经历活动过程 积累无形经验——“烙饼问题”课堂实录

□ 设计：丁凤良 张亚杰 点评：刘加霞

经历活动过程 积累无形经验
——“烙饼问题”课堂实录

□ 设计：丁凤良 张亚杰 点评：刘加霞

【教学目标】

1.知识目标：通过对生活中烙饼问题的学习，使学生了解和认识到在既定规则下，烙饼最短时间与饼的张数和烙熟一面所用时间是有关系的、有规律的，帮助学生理解其规律。

2.能力目标：通过对生活中烙饼问题的学习，使学生初步体会优化思想在解决问题中的应用，使学生经历解决问题的优化过程，培养学生运用优化方法解决问题的意识。通过观察、操作、比较、讨论等活动，培养学生用优化的方法解决实际问题的能力。

3.情感目标：通过探究活动，让学生体验探索和合作的乐趣，充分感受数学与生活的密切联系，培养学生用优化的方法来解决问题的思维习惯。

【教学过程】

一、游戏互动，课前“预热”

教师课前谈话，和学生一起做猜数字的游戏，请两位学生做助手。在游戏中和学生互动，互相了解，沟通感情。

师：咱们班有哪些同学喜欢玩电脑游戏，请举手。今天我给大家带来了一个猜数字的游戏，估计你们都没玩过，有谁想试试吗？

电脑出示：

游戏结束，教师总结：

猜数字游戏中所猜次数的多少直接影响猜数的快慢，要想尽快猜到相关的数，需要找到策略。策略一：先从中间数开始试。策略二：如果信息提示大了或者小了，那我们就只猜另一部分即可，对已经提示大了或者小了的一方就不用再猜了。策略三：为了进一步简化猜的次数，重复以上两个策略即可。

【设计意图】目的在于使学生初步体验优化思考的价值和意义，为学生解决本节课的难点提供支持和帮助。此环节设计需要安排一名学生做电脑录入员，现场记录猜数的过程，便于后续观察、梳理、小结。

二、创设情境，导入新课（4分钟）

师：其实在我们的生活中也有很多类似于刚才那个游戏的问题。

教师用PPT出示煮鸡蛋问题：煮熟一个鸡蛋要用8分钟时间，煮熟5个鸡蛋要用多长时间？

出示完问题，教师向学生提问。

生1：煮熟5个鸡蛋需要40分钟。

师：同意40分钟的同学请举手。（少部分学生举手）

师：很棒！但是我也看到很多同学不举手，为什么？

生2：我认为应该是8分钟。

师：为什么？

生2：因为我认为可以把5个鸡蛋同时放到一个锅里煮，这样一次就煮好了。

师：其他同学认为需要8分钟的都是这样想的吗？（很多学生纷纷点头）

师：那刚才认为需要40分钟的同学，是不是要改变主意了呢？或者还是认为自己是对的。

生3：我有些犹豫了，我认为8分钟和40分钟都对。

师：我佩服这位同学。因为她在前后对比之后，说出了自己的想法。

师：看来同学们对老师出示的煮鸡蛋问题有一些歧义，如果老师很清晰地告诉大家锅足够大，可以把5个鸡蛋同时煮，那所用时间就是8分钟；如果锅装不下5个鸡蛋，那答案就是其他的了。但是能够从多角度思考问题，非常令老师佩服。

生活中这类问题还有很多，我们就一起来研究其中的一个需要考虑策略和方法的问题——“烙饼问题”。（板书课题：烙饼问题）

【设计意图】创设生活化的教学情境，激发学生的学习兴趣。从生活中“煮鸡蛋”的简单事例出发，调动学生已有的生活经验，为优化新知教学做好准备。

三、自主探索，探究烙法

（一）链条一：学生独立思考，暴露、激活原有经验。（6分钟）

1.教师出示课本烙饼问题的主题图。

师：看到这幅图后，你能从图中获取哪些信息？

生4：我从图中获取的信息是一共需要烙3张饼，一次只能烙2张饼，2个面都要烙，烙每面需要3分钟。

师：还有其他的吗？

生5：爸爸、妈妈和我每人需要1张。

师：还有别的重要信息吗？

生6：他们三人要最快地吃上饼。

师：图中有这句话吗？

生6：没有。

师：那你为什么说要最快呢？

生6：因为我猜测他们可能都饿了。（其他学生都笑了）

师：这位同学非常了不起！他读出了文字和图画背后的信息。我们就按照这位同学说的，要使得三人尽快吃上饼，我们应该怎么办？同学们对题目信息都有了感性认识，接下来请大家试着独立分析解答此题目，你可以选择自己喜欢的方法来说明和解答此问题。

【设计意图】此环节为了充分暴露学生原有的认知经验，教学设计时安排了学生分析题目相关信息，同时对题目重要信息进行梳理。这样的设计既暴露了学生原有经验，同时又为激活学生的新经验做了铺垫。“每次只能烙2张饼，两面都要烙”是活动的基础，是操作活动得以进行的基点和前提。但学生由于自身已有知识、经验的局限，在解读主题图时，常表现为照本宣科，浅尝辄止。而解决这个问题需要教师适时的引导。通过对信息的解读，激活学生的原有经验，学生透过文字的表面，深入理解关键信息，使学生深刻理解烙饼的规则。

（二）链条二：学生小组合作，交流、碰撞生成经验。（6分钟）

师：好啦！同学们先思考到这里。刚才老师看到很多同学已经对这个问题能够结合自己原有的理解初步得出了答案，接下来请大家以4人为一个小组，把自己的想法在组内进行交流。

教师用课件出示活动建议：

（1）请同学们以4人小组为单位在组内交流分享你的解题方法。

（2）为了便于大家分享介绍，帮助大家理解烙饼的方法，老师为每个组准备了三张饼的学具，在透明的塑料袋里，如果需要，你可以拿来用。

（3）边分享边思考：怎样烙，爸爸、妈妈和我才能用最短的时间吃上饼？

学生读完活动建议，教师介绍学具袋，告诉学生如果你觉得需要就可以拿来用。教师巡视，发现并回应、解答学生在合作过程中遇到的问题。

【设计意图】学生已经经历了独立解决问题的过程，学生对于此问题原有的经验已经被激活。此环节既给学生自主交流的空间，达到学生间互相解决问题的目的，同时还能够培养学生遇到自己不能解决的问题时，寻求与同伴合作解决问题的意识和能力。

（三）链条三：教师引导梳理，归纳、积累再生经验。（12分钟）

师：请同学们把自己刚才独立做的和在组内讨论的解答方法向大家汇报一下。首先，所用时间有18分钟的吗？

学生举手，教师请举手的学生代表上台前汇报，同时教师实投学生写的解题方法。

生7：爸爸妈妈和我一共需要3张饼，每张饼需要烙2面，烙2面需要6分钟，这样3张饼一共就需要6×3=18分钟。

师：能不能用学具在黑板上演示一下，你是如何烙的？

生2：可以。

教师协助此位同学，并给3张饼编号为1号饼、2号饼和3号饼。

生：这是1号饼，烙一面需要3分钟，再翻过来，烙另一面也需要3分钟，加起来1号饼就需要用6分钟。2号饼也是这样，需要6分钟，3号饼也是用6分钟。这样3个6分钟就是18分钟。

师：非常了不起！表述得非常清楚。大家同意吗？（有很多学生不同意生7的方法）

师：同意他想法的请举手。（有一位同学举手）

师：有一个同学非常坚定地支持他。那看来同意18分钟的人比较少，刚才我们有个同学已经明确告诉大家让爸爸、妈妈和我尽快吃上饼，那有没有比18分钟更短的呢？有12分钟的吗？谁能给大家汇报一下呢？

学生举手，教师请举手的学生代表上台前汇报。

生8：一个锅可以烙2张饼，可以同时烙2面。比如先烙1号饼和2号饼的正面，这样需要用3分钟。同样地，再烙这2张饼的反面，也需要3分钟，所以1号饼和2号饼一共需要6分钟。还有3号饼，烙一面需要3分钟，再把饼翻过来烙反面也需要3分钟，所以3号饼需要6分钟，6加6就是12分钟。大家都听明白了吗？

教师把生8的过程再复述一遍，先看1号饼和2号饼，如果都烙正面，这时需要3分钟，再同时翻过来烙反面又需要3分钟，一共就是6分钟。这样1号饼和2号饼都烙熟了。还剩3号饼，烙正面需要3分钟，反面也需要3分钟，所以3号饼烙熟一共需要6分钟，这样3张饼一共需要12分钟。

师：还有不同的答案吗？有9分钟的吗？

教师话音刚落，有3个小组的学生举手。教师请其中一组的代表前来汇报。

生9：先烙1号饼和2号饼的正面，需要3分钟，再把2号饼拿到一边，烙1号饼的反面和3号饼的正面，也需要3分钟，这时候1号饼已经熟了。再烙2号饼的反面和3号饼的反面，需要3分钟，这时候3张饼都熟了，所以最后一共需要3+3+3=9分钟。

师：原来烙饼问题看似很简单，其实还有不同的烙法。现在回顾一下我们的要求，怎样能让爸爸、妈妈和我尽快吃上饼呢？

生（齐）：9分钟的烙法能尽快吃上。

师：现在大家考虑一下，烙饼问题中9分钟的烙法、12分钟的烙法和18分钟的烙法这3种烙法之间有什么不同？为什么会产生时间的差异？

生10:因为9分钟的烙法每次都烙2个面，12分钟的烙法有烙1个面的也有烙2个面的，18分钟的烙法每次都只烙1个面。

师：非常好！如果我手里有一口锅，9分钟的烙法是锅里一直都有2张饼，锅被利用得很充分。12分钟的烙法是一开始烙2张饼的时候锅利用得很充分，但是烙第3张饼的时候就不充分了。那现在再看看18分钟的烙法呢？

生（齐）：每次都不充分。

师：所以时间就被白白地浪费掉了。

师：把刚才的过程经梳理后填在表格里。（教师边提问边补充表格）

师：如果是烙2张饼，你采用什么方法呢？

生11：先烙2张饼的正面，再翻过来烙反面。

师：那就是2张2张地烙。

师：那3张饼呢？

生（齐）：也是2张2张地烙。

教师在小结的基础上，将烙2、3张饼的最优烙法简单梳理后填在表格中。

饼数（张） 烙饼的方法（烙一次要3分钟）所用最少的时间（分钟）2 2张一起烙 2 6 3 2张2张地烙 3 9烙的次数

教师板书。

此时生12提出一个问题，就是9分钟的烙法，当把2号饼拿出来放到一边时，放凉了，再烙另一面的时候时间就会多了一些。

师：非常好！她考虑得非常全面，提到了我们生活中不得不考虑的问题，但是我们只从数学的角度考虑。

师：刚刚我们解决了2张饼和3张饼的最快烙法，如果饼的张数增加能解决吗？

【设计意图】在探究3张饼的最优烙法时，安排学生用自己喜欢的方式记录烙饼的过程、借助学具动手操作、汇报直观演示等，让学生体验并发现：充分利用锅内的空间，使得每次锅里同时烙2张饼，这样最节省时间。通过“回头看”，运用分类、对比的方法，帮助学生找到不同烙法之间的联系和区别，加深学生对于关键问题和难点问题的理解。“如何尽快烙好2张饼和3张饼”是本课的关键点，尤其是如何尽快烙好3张饼是本课的难点。本环节的设计将1张饼和2张饼的问题蕴含于3张饼的问题里予以解决，但是在汇报梳理时要充分说明，这样会对后续烙4至10张饼的问题解决起到铺垫作用，否则将会严重影响学生后续对4至10张饼烙法的理解。

（四）链条四：学生自主解题，发现、积累更新经验。（10分钟）

1.深入剖析，找到烙4、5、6、7、8、9、10张饼的最优方案。

师：如果是烙4张饼，应该怎么烙呢？

生（齐）：2张2张地烙。

师：5张饼呢？

生（齐）：还是2张2张地烙。

师：那一样吗？现在我们就进行小组合作探究。如果是4张饼、5张饼、6张饼、7张饼、8张饼、9张饼、10张饼，甚至更多张饼，怎样进行研究并得到烙饼的最优方案？

教师提示学生，在白色信封里准备了4张饼、5张饼、6张饼、7张饼、8张饼、9张饼、10张饼的学具，如果需要，可以使用。

2.学生合作并汇报，教师完善表格。

学生小组合作讨论，教师巡视，发现并回应、解答学生在合作过程中遇到的问题。

小组探究结束，教师请小组代表汇报。

生13：我们小组研究的是5张饼和10张饼的烙法。比如说5张饼，先是烙1号饼和2号饼的正面，再烙1号饼的反面和3号饼的正面，这样1号饼就熟了。接着烙2号饼和3号饼的反面，这时候3张饼都熟了。再继续烙4号饼和5号饼的正面，最后烙4号饼和5号饼的反面。这样就都熟了。

师：本来是烙5张饼，刚才在烙的时候把5张饼怎样了？

生（齐）：拆开了。

师：怎么拆的？

生14：因为刚刚讨论了烙3张饼的最快时间是9分钟，采用了3张饼的最快烙法。这样时间是最短的。

师：这位同学特别善于捕捉信息，原来5张饼的问题可以拆为3张饼和2张饼的问题。（教师板书，补充表格）

师：好，那10张饼呢？

生14：先按刚才的方法烙5张饼，再烙5张饼。

师：先按刚才的方法烙5张饼，也就是一个5拆成1个3和1个2，又烙另外的5张饼，又拆成1个3和1个2。

生14：那就是2个3和2个2。

教师板书10张饼的烙法。

师：其他小组还有研究别的张数的吗？

生15：我们组研究的是双数张饼的烙法，也就是2张、4张、6张、8张、10张饼的烙法。我们发现都是2张2张地烙。比如说10张饼，先烙1号饼和2号饼的正面和反面，一共是6分钟，再烙3号饼和4号饼的正面和反面也是6分钟，这是第二次。第三次是5号饼和6号饼，还是6分钟。第四次是7号饼和8号饼，也是6分钟。第五次烙9号饼和10号饼，需要6分钟。一共是5次，每次是6分钟，5×6就是30分钟。

师：这跟上一组汇报10张饼的答案一样不一样？（生齐：一样）

师：只是烙法不一样，这次是拆成若干个2次，如果用式子表示的话，那就是10拆成5个2相加。其他组呢？还有研究其他张数的吗？

生16：我们组研究的是7张饼的烙法。先按5张饼的烙法，5张饼是拆成3张饼和2张饼，还剩2张饼，也就是7拆成3+2+2。

师：非常好！也就是我们要解决的问题都是转换成前面已经解决过的问题了。现在在前面同学的提示下，如果是烙8张饼呢？

生（齐）：那就是双数张饼的烙法。

师：对，那就是借鉴前面同学研究的双数张饼的烙法，2张2张地烙。

师：那如果是11张饼呢？

生17：那就是按照10张饼的方法。

生18：那就多出1张饼了。

师：嗯，最后剩下1张饼那就浪费时间了。那11张饼怎么办呢？

生18：可以先按照烙3张饼的方法，还剩8张饼，这样双数张饼就可以2张2张地烙了。

教师完善如下表格。

饼数（张） 烙饼的方法 烙的次数 所用的最少时间（分钟）2 2张一起烙 2 6 3 2张2张地烙 3 9 5 2+3 5 15 7 2+3+2 7 21 10 2+2+2+2+2或2+3+2+3 10 30

3.小组交流汇报，师生小结。

师：因为时间关系，不再一一列出了。现在看黑板上的表格，虽然我们只列出2，3，5，7，10张的烙法，还欠缺一些。我们的表格涉及四个方面，烙饼张数、烙饼方法、烙饼次数、最短时间。你能从这个表格中发现什么规律吗？

生19：我发现每多烙1张饼时间就多出3分钟。

生20：烙饼用的最短时间就是饼的张数乘以烙每面的时间。

教师总结公式：烙饼最短时间=饼的张数×烙每面所用的时间。

【设计意图】本环节意在渗透并应用化归思想。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系、相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。

四、总结延伸，拓展思维（2分钟）

教师总结：今天，我们学习的烙饼问题是一个与时间有关的最优化问题，其实数学上还有一些与时间无关的最优化问题。比如说，我们到了六年级，老师会给大家提一个问题：有一条固定长度的绳子，可以围成长方形、正方形、圆形、三角形，那围成什么样的图形面积最大呢？希望同学们将今天学习的数学思考带到今后的数学课堂中，相信它会带给你们更多惊喜。

【专家评课】

北京教育学院初等教育学院院长刘加霞教授认为，数学活动经验是我们最头疼的，对此我们进行了很多探索和尝试。在“烙饼问题”的教学过程中，以四个链条为途径积累基本的活动经验，我们应该考虑的问题是四个链条是否具有普适性。三年级学生养成良好的学习习惯很重要，我们可以通过学生本身具有的好奇心培养学生爱思考的良好习惯。

在“烙饼问题”的教学过程中，教师所做的工作特别明显，比如，帮助学生梳理烙饼用时9分钟、12分钟、18分钟三种情况，通过比较得到18分钟是效益最小的，进而把动态操作静态化。需要指出的是设计的统计表格对三年级的学生有一定的困难，最好重新思考并设计表格。

在积累活动经验方面，我们让学生积累的活动经验不能太抽象，具体如下：

1.让学生初步感受到过程问题和生活问题。

比如，优化问题本质就是效益最大化，生活中常见的烧水、排队、装船卸货等问题都是优化问题。当然，优化问题还会涉及统筹安排，统筹安排以统筹学为基础，更上位一些，我们要考虑自己有没有能力实现。学生通过体验数学活动积累一定的经验，产生一些触动，将积累的经验迁移到生活中，进而对生活产生影响，这才是最重要的。

2.有序思考特别明显。

有些学生经验不足，在探索的过程中，不能很好地有序思考，画着画着就乱了。

3.教师通过恰当的教学表达，给学生传授数学语言的精确、严密。

在教学过程中，恰当的教学表达很重要。教师通过3种过程表达和过程表示，即动态操作更直观、列表画图更静态和文字表示，让学生初步感受不同的方式方法，从而积累经验。教师在教学过程中逐渐地让学生意识到没有过程表示和过程表达解决不了问题。

4.让学生对规律模型有初步的感悟，对规律的认识更宽广一些。

关系式对于三年级的学生不重要，通过过程表示和过程方法积累的经验更重要。“烙饼问题”教学过程中怎么拆分4、5、6、7、8、9、10，比如6=2+2+ 2,6=3+3，通过对比，发现模式与模型不一样，让学生有这样的感悟就可以了。

接下来要研究的问题是：

（1）怎么积累→读得多。

（2）积累什么经验→读的少。

教师要做到以学生为中心，真正把上述的四条活动经验落到实处。

（北京市海淀区双榆树第一小学 100089北京教育学院 100120）