非线性粘弹性杆波动方程的精确解*

郭　鹏， 万桂新， 王小云， 孙小伟

(1. 兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070；

2. 兰州交通大学 铁道车辆热工教育部重点实验室， 甘肃 兰州 730070)



非线性粘弹性杆波动方程的精确解*

郭鹏1,2， 万桂新1， 王小云1， 孙小伟1

(1. 兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070；

2. 兰州交通大学 铁道车辆热工教育部重点实验室， 甘肃 兰州 730070)

摘要:应用推广的Tanh函数方法对非线性粘弹性杆波动方程进行了求解. 得到了孤波解、 有理数解、 三角函数周期波解等一些不同形式的精确解. 这种方法的主要思想是充分利用Riccati方程， 用它的解去构造原方程的解， 并且能从参数的符号准确地判断出行波解的类型和个数. 从求解过程可以看出， 该方法是一种简便、 有效的方法， 并且可用于求解其它非线性方程或方程组.

关键词:推广的Tanh函数方法； 非线性粘弹性杆； 波动方程； 精确解

0引言

杆是工程应用中的重要元件， 杆件中的波动问题一直是工程领域研究的热点. 随着研究工作的深入， 近年来， 杆中非线性波的研究越来越引起科研人员的关注[1-5]. 在文献[6]中， 高经武等人基于达朗贝尔原理和虚功原理推导了考虑横向惯性效应下三次材料非线性粘弹性杆波动方程， 利用多重尺度法导出了反应应变畸变的MKdV-Burgers方程， 并给出了应变MKdV-Burgers方程激波形式的精确解. 需要注意的是， 这里所得到的解相对于原方程来说仍然是近似解. 对于非线性方程的求解， 目前已经提出了很多构造精确解的有效方法. 例如逆散射法、 达布变换法、 贝克隆德变换法、 Hirota双线性法、 sine-cosine法、 Exp函数展开法、 G′/G展开法、 映射法、 齐次平衡法、 Tanh函数法等[7-17]. 在这些求解方法中， Tanh函数法是一种较为简便的方法[17]， 利用它人们已经获得了很多非线性方程的精确解. 范恩贵等人对这一方法进行了推广， 提出了推广的Tanh函数方法[18-20]， 利用这一推广的方法可以获得更多的精确解. 本文应用推广的Tanh函数方法对非线性粘弹性杆波动方程直接进行了求解， 得到了孤波解、 有理数解、 三角函数周期波解等一些不同形式的精确解.

1推广的Tanh函数方法

考虑非线性方程

(1)

引入变换

(2)

式中：c为波速. 将式(2)代入式(1)可得

(3)

假设式(3)的解为

(4)

(5)

式中：ak,b为待定常数；M为正整数(平衡方程中最高阶非线性项和最高阶色散项即可确定). 式(5) 具有以下形式的解

(6)

将式(4)， 式(5)代入式(3)整理后可得到关于Y(ξ)各次幂的方程， 使Y(ξ)的同次幂系数为零可得到一组代数方程组， 求解该方程组即可确定出ak,b.

2非线性粘弹性杆波动方程的精确解

设一无限长均质等截面圆柱杆， 横截面半径为R， 面积为A， 密度为ρ， 材料为Kelven-Voigt粘弹性， 其本构关系具有三次非线性形式

(7)

式中：σ为应力；ε为应变；E为弹性模量；β是非线性材料参数；η为粘性阻尼系数. 设u=u(x,t)为轴向位移， 基于平截面假定及单轴应力状态， 则有σr=σθ=0， 其几何关系为

(8)

(9)

式中：d为回转半径. 将式(2)代入式(9)可得

(10)

(11)

(12)

平衡式(12)中最高阶非线性项和最高阶色散项， 由3M=M+2可确定出M=1， 根据式(4)有

(13)

将式(5)和式(13)代入式(12)可得

(14)

令式(14)中Y(ξ)的同次幂系数为零可得

(15)

从式(15)中可解得

(16)

(17)

将式(6)， 式(16)， 式(17)代入式(13)可得

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

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(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

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(34)

(35)

(36)

(37)

在上述结果中， 式(28)～式(31)为非线性粘弹性杆波动方程的孤波解， 式(32)～式(33)为非线性粘弹性杆波动方程的有理数解， 而式(34)～式(37)即为非线性粘弹性杆波动方程的三角函数周期波解. 对于这些精确解， 应用数学软件还可以很方便地对它们进行数值模拟， 图 1 模拟了式(28)形式的孤波解， 图 2 模拟了式(32)形式的有理数解， 图3模拟了式(34)形式的三角函数周期波解.

图 1　式(28)中取b=-0,5,c=0.2,δ=2.4,λ=5,α=1.5,γ=3时， u的波形图Fig.1　Evolution of solution (28) for b=-0.5,c=0.2,δ=2.4,λ=5,α=1.5,γ=3

图 2　式(32)中取b=0.5,c=0.2,δ=2.4,λ=5,α=1.5,γ=3时， u的波形图Fig.2　Evolution of solution (32) for b=0.5,c=0.2,δ=2.4,λ=5,α=1.5,γ=3

图 3　式(34)中取b=0.5,c=0.2,δ=2.4,λ=5,α=1.5,γ=3时， u的波形图Fig.3　Evolution of solution (34) for b=0.5,c=0.2,δ=2.4,λ=5,α=1.5,γ=3

3结论

应用推广的Tanh函数方法对考虑横向惯性效应下三次材料非线性粘弹性杆波动方程直接进行了求解， 得到了孤波解、 有理数解、 三角函数周期波解等一些不同形式的精确解， 并对部分结果进行了数值模拟. 从求解过程可以看出， 该方法是一种简便、 有效的方法， 所得到的结果也比较丰富. 同时， 这种方法还可用于求解其它非线性方程或方程组.

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Exact Solutions for Wave Equation of Nonlinear Viscoelastic Rod

GUO Peng1,2, WAN Gui-xin1, WANG Xiao-yun1, SUN Xiao-wei1

(1. School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. Key Laboratory of Railway Vehicle Thermal Engineering, Ministry of Education,Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Abstract:The wave equation of nonlinear viscoelastic rod was solved by the extended Tanh-function method. These exact solutions include solitary wave solutions, rational number solutions and trigonometric function periodic wave solutions. The key idea of this method is to take full advantage of Riccati equation and use its solutions to construct the solutions of the original equation. The sign of the parameters can be used to exactly judge the numbers and types of these traveling wave solutions. The solving process shows that the extended Tanh-function method is simple, effective and it can be used for many other nonlinear equations or equation sets.

Key words:extended Tanh-function method； nonlinear viscoelastic rod； wave equation； exact solution

中图分类号:O343.5

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.01.005

作者简介：郭鹏(1978-), 男, 副教授, 主要从事非线性物理的研究工作.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11464027)； 甘肃省高等学校科研项目资助项目(2014A-053)； 兰州交通大学青年科学基金资助项目(2013026， 2014023)

*收稿日期:2014-12-22

文章编号:1673-3193(2016)01-0019-05