrallyarbitrarypatterns[J].ElectronicJournalofLinearAlgebra, 2005, 13(1): 17.

[3]GaoYubin,ShaoYanling.Newclassesofspectrallyarbitraryraypatterns[J].LinearAlgebraanditsApplications, 2011, 434(10): 2140-2148.

[4]DrewJH,JohnsonCR,OleskyDD.Spectrallyarbitrarypatterns[J].LinearAlgebraanditsApplications, 2000, 308(1): 121-137.

[5]MacGillivrayG,TifenbachRM,VandenDriesscheP.Spectrallyarbitrarystarsignpatterns[J].LinearAlgebraandItsApplications, 2005, 400(5): 99-119.

[6]CorpuzL,McDonaldJJ.Spectrallyarbitraryzero-nonzeropatternsoforder4[J].LinearandMultilinearAlgebra, 2007, 55(3): 249-273.

[7]BritzT,McDonaldJJ,OleskyDD,etal.Minimalspectrallyarbitrarysignpatterns[J].SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications, 2004, 26(1): 257-271.

[8]CaversMS,VanderMeulenKN.Spectrallyandinertiallyarbitrarysignpatterns[J].LinearAlgebraanditsApplications, 2005, 394: 53-72.

[9]GarnettC,ShaderBL.Thenilpotent-centralizermethodforspectrallyarbitrarypatterns[J].LinearAlgebraanditsApplications, 2013, 438(10): 3836-3850.

[10]BergsmaH,VanderMeulenKN,VanTuylA.Potentiallynilpotentpatternsandthenilpotent-jacobianmethod[J].LinearAlgebraandItsApplications, 2012, 436(12): 4433-4445.

A New Family of Ray Spectrally Arbitrary Patterns

MEI Yin-zhen, GAO Yu-bin

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

Abstract:This paper discussed a class of minimal Ray spectrally arbitrary pattern Ray sign patterns. Firstly, by the extended nilpotent-Jacobi method, the relationship between the matrix and the corresponding graph was applied to prove that the determinant of the Jacobi matrix is nonzero in the given Ray pattern class，a nilpotent matrix was found in the given Ray pattern class, and a new family of spectrally arbitrary Ray patterns that have exactly 3n nonzeros was obtained. Secondly, by the matrix analysis theorem, the patterns are the minimal Ray spectrally arbitrary patterns were proved.

Key words:Ray sign pattern; nilpotent-Jacobi method; Ray spectrally arbitrary pattern; minimal Ray spectrally arbitrary pattern

中图分类号:O157.5

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.01.001

作者简介：梅银珍(1977-)， 女， 副教授， 硕士， 主要从事组合数学研究.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11071227)； 山西省留学基金资助项目(2012-070)

*收稿日期:2015-04-17

文章编号:1673-3193(2016)01-0001-05