高中数学基本活动经验量化研究

☉湖北省宜昌市葛洲坝中学 胡安林

高中数学基本活动经验量化研究

☉湖北省宜昌市葛洲坝中学 胡安林

高中数学学习除了获得必要的知识与技能之外，还要体验过程与方法，收获情感态度与价值观，积累数学思维活动和实践活动的经验.

爱因斯坦说：“所谓教育，是要将学校学到的知识忘掉后剩下的本领.”教育的本质是改造人的思想，培养人学习和改造客观世界的能力.这种能力就是基本思想和基本活动经验.思想的感悟和经验的积累是一种隐性的东西，但恰恰就是这种隐性的东西决定了一个人的思想方法.如何将这种隐性的东西通过一定的测量工具让它“看得见、摸得着”成为现阶段必须解决的问题，为此，葛洲坝中学数学组创建高中数学基本活动经验量表.

一、高中数学基本活动经验定义、内容及特征

1.定义：数学活动经验是学习者参与数学活动的经历，以及在数学活动过程中所形成的感性认识、情感体验和观念意识.在进一步的数学活动中，能生长成为较高层次的活动经验，或能生长为知识或技能的数学活动经验是基本活动经验.高中数学基本活动经验是高中生在参与高中数学活动中获取最基本的、必须的、能生长成为较高层次的活动经验，或能生长为知识或技能的数学活动经验.

2.内容：依据类型可以分为：基本观察活动经验、基本统计活动经验、基本测量活动经验、基本计算活动经验、基本制图活动经验、基本类比活动经验、基本归纳活动经验、基本猜想活动经验和基本概括活动经验.依据成分可以分为：认知性数学活动经验、技能性数学活动经验、体验性数学活动经验和观念性数学活动经验.

根据高中数学基本活动经验的定义，它包括如下四个方面的内容：①高中生参与数学活动的经历.②高中生在数学活动中所形成的感性认识.③高中生在数学活动过程中所获得的情感体验.④高中生在数学活动过程中所形成的一些观念和意识.

表一

3.特征：高中数学基本活动经验具有如下特征：①伴随性，②内隐性，③主体性，④多样性，⑤迁移性，⑥或然性.

二、高中数学基本活动经验量表的创建

根据特征，高中数学基本活动经验具有内隐性，我们需要研究其框架结构，即创建高中数学基本活动经验量表.量表是二维模式，包括水平方向的数学基本活动经验维度划分和竖直方向的数学基本活动经验层次水平划分.

水平方向的维度划分：水平方向的维度划分包括四方面重要内容：观察联想、归纳猜想、数学表达、验证或证明.

竖直方向的层次水平划分：竖直方向的层次水平划分为三级：模仿、性质、实质.

（1）层次水平一：“模仿阶段”，没有形成有效思维模式，只会模仿.

（2）层次水平二：“性质阶段”，形成特例入手进行归纳推理的思维模式，但只是对事物表面的、形式的认识.

（3）层次水平三：“实质阶段”，形成对归纳猜想的结论进行数学表达，并加以推翻、验证或证明的思维模式，能够认识到事物的核心和本质，并进一步联想.

借鉴基尔福特智力结构模式的形式，以知识、过程、层次三个因素分别为坐标轴，用一个三维直角坐标系的形式，可以把数学知识及基本活动经验具体内容形象的描述成如图1.考虑到实际课堂教学中，知识是固定的，因此去掉知识方面因素，数学基本活动经验可以描述成如图2.

图1

图2

图2 中A1指：不能有意识观察共性、特征和关系；不能主动联想.

图2中A2指：能观察共性、特征和关系；能进行相似联想.

图2中A3指：能观察到特征、关系；能进行大跨度联想（包括类比）.

依次类推…………

三、高中数学基本活动经验的量化研究

在高中数学基本活动经验量表创建之后，葛洲坝中学数学组自行设计了调查问卷和试题，考察本校数学基本活动经验的现状.

（一）测试题目、来源及设计思想

第一题题目：空间想象能力测试——两次立体几何模型的制作（下述“要求”中的第2条）.

来源：人教版高中数学《必修2》（以下简称《必修2》）第一、二章.

设计思想及要求：

1.三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直观能力、空间想象能力和推理论证能力是高中阶段必修课程的一个基本要求，而这些知识及能力主要是通过《必修2》前两章的学习来获得，且多年以来立体几何在全国各地的高考试题中出现频率相当高，不但属于必考题，而且分值比重相当高.

2.高一学生在学习《必修2》第一章之前制作一个学生熟悉的立体几何模型，在学完第二章后制作一个学生认为有助于实际练习的立体几何模型.

3.此题目属于开放型，学生自主制作空间很大.

4.对比两次制作的立体几何模型给学生赋分.赋分依据是是否将最近一个月学习立体几何的各种知识、方法、能力应用到第二次模型制作当中去.

第二题题目：有关数字之间规律猜想（等差数列、等比数列、斐波拉契数列）.（本题共4小问，25分）

2.找出下列各数之间的规律，写出它的一个通项：1，3，5，7，9，…

3.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出它的一个通项：

图3

4.结合下表给出的数据，写出每个月的兔子总对数，并将它的规律描述出来.

时间（月）初生兔子（对）成熟兔子（对）兔子总数（对）1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 7 13 8 8 1321 5 8 132134 10213455 9

来源：人教版高中数学《必修5》（以下简称《必修5》）第二章.

设计思想及要求：

此题考查目的是：（1）能否从具体数字入手归纳得到猜想，并通过公式推导证明；（2）应用已有结论时能否看到问题的区别和联系.

第三题题目：有关分类讨论的猜想（本题共4小问，25分）

1.结合初中所学知识，x取何值有|x|=x，|x|=-x？

2.画出函数y=|x|的图像.（《必修1》第21页第5题题目）

3.画出函数y=|x-3|的图像.

4.画出函数y=|x-a|的图像，其中a是常数.

来源：人教版高中数学《必修1》（以下简称《必修1》）第21页例题5.

设计思想及要求：

此题考查目的是：（1）能否从具体数字开始，逐步发现规律，表达出一般结论；（2）能够领悟到不同小问之间的联系，进一步展开联想.

第四题题目：数形结合思想方法掌握（本题共4小问，25分）

1.若关于x的不等式2-|x-a|>x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________.

2.设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=，则x的取值范围是_________.0

4.一束光线从点A（-1，1）出发经x轴反射，到达圆C：（x-2）2+（y-3）2=1上一点的最短路程为__________.

来源：人教版高中数学《必修2》（以下简称《必修2》）第三、四章.

设计思想及要求：

此题考查目的是：（1）能否从教材示范中发现一类问题的规律；（2）能够领悟到不同小问之间的联系，进一步展开联想.

（二）测试题目权重分配及层次划分

上述四道大题从高中数学基本活动经验的四个维度进行考查.每道大题层层递进设计问题，维度涉及三个或四个.各考题侧重不同，据此给出每道题四个维度的权重.详细请看下表：

表二

第四题（4小问）观察联想：10%归纳猜想：20%数学表达：30%验证或证明：40%基本观察活动经验、基本统计活动经验、基本测量活动经验、基本计算活动经验、基本制图活动经验、基本概括活动经验.①认知性数学活动经验.②技能性数学活动经验.③体验性数学活动经验.每小问都含有三个层次内容观察、表达、验证

（三）测试题的评分依据

表三

（四）测试对象的选择和测试过程

测试集中在2015年12月.考虑到测试方便及学校人数限制，利用简单随机抽样的方式在宜昌市葛洲坝中学2016届高三的14个教学班中抽取280人.题目一的时间跨度为一个月，其余三题时间为40分钟.样本编号为：20160101，20160102，……，20161420.

图4

（五）量化数据结果及结论

注意到本文只提供量化标准，结果及结论单独编写.此处简单附带题目一的部分结果.

图5

四、高中数学基本活动经验研究的展望

介于高中数学基本活动经验研究是一个很难驾驭的艰难课堂，目前学术界、教育界对高中数学基本活动经验的界定没有一个统一的标准和认识，只能“摸着石头过河”.但无论如何，研究始终在进行，这一方向和目标不会因为各种争议而消灭.相信不久的将来，随着研究的深入，有关高中数学基本活动经验内涵、框架会更加明晰，界定会更加科学有效.

1.郭玉峰.数学基本活动经验研究量化与课堂实践［M］.长沙：湖南教育出版社，2013.

2.李建军.浅谈数学基本活动经验下的数学概念教学——以诱导公式为例［J］.中学数学（上），2016（2）.Z