着眼空间观念培养 提升解决问题能力——“长方体和正方体”教学思考

□ 俞秉钧 王红妙

着眼空间观念培养 提升解决问题能力
——“长方体和正方体”教学思考

□ 俞秉钧 王红妙

立体图形的学习是小学阶段“图形与几何”知识的重要组成部分。学生能否熟练灵活运用相关知识解决实际问题，较大程度上取决于空间观念的积累。以“长方体和正方体”的教学为例，要有效培养学生的空间意识，可以通过以下策略展开：在“丰富感知”中，唤醒空间意识；在“虚实相生”中，发展空间想象力；在“纵横思辨”中，深化空间观念。只要教师坚持沿着“形象→表象→抽象→形象”的轨迹不断循环往复，空间观念就会不断走向清晰，学生的想象力也会由单一走向复杂，得以不断提升。

长方体 正方体 立体图形 空间观念

小学阶段“图形与几何”知识的教学主要包括“空间和平面图形的知识和计算”“图形的位置与变换”等，立体图形的学习是其重要内容，作为这一内容的重要部分“长方体和正方体”，它是建立在学生认识了平面图形的特征和相关计算的基础上进行教学的。这是学生学习几何知识由平面扩展到立体的开始，更是学生空间观念发展中的一次飞跃，对培养和发展学生初步的空间想象能力和后续学习有很大的影响。

在实际教学中，教师往往存在“重结果，轻过程；重形式，轻思维”的教学意识，导致学生“知其然，却不知其所以然”。以下是笔者在教学中由若干问题引发的一系列思考与实践，及找寻到的一些耐人寻味的知识共性。

【思考一】“体”变“形”，仅仅是口误吗？

教学中发现学生总将“长方体”“正方体”说成“长方形”“正方形”，纠正多次还是改不了，这仅是口误吗？深入思考，不难发现这是学生受到之前所学的平面图形的影响，对于初步接触的立体图形又没有真正建构起清晰的表象而产生的“口误”。

【对策一】在“丰富感知”中，唤醒空间意识

小学生的思维以形象为主，逐步向抽象过渡。表象是由感知到概念间的“阶梯”，具有直觉性和概括性。笔者认为教师应以直观形象的教学手段为基点，在点、线、面、体间的沟通联系中，在形态万千的现实世界里，通过多种途径丰富学生的感知，帮助学生建立清晰、深刻的“体”的表象，唤醒、激活学生的空间意识，从而成功实现由一维空间到二维空间再到三维空间的飞跃，助其顺利过渡。

（一）关注“体”的飞跃

立体图形的学习侧重于帮助学生建立三维空间观念，而空间观念的形成需要经历一个不断补充、延伸、完善的学习过程。教师不仅要注重学生对立体图形的观察研究，还要关注从面到体的过渡，体会面与体的差异，理清它的纵向发展脉络。如教学“长方体的认识”课始，笔者利用多媒体设计了一个运动情境导入新课。屏幕上先出现一个点，有很多的点从左往右整齐而紧密地排列，运动的轨迹形成了线段；很多条相同的线段从下往上整齐而紧密地排列，运动的轨迹形成了长方形；很多个相同的长方形从前往后整齐而紧密地排列，运动的轨迹形成长方体，从而引出“长方体”。

伴随着“点→线→面→体”的形成，让学生不断展开想象，并在现实中得到验证，形象地感受到点、线、面、体的联系与区别，巧妙地实现“长方形”向“长方体”的过渡，帮助学生实现从一维空间、二维空间向三维空间的转化。一个富有匠心的细小环节，让学生印象深刻，“体”与“形”虽是一字之差，却是截然不同的两种表象，就不会轻易地将“长方体”说成“长方形”了。同样，立体图形很多都可以看成由平面图形经过叠加或旋转运动形成的，教师始终要重视这方面的联系。

（二）重视“体”的建构

“体积”首次亮相于本单元中，因此对这个新概念的建构尤显重要。在体积教学中，教师应充分借助实物让学生充分理解“空间”“空间大小”的实际意义，进而理解体积。如让学生观察在一块空地上放置的由一个个面围成的纸箱，发现箱子占据了一定位置，它所占的位置就是空间。再在箱子的旁边放一个大的长方形纸片，让学生走一走。使学生知道由于箱子占据空间，需绕道，而长方形纸片不占据空间，无须绕道，让他们从对比中获得空间知觉。再选择不同的物体放在空地上，观察比较这些物体也会占据一定的空间，不同的物体占据的空间有大有小，从而建立体积概念。

同样，体积的计算教学也需精心设计，让学生经历动手、动脑、表述等多种感官体验，有助于体积概念的进一步深化。如在教学“长方体的体积”时，首先让学生在摆放物体中感悟体积，懂得“长方体所含体积单位的数量，就是长方体的体积”；再通过引导学生“有序数”理解“一行→一层→几层”与长、宽、高的内在联系，从而充分理解“长方体的体积=长×宽×高或长方体的体积=底面积×高”。

（三）充盈“体”的经验

学生的空间观念来自丰富的生活原型，但学生对立体图形的生活原型显然了解不够。如在表面积教学中，学生在解决占地面积、侧面积等问题时往往找不到对应的数据。细观教材，它是通过研究长方体的展开图帮助学生理解的，但立体图形与它的展开图表象又需要一定的转化，学生需要想象出每个面的长、宽与长方体的长、宽、高的对应关系。因而需要教师利用生活原型架设桥梁，助其学习，如可利用学生身处其中的熟悉场所教室，借助真实直观的长方体参照物，让长方体表象在头脑中扎根，帮助学生清晰地建立起对应关系。

又如在解决表面积问题时，教师可以让学生通过搜集发现、归纳整理、自编习题等形式去解决生活中哪些情况只需要求侧面积的实例：落水管、通风管、烟囱……哪些需要求4个面……也可以借助多媒体呈现生活情境，如让学生观察等积变形的实例：求不规则物体的体积过程、一堆圆锥形沙子铺路…… 通过教师长期有意识的引导，学生才能学会用数学眼光去观察生活，发现与之相关的生活素材，积累经验，丰富表象，有效地培养学生初步的空间观念。

【思考二】解决问题一定需要动手操作吗？

教材第36页题2（见下图），至少50%的学生只是胡乱猜测，不能正确分析。通常教师会向学生传授“秘诀”:“动手折，一切迎刃而解。”粗看这个“秘诀”简单有效，学生动手操作，符合数学课程标准；再细思，解决问题一定需要动手操作吗？动手操作是培养空间观念的最佳手段？解读课标和教材，笔者认为动手操作是必要的，它是学生发展空间观念的一座桥梁，学生借助它可以建立初步的表象。但如果过多或一味地让学生动手操作，在某种意义上会折断学生想象的翅膀，弱化学生的想象能力。

下面的平面图哪些可以折成正方体？

【对策二】在“虚实相生”中，发展空间想象力

初步的空间观念培养需要以动手操作为基础，但当学生通过大量的观察、操作，积累了一定的感性经验后，教师就要学会逐步放手，引导学生充分发挥想象，开展想着画、想着折、想完整等空间思维活动，并不断辅助实践检验，增加其思维的准确性，丰富“体”的表象。这样学生在“虚实相生”“循环往复”的过程中，加深了对立体图形的本质理解，培养了抽象思维，发展了空间观念，空间想象能力也在这样的一次次想象中得到发展！

（一）想着画，搭建立体框架

《六年级学生空间想象能力测试及问卷调查的分析与对策》（游琼英，《小学教学》2010.2）一文中指出：在空间想象能力测试中，有55%的学生不会画立体图，只有38%的学生能从文字联想到平面图形或立体图形。说明我们的教学更需要对这方面进行关注。

小学阶段对学生画图的要求不高，一些较简单的图形，可以让学生在观察实物后，根据图形的相关知识尝试着画，这是一个由实物到图形的顺向思维过程。如在画长方体三维图时，可根据“从不同角度观察一个长方体，最多能同时看到3个面”去画。三个面用实线表示，其余三个面由于看不见，用虚线表示，相对的面大小相等，画出相对面。方法有二。

（二）想完整，增添思维含量

教师还可以利用图形的一些基本元素让学生将前后知识融会贯通，想象加工、拼摆、组合，让虚拟图形的完整框架或丰富的组合图形表象在学生的头脑中清晰显示，增加思维含量。如在该单元教学时，笔者一直都非常关注这样的训练，如根据长方体的长、宽、高想象出它的三维图（见下图），根据想象的三维图解决问题：如后面的面积，左右两个面的面积之和，棱长之和，哪个面的面积是15平方厘米，猜测这个长方体可能是什么盒子等。 让学生应用所学的知识及积累的想象力进行解决，在解决的过程中进一步发展空间观念。或者出示一个长方体的左面和前面（见下图），分别计算底面积和体积。

这种教学方式将前后知识融会贯通，通过想完整，脱离实物，自觉搭建虚拟的立体图形模型，并借助这个立体图形，解决实际问题，这样既培养了空间想象能力，又学以致用。

（三）想着折，突破教学难点

能进行立体图形与其展开图之间的转化，不仅有助于学生认识图形的特征，同时还是解决实际问题的关键，是建立空间观念的要点之一。但平时学生建构的往往是立体图形表象，展开图及动态的转化对学生而言比较困难。因而教师应让学生充分借助已有的动手操作经验，想着折，突破学习难点。学会想着折，就是引导学生在头脑中折叠操作，由于脱离了具体的操作，起初会有些困难，但只有在持续的想象活动中，才能培养他们的空间想象力。

诸如上题，在学习了正方体的认识，了解了它的展开图后，可引导学生通过“想象折、标注”来完成。如让学生先确定一个面作为下底面，写上“下”，然后想象折叠的过程，每折叠一面就确定它是哪面，在此面标上相应的文字，最后若能不重复、不遗漏地在六个面上分别标上“上”“下”“前”“后”“左”“右”（见下图），那么这个展开图就能折成正方体，反之，则不能折成正方体。

教师还可以通过电脑操作验证学生的想象，不断完善学生的想象。同时教师还应引导学生探寻展开图的分布规律，获得解题方法与策略。

【思考三】错误百出，仅仅是“看错了”吗？

在本单元教学中，由于概念较多，作业错误百出。究其原因，学生往往是一拍脑袋，恍然大悟地说声“看错了”。仅仅是看错吗？细细分析，不难发现当知识回归生活时，更具有现实性和综合性，现实问题的解决无疑对学生是一种挑战。

【对策三】在“纵横思辨”中，深化空间观念

学生的空间观念，需要以生活经验积累为基点，用想象来丰盈，更需要回归生活。因此，教师一定要注重习题的设计，以学生熟悉的具体情境为载体，恰当改变题目，把握习题的宽度、深度、灵活度和对比度；同时数学知识又具有一定的逻辑性、抽象性、概括性和层次性，教师还需要将各种知识和思想方法连串成网，形成网络结构。让学生在纵横思辨中同中求异，异中存同，触类旁通，寻找共性，深化学生的空间观念，提高解决问题的能力。而学生良好的空间观念有助于发展他们的几何直观思想，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生进一步的学习和运用。

（一）横向梳理，明晰概念

如“长方体和正方体的整理与复习”中的练习设计。

此金鱼缸长1.2米，宽0.4米，高0.6米，用玻璃制成，每1平方米玻璃售价是80元，并用铝条包边。请你利用相关信息提出实际问题并解答问题 问题角度占地面积棱长总和表面积体积容积综合应用

这种练习题以一个开放性的情境为载体，让学生利用相关信息提出问题，把看似不同的知识联系起来。不仅帮助学生系统梳理知识，同时通过分析比较，理清知识的联系与区别，提高概念的清晰度与区分度，构建知识的网络结构，提升思维的广度和灵活度。

（二）纵向深入，融会贯通

教材第48页安排了这样一道习题（见下图）：

一个包装盒，如果从里面量长28厘米，宽20厘米，容积为11.76立方分米。爸爸想用它包装一件长25厘米，宽16厘米，高18厘米的玻璃器皿，是否装得下？

（问题情境：体积小于容积，对应的长、宽、高也小，装得下）教师在充分解读教材的前提下，进一步挖掘习题的思维含量，二度开发教材，让看似简单的习题发挥更大的价值。调整如右上表 。

此练习题同样是利用一个情境，把相似的知识放在一起，让学生经历观察、比较、归纳、概括的过程，打破思维定势，学会从多角度思考问题，并获得一些解决问题的策略。习题的教学价值在引领和重组下，获得了丰富和拓展，提升了学生的空间观念。

习题 思考角度①一个长方体包装盒的容积如果从里面量长28厘米，宽20厘米，容积为11.76立方分米，爸爸想用它包装一个体积是12.2立方分米的长方体玻璃器皿，是否能装进？体积大于容积，一定装不下②一个包装盒，如果从里面量长28厘米，宽20厘米，容积为11.76立方分米。爸爸想用它包装一件长25厘米、宽16.37厘米、高23厘米的玻璃器皿，是否能装下？体积小于容积，也不一定能装得下，还要考虑它们的长、宽、高③一个包装盒，如果从里面量长28厘米，宽20厘米，容积为9.52立方分米。爸爸想用它包装一件长25厘米、宽16厘米、高18厘米的玻璃器皿，是否能装下？可以改变物体的摆放位置，使长、宽、高对应数据发生改变，装下物体

（三）凸显思想，连串成网

数学思想方法是数学知识不可分割的有机组成部分。立体图形的教学不仅要培养学生的空间观念，更要让学生在学习的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴含的数学思想才能对所学知识的理解更深刻，数学素养才能得到提升。其主要数学思想包含数形结合、转化、有序、类比、分类等，当然我们所强调的是“凸显”，着重在“渗透”，是让学生能够在初步体验、感悟基础上有所理解，用无痕的、润物细无声的方式让学生认识或理解某种具体的数学思想方法。

如从学生开始接触空间与图形板块，“比较”就以不同的形式出现，从线段的长短到面积的大小再到体积的比较。列举比较的数学思想方法，其实长度、面积和体积在比较的思想方法上它们表现出共同的特征。“比较”有两法，即观察法和重叠法，而重叠法是较为精确的比法。一维空间的比较：点对齐，重叠一条边；二维空间：重叠两个方向的边；三维：重叠三个方向的边。如果教师在每个学段都能适当地进行回顾与发展，那么我们的学生不再是举步维艰，他们更多是利用一些数学思想和方法进行举一反三的学习，教学也就成功。又如，“在数长方体的顶点、棱、面的数量”时，渗透有序的思想方法；再如，“用排水法求不规则物体的体积”“把正方体钢坯锻造成钢条”等，都是利用等积变形的数学思想，包括在后续学习将圆柱转化成圆锥等问题时都可利用这种思想方法。

学生的空间观念是以丰富的空间经验为起点，在活动体验的过程中逐步建立、形成、强化和发展起来的，而非一朝一夕之事。只要教师坚持沿着“形象→表象→抽象→形象”的轨迹不断循环往复，空间观念就会由无到有，由少增多，由模糊走向清晰，学生的想象力也会由弱到强，由低到高，由单一到复杂不断提升。

[1]马云鹏.小学数学教学论[M].北京：人民教育出版社.2013（6）.

[2]孔新伟 .数学教学中培养学生空间观念三步曲[J].湖北教育（教育教学），2011（9）.

（浙江省新昌县七星小学 312500）