备课参考基于活动设计促进学习目标达成的教学案例

卢焱尧

摘 要：学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念. 我们的教学过多重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核. 学生由于没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念. 观念的建立需要人们亲身的经历.要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入统计活动的全过程中去. 本堂课，笔者以“活动体验”为主线，以“问题导引”为核心，以“应用感悟”为目标，并力图通过“提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进”教学活动环节达成教学目标，并让学生在参与活动中学会统计方法，感受统计思想.

关键词：活动设计；目标达成；案例

[?] 内容和内容解析

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析结果做出决策的科学. 现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策.统计可以为人们制定决策提供依据.

本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修3）中第二章《统计》第三节“变量间的相关关系”的内容.本节主要是探讨利用回归直线方程对生活中的实际问题进行分析与预测，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识，同时为选修2-3回归分析的应用奠定基础.

“变量间的相关关系”一节教材的教学共分两个课时：第一课时介绍变量间的相关关系，区分函数关系与相关关系的区别与联系；了解正相关、负相关的概念；利用统计抽样的方法收集生活中变量间的相关关系. 第二课时介绍回归直线的概念、意义；利用最小二乘法推导回归直线方程的数学思想；利用回归直线方程分析预测生活中的实际问题.这一课时的内容是一个比较完整的建立回归直线模型解决实际问题的例子，可以让学生经历运用回归直线模型分析、预测实际问题的全过程.

“变量间的相关关系”的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系.主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等. 研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度. 然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值.

因此，本节的教学重点是：了解最小二乘法的思想，利用此思想借助适合的信息技术手段求出回归方程，并利用回归直线进行简单的分析和预测.

[?] 教学目标设置及解析

（一）教学目标

知识与技能目标

1. 根据散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程.

2. 利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解.

过程与方法目标

1. 通过启发引导，让学生体会回归直线是“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的直线，并通过类比转化、化繁为简，将几何问题转化为代数问题，感受最小二乘法的数学思想方法；

2. 让学生全程参与对实际问题中数据的收集、整理、分析、判断、预测等过程，让学生真实感受统计思想的应用，培养学生的统计观念，增强学生对抽样方法、相关关系等统计知识的理解，并培养学生应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的能力.

3. 通过让学生参与利用电子表格处理回归直线方程，降低运算量，增强分析功能，让学生感受计算机等现代教育技术在统计中的重要作用.

情感态度价值观目标

通过小组合作，探究生活中具有相关关系的变量，并利用回归方程分析、预测变量间的关系，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中感知统计思想的应用价值，体会统计对决策的作用，以及统计“源于生活，服务于生活”的理念，并感受到课堂教学与生活应用接轨时带来的成就和快乐.

（二）目标解析

1. 学生在学习了抽样方法和相关关系后，对生活中具有线性相关的变量较为关注，此时调动学生的积极性，让学生参与提出问题、收集数据、处理数据的全过程，有利于激发学生学习新知的内驱力，为线性回归方程的推导，创造良好的学习氛围.

2. 通过经历收集数据并利用回归直线分析和预测实际问题的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、类比等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用电子表格等信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成.

[?] 学生学情分析

1. 在学习本堂课内容之前，学生已经学习了随机抽样的基本方法，基本掌握用样本数据的特征去估计总体数据特征的统计思想，会进行简单统计图，例如：直方图、散点图的制作，了解统计图在刻画样本数据特征中的作用及不足，同时通过对上一课时 “变量间的相关的关系”学习，学生了解到生活中的众多变量中除了函数这一确定性的关系外，还有许多非确定性的关系，比如相关关系. 研究变量的相关关系能帮助我们对变量进行预测、估计，为决策提供相关的统计依据.

2. 为了达成教学目标中关于回归直线是最能体现线性相关关系中样本点“代表性”的直线，如何把这种“代表性”转化为点与线的接近程度，进一步转化为点到直线的距离，然后通过化繁为简转化为平行于纵轴的直线上两点间的距离，最后转化为用最小二乘法求一个二元函数最小值从而解决回归直线方程的过程. 这一探究过程是本堂课所体现的数学思想的核心过程，学生对这一过程的理解在认知上有困难，这需要教师在课堂教学中问题的设计上充分考虑学生的“最近发展区”，采取层层递进的提问方式；在师生的对话中充分关注和发现学生的观点，对学生的发现给予积极的肯定与评价，让推导过程水到渠成而不牵强附会.

3. “最小二乘法”作为经典的回归方程估算方法：通过用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”这一直观的几何描述，并采取合适的数学处理方法，最终获得回归直线，对学生认可统计估算的科学性有很大的帮助.

基于此，如何把“从整体上看，各点与此直线的距离最小”用合适的代数符号刻画并化简，化几何问题为代数问题，是顺利了解“最小二乘法”思想的前提；而如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高. 要了解“最小二乘法思想”，接受“由系数公式得到的线性方程”为回归方程，理解此方程可作为两个具有线性相关关系变量的代表这一回归直线概念本质，并体现相对于其他估算方法的优越性，又必须要求对给出的系数公式来源进行一定的说理.

4. 知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到的最大矛盾. 教学中，要防止两种倾向：一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程；二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行证明说理. 这两种倾向，都脱离了实际情况，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标；后者则人为地拔高了教材要求，脱离了本节课教学要求.

基于以上教学目标，确定本堂课的难点为：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”并在此过程中了解最小二乘法思想. 以及利用相关统计知识对生活中相关变量的收集、处理、分析、预测与评价.

[?] 教学策略分析

学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念. 针对“学生对统计有怎样的印象”曾经做过一次调查问卷，获得的信息大致有以下几类：（1）统计就是分类；（2）统计是计算；（3）统计就是做加法；（4）统计就是填统计表；（5）统计就是画统计图，或者是根据统计图回答问题……问卷的结果说明了什么？说明我们对统计知识的教学出现了偏差. 我们的教学过多重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核. 因此在教学过程中，重点放在有关数据的计算上，学生没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念. 观念的建立需要人们亲身的经历. 要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入统计活动的全过程中去：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进. 在参与活动中学会统计方法，渗透统计思想.

1. 本节课的内容“变量间的相关关系”与生活紧密相连，清晰地展现出其应用价值. 基于此，本堂课关于教学策略的设计，笔者以“活动体验”为主线，以“问题导引”为核心，以“应用感悟”为目标，以信息技术为辅助手段组织教学，教学结构流程如下：

2. 本堂课的教学难点是对回归方程推导过程的理解，为此，笔者通过设计层层递进、贴近学生“最近发展区”的六个问题串，帮助学生理解“回归直线即从整体上看，各点与此直线的距离最小”这一关键转化，以及将距离由绝对值形式转化为二元二次函数形式的最小二乘法思想.

3. 为关注在逻辑推导方面有困难学生的学习热情，笔者充分调动这部分学生在数据收集、归纳整理以及汇报展示等方面的优点，并让他们与数据分析与处理能力较强的学生构成学习小组，优势互补，协作探究.

4. 统计知识的教学不应只局限于数据的处理、繁杂的计算，其应用价值只有让学生参与从问题提出、调查研究、数据收集、分析处理、预测判断、评价反馈的全过程，学生才能真切地感受统计源于生活、服务生活的价值. 因此在课堂教学中，笔者关注学生在各个环节的表现，并给予团队综合评价.

听课教师评价：

学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念，观念的建立需要人们亲身的经历. 要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入统计活动的全过程中去.

本堂课，执教教师把活动作为贯穿整个教学过程的主线，让7个研究小组根据自己的关注点，联系生活实际，提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进，通过全面参与统计活动，让学生真切地体会到“变量的线性相关关系”在生活中的预测、估计功能.爱因斯坦说过：“纯逻辑的思维不可能告诉我们任何经验世界的知识，现实世界的一切知识是始于经验并终于经验的.” 经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断，这种活动将有利于发展学生的发现能力和创新精神.

本堂课的教学难点是回归直线方程的推导，怎样将回归直线是“从整体上看最具有代表性的直线”这一直观感受转化为数学语言来描述并最终运用最小二乘法的数学思想求解，执教教师颇费功夫. 教师为此层层递进连续设计了六个问题构成的问题串，让学生在探究问题的过程中感受到了数学转化思想的魅力.

本堂课例题的设计，执教教师跳出教材的限制，充分利用学生收集的现实生活中的数据，与学生一起分析、分享、拓展，在沟通与合作的过程中让学生感受到成功的愉悦. 若是交流的时间再充分一些，智慧的碰撞再多生成一些，则效果会更好.