论中小学生的数学创造力及培养途径

张晓贵，陈亚菲

（合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601）

近年来，国际数学教育共同体有一个基本的共识，那就是数学教育不但应该使得学生掌握数学知识，也应该培养他们具有一定的数学创造力，数学创造力已经被认为是学生在数学学习中应该形成的一种基本能力。[1]形成这样共识的主要原因在于数学创造力对于当今世界科技发展的重要作用，许多国家都意识到推进社会的发展不只是需要科学技术方面的创造，数学上的创造同样重要。

美国数学教师理事会（NCTM）在其1980年的课程标准中就强调了培养学生数学创造力的重要性，并将数学创造力的培养与数学问题解决的教学联系在一起。[2]在我国，《九年义务教育数学课程标准》指出，要“鼓励学生创造性思维”，培养学生具有“初步的创新意识”。《高中数学课程标准》则指出，“基础和创新是正确处理学习过程中不可或缺的两个方面。既要打好基础，又要发展创新的潜能”。尽管世界上许多国家都强调了培养学生数学创造力的重要性，但是对中小学生数学创造力的相关研究却是相当缺乏的。早在1987年，海洛克（Hay⁃lock）就提出应该加强对中小学生数学创造力培养的相关研究[3]，但到目前为止这方面的研究仍然非常有限。就实践层面来说，世界范围的中小学数学教学中对于学生数学创造力的培养总体来说都是比较忽视的。而在我国，虽然数学课程改革已经进行十多年了，但在现实的中小学数学教学中，教师对于培养学生的数学创造力仍然感到难以把握。本文要试图解决的是中小学数学创造力培养的两个基本问题，即如何理解数学教育中的学生的数学创造力和如何在教学中培养学生的数学创造力。

一、数学教育中学生的数学创造力

到目前为止，对于数学教育中学生的数学创造力并没有一个公认的定义。如果我们希望对于中小学生的数学创造力有一个更深刻的理解，那么审视一下与之密切联系的两个概念无疑是很有必要的，这两个概念分别是数学家的数学创造力和一般的创造力。

1.数学家的数学创造力

相对于中小学校中的数学创造而言，对于数学家数学创造的研究要早得多。法国著名数学家阿达玛（Jacques Hadamard）在七十年前出版的《数学领域中的发明心理学》（The Psychology of Invention in the Mathematical Field）可以算作是最早的对数学家数学创造的系统研究。阿达玛在该书中提出，数学家的数学创造分成四个阶段，它们分别是准备阶段、酝酿阶段、顿悟阶段和明确结果阶段，由于该模式明显地受到当时流行的格式塔心理学的影响，因而该模式又被称为四阶段的格式塔模式。在准备阶段,数学家有意识地、艰苦地去解决手头的数学问题；在酝酿阶段，数学家把经过努力仍然没有解决的问题放在一边，头脑中开始考虑另一个问题；在顿悟阶段，问题的解决突然地出现在数学家的脑海中，此时数学家可能正从事一件与该问题不相关的活动；最后一个阶段即明确结果阶段，数学家对问题的解决结果进行证明、精确地把结果写出来以及通过对结果的使用而寻找可能的扩展。[4]阿达玛的数学创造理论虽然存在着一些问题，但是它却使得我们对于数学家创造过程有了一个大致的了解。在阿达玛之后，也有一些学者研究了数学家数学创造的过程，但与阿达玛的结果本质上并无太大的区别。

一些研究者探讨了数学家的创造结果。艾尔荣（Ervynck）认为，数学家的数学创造就是能够提出重要的数学问题，以及能够发现数学问题之间的内在联系。[5]利耶达尔（Liljedahl）和拉曼（Sriraman）认为，数学家的数学创造是这样的一种能力，它能够产生出原创性的成果，这些成果能够扩展现有的数学知识体系，或者能够为其他数学家开创出新的问题。[6]海洛克（Haylock）认为，数学家的数学创造表现在他们解决问题时追求不同的解决问题途径和观点。[7]而拉曼在最近表示，数学家的数学创造应该是提出与众不同的和富有洞察力的解答。[8]

研究者们也涉及了数学家数学创造中的思维特点。艾尔荣将数学家的数学创造与高级数学思维相联系，如运用非算法的决策[9]；而海洛克则提出了数学家在数学创造中会应用发散思维，其思维具有很大的灵活性[10]。

综上，学者们是从三个方面来对数学家的数学创造进行研究，即创造过程、创造结果和创造过程中的思维特点。

2.一般的创造力

20世纪50年代，人们开始关注如何发展人的创造力。很多发展创造力的方法被提出来，诸如头脑风暴和角色扮演等。

与培养创造力相关联的是如何对一个人的创造力进行评价，一些心理学家提出了运用心理测量工具对人的创造力进行测量。众所周知的是吉尔福德（Guilford）在20世纪60年代提出的用发散性思维来度量个体的创造性。在吉尔福德看来，一个人的创造力就是看他是否能在完成任务的过程中运用发散性思维。在吉尔福特之后，托伦斯（Tor⁃rance）在创造力的研究上做了大量的工作。他设计了一份创造性思维测验，在测验中他给出了用文字或图像表示的任务让被试者回答，并通过四个方面即流畅性、灵活性、独创性和精巧性对回答进行评价。[11]

从20世纪90年代开始，学者们从认知和社会文化的角度去理解创造。从认知过程去理解创造，比如在创造过程中，创造者能运用不同的心理表征和能在不同对象之间构建心理联结等。从社会文化角度去理解创造，比如在什么样的社会文化环境下会产生创造。例如，奇克森特米海伊（Csikszent⁃mihalyi）认为，创造是一种过程，它只能在个体、领域和环境相互作用的交叉处才能被观察到。[12]

3.数学教育中的数学创造力

对于中小学生的数学创造来说，虽然它和数学家的数学创造以及一般创造有共同点，但它显然也应该有其特殊性，因此，对它的理解不应该简单地照搬对数学家的数学创造和一般创造的理解。在考虑数学教育中的数学创造时，应该考虑如下的特殊性。

（1）创造环境的特殊性。中小学生的数学创造一般来说是在数学课堂中进行的。数学教师可以创设一定的环境以促进学生的数学创造，这里的环境既包括文化环境，也可以包括物质条件如现代技术。

（2）创造形式的特殊性。中小学生的数学创造是教师指导下的创造。教师为学生提供创造所需要的材料，在学生遇到困难时为学生提供启发引导，教师甚至作为学生数学创造的合作者。教师的帮助，保证了学生在数学创造过程中少走弯路，能够在较短的时间内完成创造。除了学生独立探究进行数学创造以外，学生之间还会合作进行研究。

（3）创造主体的特殊性。学生的数学创造不同于数学家的数学创造。数学家所创造的成果是对于整个数学领域来说的，而学生所创造的成果是对于他自己以及其同龄人来说的，他们所创造的成果对于数学领域来说也许是很多年前就已经被数学家创造出来了。正如雷金（Leikin）等人所认为的那样，中小学生的数学创造是一种相对创造（relative creativity），而数学家所进行的数学创造则是一种绝对创造（absolute creativity）。[13]

（4）创造目的的特殊性。数学家数学创造的目的是为了促进数学学科的发展，而中小学生数学创造的目的主要是为了对数学有更好的理解以及培养学生的数学创新意识和能力，简单地说，是为了学生在数学上获得更好的发展。

在考虑到研究者们对于数学家数学创造力和一般创造力理解的基础上，同时考虑到中小学生数学创造的特点，可以对数学教育中数学创造力做如下的界定：中小学生的数学创造力是指在适宜的数学课堂环境中，在教师的指导下，学生运用创造性思维，通过个体探究或同伴合作，进而产生出相对于自己和同伴来说的新知识、新方法和新问题的数学活动能力。

二、培养学生数学创造力的途径

培养学生的数学创造力是一项系统工程，需要落实在数学教学的各个方面。

1.要创设有利于学生进行数学创造的课堂文化环境。数学课堂文化是指在数学课堂教学中，教师和学生对于数学和数学教学的共同看法以及在数学教学过程中师生共同遵守的行为规范。传统的数学教学有与之相应的课堂文化，而培养学生数学创造力的当代数学教学当然也需要有与之相应的课堂文化。教师应该努力创设这样的数学课堂文化即课堂成员都应该认识到数学创造力无论是对于社会的进步或者对于人的发展都具有重要的作用，学生具有一定的数学创造力是基本的数学教学目的之一。数学创造力是在不断失败中得以逐步形成的，失败是数学创造中必不可少的体验。作为数学课堂成员，不但应积极进行数学创造，也要鼓励他人的数学创造，而绝不应该讥笑和嘲弄他人在创造中的失败，等等。不少学者都对适宜的数学课堂文化环境与学生数学创造力发展之间的关系给予了充分的肯定，如前文所提到的奇克森特米海伊就认为社会文化环境对于数学创造的产生具有非常重要的作用。

2.要在教学中运用有助于学生进行数学创造的教学方法。一些教学方法的适当使用会有助于学生的数学创造，而不适当的使用会阻碍学生创造力的发展，比较典型的是小组合作学习。在小组合作学习中，不同知识基础和思维方式的学生倾听和理解同伴的思想，并在同伴思想的启发下提出自己的想法，这对于小组中每个学生的数学创造都有着积极的意义，但是，正如鲍罗斯等人所指出的那样，如果小组成员没有能够认真倾听其他成员的想法，或者没有充分的时间去思考这些想法，那么这样的小组合作就难以有助于成员的数学创造。[14]

3.要在教学中设置有利于学生数学创造的教学任务。让学生解决我国数学教师比较熟悉的数学开放题可以很好地培养学生数学创造力。此外，以下几种任务也可以有效地培养学生的数学创造力。

（1）问题解决。在被认为最有助于学生数学创造的任务中，问题解决是最主要的一个，实际上，它也是最早被提出用来培养学生数学创造力的任务。数学问题与数学习题不同，前者是指那些解决者没有现成方法从而需要设计新的策略来解决的数学情境，因而，正如NCTM所说的那样，问题解决“本质上是一种创造性活动”。早在1980年，NCTM就提出要在中小学数学教学中让学生进行问题解决活动，“问题解决应该是20世纪80年代学校数学的焦点”[15]。直到今天，NCTM仍然坚持认为，问题解决对于培养学生数学创造力具有重要作用，“以新奇的方法解决问题以及提出新的、有趣的数学问题并进行探究”[16]。实际上，问题解决对于学生数学创造力培养的价值已经被许多国家的数学教育界和国际性的教育评价机构所认可。在我国的数学课程标准中对于问题解决也给予了特别的重视，在《九年义务教育数学课程标准》中将“问题解决”作为四个总目标之一；在高中数学课程标准中，问题解决能力则是重要的教学目标之一。而在TIMSS（国际数学和科学评测趋势）2003中，正是因为问题解决对于数学创造力培养的重要性，因而有意识地包含了一些“提供机会进行创造性问题解决策略”的问题。[17]

（2）问题提出。问题提出是指给学生一定的情境，根据该情境由学生提出尽可能多的数学问题，这需要学生具有一定的创造力。西尔弗（Silver）认为，问题提出和问题解决都是鼓励学生尽可能多地创造出答案，这自然会鼓励学生数学创造性的发展。[18]对数学教学中问题提出的重视几乎是与问题解决一样早。NCTM在提出要将问题解决作为20世纪80年代学校数学焦点的同时，就明确提出，“应该鼓励学生提出问题、实验、估计、探究以及提出解决问题的建议”[19]。在我国《九年义务教育数学课程标准》中明确提出，要让学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题”。在高中数学课程标准中要求“创新需要为学生提供提出问题、独立思考和实践的空间”。

（3）数学知识的再创造。弗赖登塔尔提出的数学知识“再创造”原则认为，学习数学最好的方法就是让学生经历数学的“再创造”。所谓数学的“再创造”就是指在教师的帮助下，学生将数学家早已创造过的知识重新创造出来。例如，让学生通过观察具体的事物或数学对象从中得出新的数学概念，让学生通过操作和观察提出数学猜想并进而证明猜想得到数学定理。由于数学概念和数学定理并不是教师告诉学生的，而是在教师的帮助下学生通过自身的努力创造出来的，因而学生在得到数学知识的过程中体现出一点的创造性。

（4）常规数学解题中的创造性。波利亚在其《怎样解题》中给出了著名的数学解题表。按照解题表，数学解题包括四个步骤，分别是弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。在每个步骤中波利亚给出了若干个启发性的问题，例如在弄清问题中他给出了如下的启发性问题：未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？一般认为，波利亚的解题表并不适宜于培养学生的创造性思维。但是，当我们将他的解题表做适当的修改后，通过让学生解答常规的数学题也可以培养他们的数学创造力。具体来说，在弄清问题阶段，我们增加这样的启发性问题即你能将题目中所给出的条件重新理解吗？例如，对于题目中给出的条件之一“等腰三角形顶角的平分线AD”，可以将AD重新理解为“等腰三角形底边BC上的高”，也可以理解为“等腰三角形底边BC上的中线”，甚至还可以将之理解为“某个圆的直径或某个线段的平行线”等。学生将题目中条件进行重新理解，就为他们发散性思维提供了条件。海洛克对于这种他所称为重定义的重新理解给予了特别重视，认为它是培养学生数学创造力的重要途径之一。[20]在拟定计划阶段，我们增加这样的启发性的问题即你能找出几个本质上不同的解答方法吗？学生在拟定计划阶段可能会根据需要回到理解问题阶段上。在实行计划阶段，学生实施在拟定计划中所设想的几个解决方法。在解决过程中，他们可能会产生新的解题思路，也可能需要再一次理解题意，也就是说，学生的思维会在实现计划、拟定计划和弄清问题几个步骤上来回穿越。在回顾阶段，我们增加这样的启发性问题即是否可以利用原题的条件或部分条件提出新的问题或进一步的问题？显然，提出新的问题可以培养学生的提出问题能力，而提出进一步的问题，将有助于培养学生的数学创造力。

4.要实施有利于学生数学创造的教学评价。数学教学评价的目的之一就是激励学生的数学学习，它对于调动学生的学习积极性具有重要的作用。在日常的教学中，教师要对学生在数学创造上的尝试进行鼓励，使得学生乐意进行数学创造和敢于进行数学创造。另外，在考试中也要设置数学创造性问题让学生解答，从而让他们明确，数学创造性问题的解决是数学学习不可缺少的组成部分。▲

参考文献：

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