p-Laplacian方程在依赖时间赋范空间中全局吸引子的存在性*

周　萍， 李晓军

(河海大学 理学院， 江苏 南京 210098)



p-Laplacian方程在依赖时间赋范空间中全局吸引子的存在性*

周萍， 李晓军

(河海大学 理学院， 江苏 南京 210098)

摘要:对非自治p-Laplacian系统的长时间动力学行为进行了研究. 在带参变量t的有界赋范空间中, 给出拉回吸收集、 全局吸引子和过程的概念. 利用时间全局吸引子理论, 说明过程在拉回意义下吸收集是存在的.在正则性更高的空间中过程是有界的， 利用Sobolev嵌入定理, 说明过程是拉回渐近紧的, 进而得到结论: 依赖于时间t的全局吸引子是存在的.

关键词:p-Laplacian方程; 非自治系统; 赋范空间; 全局吸引子

设Ω⊂Rn为一有界光滑区域， 考虑下面的非自治p-Laplacian方程

(1)

式中：g∈L2(Ω)，p>2,f(x,u)=f1(u)+a(x)f2(u) 满足下面的假设

(2)

(3)

式中：ci(i=1,2,…,6) 为正常数， 且存在常数c， 使得cc1-c6‖a‖L∞(Ω)>0.ε(t)∈C1(R)是单调递减函数， 并满足

(4)

且存在L>0， 使得

(5)

当ε(t)=1时， 关于方程(1)全局吸引子的存在性[1-6]及散度项带参数的p-Laplacian方程已有大量的研究[7]. 由于方程(1)带有奇异性， 即散度依赖于时间变量ε(t)， 且ε(t)在无穷远处衰减为0， 这在运用经典方法得到吸收集的存在性时带来一定的困难[8]. 为得到时间导数项或-Δ项依赖于时间参数的波方程的全局吸引子的存在性， R.Teman 等人分别在文献[9-11]中将时间参数并入过程所定义的空间中， 给出了在依赖于参数t的空间中全局吸引子的存在性. 本文应用文献[6-7] 中的理论， 考查方程(1)在依赖于时间t的赋范空间中全局吸引子的存在性.

1预备知识

对t∈R， 令Xt是一族依赖于t的赋范空间， 称双参数算子族{U(t,τ)∶Xτ→Xt}τ≤t是一过程， 若它满足：

1) U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ), 任给τ≤r≤1;

2) U(τ,τ)是Xτ上的恒同映射.

定义 1称一致有界的一族集合{Bt}t∈R是拉回吸收集， 如果对任意的M>0， 都存在t0=t0(t,M)≤t， 使得

若其拥有一拉回吸收集， 称过程U(t,τ)是耗散的.

若过程U(t,τ)拥有一个非空紧的拉回吸引集， 即{Kt}t∈R是拉回吸引的， Kt⊂Xt是Xt中的紧集， 则称U(t,τ)是渐近紧的.

定义 3称{At}t∈R是过程U(t,τ)依赖于时间的全局吸引子， 如果{At}t∈R是拉回吸引的， At⊂Xt是紧集， 且是吸引意义下的最小集合.

以上定义中， 最小特性是保证吸引子的唯一性， 为保证吸引子的不变特性， 引入下面定义.

若对固定的T>0,U(t,t-T)是闭的， 则称U(t,τ)是T-闭的.

由上述定义可知， 连续过程， 强弱连续过程， 闭过程都是T-闭的. 下面给出关于依赖时间的全局吸引子的存在性抽象结果[6-7].

定理 1假定过程U(t,τ)∶Xτ→Xt是渐近紧的， 则存在依赖于时间的全局吸引子{At}t∈R，At⊂Xt. 进一步假设U(t,τ)是T-闭的， 则{At}t∈R满足不变特性：U(t,τ)Aτ=At,t≥τ,τ∈R.

2主要结论

定理 2假设f,ε满足条件(2)～(5)， g∈L2(Ω)， 则对任意的t∈R， 任意的初值uτ∈L2(Ω)和任意的T≥τ， 方程(1)存在唯一的弱解u∈C([τ,T]; L2(Ω))， 且映射ut→u(t,τ;uτ)在L2(Ω)中连续.

由上定义知， 在Xt中可以定义连续的过程

(6)

式中： u(t)是(1)～(5)的解. 现给出本文的主要结果:

为证明定理 3， 首先证明下面2个引理.

引理 1若g∈L2(Ω), f,ε满足条件(2)～(5)， 则有

其中Q， N为不依赖于t,τ的正常数.

证明对方程(1)两边用ε(t)u于L2(Ω)中作内积， 可得

(7)

应用ε(t)的假设， 忽略式(7)左边第2项， 得

(8)

由于f(x,u)=f1(u)+a(x)f2(u)， 应用条件(2)～(3)可得

(9)

(10)

式(7)右边项可估计为

(11)

这里用到Young不等式， 其中θ为充分小的正常数. 故由式(8)～(11)得

(12)

又p>2， 故有

(13)

其中， C为不依赖于t,u的常数. 所以由式(13)及a(x) 的假设， 存在常数Q， 使得

(14)

将式(14)代入式(12)可得

(15)

忽略式(15)中左边第2项， 应用Gronwall引理可得

即

由引理1可知， 由(6)定义的过程U(t,τ)存在一个一致有界的拉回吸收集{Bt}t∈R， 其中Bt={u∈Xt,‖u‖Xt≤2N}.

引理 2若g∈L2(Ω)， f,ε满足条件(2)～(5)， 则当初值uτ∈Bτ时， 存在τ0=τ0(N,Q)， 使得

其中M为不依赖于t,τ的正常数.

证明由式(8)可得

(16)

式(16)在t到t+1上积分

(17)

(18)

(19)

则

(20)

(21)

设F(x,u)=F1(u)+a(x)F2(u). 由式(16)～(21)并应用引理1可得， 当uτ∈Bτ时存在τ0=τ0(N,Q)， 使得

(22)

其中， M为不依赖于t,τ的正常数. 对方程(1)， 用ε(t)ut于L2(Ω)中作内积

(23)

式(23)右边可估计为

(24)

故由式(23)～(24)得

(25)

考虑式(22)， 应用一致Gronwall引理于式(25)， 可得

(26)

利用式(21)和(22)可得

结合引理2可得

定理 3 的证明由引理 1 可知u(t,τ)于Xt上存在一致有界的拉回吸收集存在{Bt}t∈R. 由于Yt到Xt的嵌入是紧的， 故由引理2知， u(t,τ)在Xt上是紧的渐近. 应用定理 1 和 2， 定理得证.

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Existence of Global Attractors for p-Laplacian Equations in Time-Dependent Normed Spaces

ZHOU Ping, LI Xiao-jun

(School of Science, Hohai University, Nanjing 210098, China)

Abstract:The long time dynamical behavior of the non-autonomous p-Laplacian systems was studied.In bound normed space with parameter t, the concepts of pullback absorbing set and global attractor and process were given. Based on the recent theory of time-dependent global attractors, the process had absorbing sets in the sense of pullback. In the higher regular space, the process was bounded. Using the Sobolev embedding theory, the process was pullback asymptotically compactness. It draws the conclusion that the global attractor which depends on the parameter t is existed.

Key words:p-Laplacian equation; non-autonomous systems; normed spaces; global attractor

中图分类号:O175

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.01.002

作者简介：周萍(1991-)， 女， 硕士生， 主要从事非线性分析与无穷维动力系统的研究.

*收稿日期:2014-12-24

文章编号:1673-3193(2016)01-0006-04