在数学化的学习活动中进行概念教学*

□王康道

在数学化的学习活动中进行概念教学*

□王康道

对概念的认识不是从概念开始的，而是从围绕着它的其他途径（思维途径）开始的，概念是认识过程的结果。数学教学要通过数学活动让学生亲身经历对现实进行数学化的过程，使数学变成他们自己“再创造”的产物，而不是成人强加给他们的东西。

数学化 概念 长方体的表面积

我国著名数学教育家曹才翰说过“概念是思维的”，数学概念作为数学课程最基本的思维“细胞”是构成整个数学体系的基础。所以说概念是数学的灵魂、根本。把握这些概念的教学，使学生领悟概念的本质是实现有效教学的根本。那么，如何领悟概念的本质而不是记忆或背诵概念的形式化的定义？笔者认为，教学时，关键是要把握两个核心要素：一是学生经历怎样的数学化的学习过程形成概念的认知结构？二是教师如何指导学生在数学化的学习活动中领悟概念的本质？下面以“长方体的表面积”教学为例，谈谈数学化视角下小学数学概念教学的策略。

【探明学情】

课前，以“预习案”为拐杖，指导学生有序的“先学”。一是基于问题指导学生阅读课本上的学习材料，学生初步感知教学内容所指向的新的、未知的东西，知道要学什么数学知识，学会了什么，存在怎样的困惑，从而带着问题和思考走进课堂；二是教师对学生预习的情况进行检查，分析和把握学情：学生现有发展水平怎样？具有怎样的数学知识和活动经验呢？等等，基于学情设计适合学生进行数学化活动的具体情境，学生在问题解决的学习活动中，建构小学数学概念的认知结构。如在教学“长方体的表面积”一课时，笔者设计了如下的“预习”提纲：图1是一个微波炉的包装箱，填一填。

1.这个微波炉的包装箱的正面是什么形状？长和宽各是多少？和它相同的面是哪个？

2.它的右面是什么形状？长和宽各是多少？和它相同的面是哪个？

3.哪几个面的长是0.7米，宽是0.5米？

图1

【学习过程】

活动一：

电脑呈现一个微波炉的包装箱（图1）。

问题：你知道了哪些数学信息？

生：这个微波炉包装箱是一个长0.7米，宽0.5米，高0.4米的长方体。

生：这个微波炉包装箱有6个面，每个面都是长方形，上下面、前后面和左右面是完全相同的。

师：这个微波炉的包装箱正面是什么形状？长和宽各是多少？

生：正面是一个长方形，长0.7米，宽0.4米。

师：你是怎样想到的呢？

生：（学生动手描一描）微波炉包装箱正面的长方形是由长方体的长、高这些棱围成的。

生：长方体的长是0.7米，高是0.4米，所以这个微波炉的包装箱正面是一个长0.7米，宽0.4米的长方形。

师：（闭上眼睛想一想）这个微波炉包装箱的右面、上面各是什么形状？长和宽各是多少？

生：右面是一个长0.5米，宽0.4米的长方形，上面是一个长0.7米，宽0.5米的长方形。

活动二：

问题：做一个微波炉的包装箱，至少要用多少平方米的硬纸板？（学生自主探究，合作交流）

方法一：

生：0.7×0.5+0.7×0.5+0.7×0.4+0.7×0.4+0.5× 0.4+0.5×0.4＝1.66（平方米）

师：大家能明白吗？谁知道他算式中的每一步都在算哪个面的面积？

生：两个0.7×0.5分别算的是上下两个面，两个0.7×0.4分别算的是前后两个面，两个0.5×0.4分别算的是左右两个面。

师：谁来概括刚才这位同学的方法？

生3：长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高。

方法二：

生：根据长方体面的特征，我把它们分为三组，然后计算6个面的面积。算式是0.7×0.5×2+ 0.7×0.4×2+0.5×0.4×2＝1.66（平方米）。

师：为什么？

生：因为长方体相对的两个面的面积相等，所以可以一对一对地算。

师：这个方法请每个同学用文字概括出来，自己读一读，想一想分别算了哪两个面的面积。

生：长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。

方法三：

生：根据长方体面的特征，我把长方体的6个面的面积分为两组。不同的三个面为一组。比如，上面、正面、右面为一组。（0.7×0.5+0.7×0.4+0.5× 0.4）×2＝1.66（平方米）。

师：谁能解释这个算式？

生：0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4分别算出上面、正面、右面三个面积的和，“×2”就是还有一组三个对应的面，分别是下面、后面、左面。

师：请大家把这种计算方法用文字概括。

生：（长×宽+长×高+宽×高）×2。

活动三：

师：比较解决“至少要用多少平方米的硬纸板”数学问题的三种方法，你得出什么结论？

生：第一种方法一个面一个面计算，比较麻烦，后面两种方法一组一组地算，比较简便。

生：无论采用哪种方法，都是求长方体6个面的总面积。

师：长方体6个面的总面积，叫作它的表面积。通过研究，可以发现长方体的表面积和它的面有关，其实就是跟它的长、宽、高有关系，我们要找准每个面的长和宽。

【思考】

一、在数学化学习过程中“再创造”概念的形式

数学化的学习过程应遵循布鲁纳关于儿童思维发展的认知规律：操作水平、表象水平和分析水平。那么，学生经历怎样的数学化的学习过程“再创造”概念的形式，形成概念的认知结构呢？教学时，围绕解决“做一个微波炉包装箱，至少要用多少硬纸板？”这一实际问题，设计了三个数学活动，活动一：遵循点、线、面认识图形的规律，理解“要做一个怎样的微波炉包装箱”的这一数学信息。做一个长0.7米，宽0.5米，高0.4米长方体微波炉包装箱，这个微波炉包装箱是由6个相对面面积相等的长方形围成的立体图形，建构长方体的每个面是由哪些棱围成的认知结构，如前面的面是由长方体的长（0.7米）和高（0.4米）围成的长方形，右面的面是由长方体的宽（0.5米）和高（0.4米）围成的长方形，等等。那么，学生经历横向数学化的学习过程，建立数学和生活之间的联系，理解数学概念的本源。活动二：解决“至少要用多少硬纸板”这一实际问题，启发思考“怎样计算长方体6个面的总面积？”这一问题关键所在，引导学生把计算长方体每个面的面积转化成计算每个长方形的面积，渗透转化的数学思想方法，这样，学生经历纵向数学化的学习过程，建立抽象数学知识之间的联系，形成数学概念之间纵向联结的网络。活动三：在解决问题的学习过程中，通过比较、概括和抽象长方体表面积这一概念的形式化的定义，也就是长方体6个面的总面积。总之，基于学情和遵循学生认知发展规律设计体现不同水平的学习活动，学生亲历概念的形成过程，在这一数学化的学习过程中逐步抽象和概括出概念形式化的定义。

二、在数学化的学习活动中指导学生把握概念的本质

把握概念的本质是有效教学的根本。长方体的表面积这一概念是由“长方体”“6个面”“总面积”这几个频繁出现的词语构成的，这是长方体的表面积形式化的定义，那么，这一数学概念的本质是什么呢？笔者认为，是求6个长方形的总面积。既然如此，教学时，关键是要指导学生理解一个核心要素：每个长方形是由长方体的哪些棱围成的？那么，教师如何指导学生在数学化的学习活动中把握概念的本质，而不是记忆或背诵概念的形式化的定义？笔者认为可以向学生提供现实的、有数学意义的、富有挑战性的问题情境：用硬纸板做一个长0.7米，宽0.5米，高0.4米的微波炉包装箱，至少要用多少平方米的硬纸板？指导学生结合已有的知识经验，体会做一个微波炉包装箱需要的硬纸板就是“求6个长方形的面积”这一数学事实；启发学生思考一个数学问题：每个长方形的长和宽是由长方体的哪些棱围成的？向学生提供充分的主动进行探究、推理和交流等数学活动的机会，建立长方体的三条棱（长、宽和高）和长方形的长和宽之间横向联系的纽带。接着，引导学生亲历解决“至少要用多少平方米硬纸板”这一数学问题的学习活动，由于学生的思考角度不同，会选用不同的方法进行计算，通过交流、比较，理解各种算法。最后，在解决问题的过程中形成解决问题的策略和方法，抽象、概括出长方体的表面积这一数学概念，从内容到形式，从形式到内容，自主建构“长方体表面积”这一数学概念的形式和内容。总之，教师的责任是创设适合学生进行数学化活动的具体情境，有效地指导他们积极参与到数学化活动中去，倾听他们对概念本质的理解。

（广州市增城区教育局教研室 511300）

*本文是广州市教育科学“十二五”规划课题“‘先学后导’在小学数学教学中的实践研究”（课题编号：2013B461）的研究成果之一。