类比教学中细节失察的分析与启示

☉江苏省金湖县外国语学校 李 东

类比教学中细节失察的分析与启示

☉江苏省金湖县外国语学校 李 东

在教学实践中，有些教师设计类比教学的过程流于形式，细节处理失察，以致错过教学增效的良机.本文结合具体案例予以分析，并给出相应的优化措施，供交流.

一、忽视类比对象的内在关联

案例1：解直角三角形（第1课时）.

片断概述：教师指着课题“解直角三角形”打趣地说“这种说法挺新鲜，过去我们只遇到解……”，学生会意地联想到解方程（组）、解不等式（组）等.教师借机让学生猜“解直角三角形是怎么回事”，有学生认为“就是求出直角三角形中未知的边或角”，教师肯定学生的猜想.

教师趁势调动学生，回顾了探索三角形全等条件的思路和经验，引导学生成功对直角三角形中已知元素类型进行分类，学生分组合作，画图、设定边（角）的已知值并求出未知元素.经过小组交流与汇总，达成共识：当条件中至少有一条边已知时（即已知一边一角或已知两边）才能求出直角三角形中的未知元素，依靠的工具是直角三角形中的三个关系（勾股定理、内角和定理的推论和锐角三角形函数定义）.至此教师才让学生概括什么是解直角三角形……

分析：片断中，教师在解直角三角形的概念引入与形成阶段都进行了类比教学.学生扣住两类概念具有“根据已知求出未知”这一共同本质，由解方程等概念类比猜想解直角三角形的含义，过程简短、自然、有趣.第二次类比活动，教师给学生充足的自主探索与交流合作的时间，从三角形全等条件的探索思路迁移到探索已知哪些元素的直角三角形可解，尽管研究过程耗时长，但小组分工明确有序.

从课堂观察看，学生有两种认识值得推敲，一种仅认为已知一边（角）等条件时直角三角形不可解，是因为未知的边或角无法确定；另一种始终将直角三角形中的三边关系、角角关系和边角关系看作解题工具——两个定理、一个定义.笔者认为这两种认识较肤浅，与教师把这次类比教学定位于唤醒已有经验探索并归纳出直角三角形可解类型有关，教师如果不加以点拨，学生难以感知三角形全等与直角三角形可解隐含着共同的本质，即符合已知条件的三角形唯一存在！而事实上直角三角形唯一存在又可以用数进行精确刻画，即直角三角形的唯一存在与方程（组）有唯一解等价，学生想不到这一层面也反映出直角三角形三个关系教学中，方程思想渗透不力所导致的模型意识缺失.因此，这次类比对象的建构停留于问题解决的相似思路，还未深入两者在三角形唯一性上的内在关联.

启示：类比是一种求同思维，其实质是一种推断靶问题与源问题在知识等方面的相似性，相似性是类比的基础.本案例中教师如果及时点醒学生，未知边（或角）的值无法确定意味着什么？是三角形不存在还是存在但有无数个？进而让学生感受到直角三角形可解就是符合条件的直角三角形唯一存在，就能明晰本质关系，三角形全等与直角三角形可解之间的类比更有意义.

学生将直角三角形中三个关系的作用仅视为定理和定义的应用，是其认知水平决定的，我们教师要帮助学生提高认识，将“工具”上升为“思想”，建立课标提出的“模型思想”.三个关系的本质是直角三角形中内隐的一组方程，是刻画直角三角形的有效模型，通过引入阶段的类比，学生初步意会到直角三角形的含义，这时教师可趁势让学生复习回顾三个关系，让学生给三个关系中的边或角赋值，这样学生就容易发现已知一边、已知一角、已知两角时都有方程出现无数个解，而已知两边或已知一边一角时方程有唯一解，帮助学生理解直角三角形可解对应着直角三角形唯一存在.巧合的是本案例中学生课堂解过的方程分别属于一元一次方程、一元二次方程、分式方程和简单的三角方程（由锐角三角函数值求角），如果在结课时把它们对比一下，学生就能体会到解直角三角形汇集了初中阶段所学的各类方程，模型意识得到增强.

在类比对象的建构中，不能剥离对象间的内在关系，否则会导致对靶问题也具有的相似性认识模糊或表述不当，造成学生的类比思考只停留于外表而未深入本质.

二、忽视对象差异的区分力度

案例2：用二元一次方程组解决问题（第1课时）.

片断概述：教师让学生用不同方法解决问题：五一小长假期间，某旅行社接待1日游和3日游的旅客共2200人，收旅游费200万元，其中1日游每人收费200元，3日游每人收费1500元.该旅行社接待的1日游和3日游旅客各有多少人？

巡视中，教师挑出分别列一元一次方程和二元一次方程组解题的学生板演，点评后让学生对比两种解法，哪种思路更直接、方法更简单？学生一致认为列方程组更直接，但有学生觉得少设一个未知数好，且解方程组过程较繁，认为列一元一次方程简单，教师用“还是列方程组简单，慢慢你会体会到”应付过去.接着让学生根据板演回顾了列一元一次方程解应用题的6个步骤（教师板书这6个步骤），顺势类比列二元一次方程组解应用题的一般步骤……

分析：辩证地看，靶问题与源问题之间存在一定的差异，教师刻意挑出两种解法，就是方便学生顺利进行两次类比迁移，一是从解应用题的一般步骤上，帮助学生固化列方程（组）解应用题的基本思路，为后续学习提供类比源；二是从解法的关键步骤上，比对差异感知优劣，使新方法的出现为学生的知识结构所接纳，这两次类比分别着眼于对象的相似性和差异性.

本案例中有学生看好列一元一次方程解决问题，问题出在哪儿？教师点评时已让学生列出本题的两个相等关系，设一元的学生只不过利用“1日游的人数+3日游的人数=2200”提前变形消元，能力一般的学生也容易据此设一个未知数并表示出另一个未知数，由此看来，教者提供的素材显示对象的差异性缺乏力度，对象的差异性没有突出地指向列方程组的优越性.

启示：怎样的素材能让学生列一元方程觉得费事或吃力？若根据两个相等关系列出的两个方程中，没有未知数的系数为1，一般学生就较难设元并快速心算消元，这样的问题会明显说明设一元列方程的劣势.事实上，教师后面出示的例1就是一个理想的素材，其题目是：为保护环境，某校环保小组成员收集废旧电池.第一天收集5节1号电池、6节5号电池，总质量为500g；第二天收集3节1号电池、4节5号电池，总质量为310g.1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？这个问题可以直接作为引例，题中有两个相等关系，无论设哪个未知数，用其中一个相等关系表示另一个未知数都不易，此时列方程组解题的优势很明显，学生才体会到学习列方程组解应用题的必要性，深刻感受到方程组这个刻画现实世界的有效数学模型.

利用类比对象的差异性设计教学过程，要围绕教学主题选择合适的素材，这个素材要有力揭示靶问题与源问题间的差异，并且这种差异要能促进学生的思考顺利进入教学预设的轨道.

三、忽视结论或然的发掘运用

案例3：分式方程（第1课时）.

片断概述：教师首先让学生探索3个实例中的数量关系，分别列出方程，然后引导学生对比一元一次方程，发现新方程的共同特征，归纳引出分式方程的概念.接着教师发动学生研究分式方程的解法，经小组合作找到两种思路，一是左边通分相加合并，根据商为1时除数、被除数相等获解；二是等号两边都以2x-5为公分母通分，合并左边后，根据同分母的分式相等时其分子也相等获解.此时教师追问：方程如何解？启发学生尝试去分母解，到此教师强调：与解含分数系数一元一次方程不同的是，解分式方程最后一步必须写出检验过程！至于为什么，学完下节课的内容大家会明白，先记住这个要求……

分析：这个片断，类比色彩也较浓.列出的方程里分母中有未知数，据此引出分式方程概念，另外强调书写检验过程，这些都是抓住与一元一次方程在形式和解题步骤上的差异，完成类比对象的建构；解分式方程的思路（学生找到的及教师引导的），都是借助已有解题经验和方法在新问题中的尝试运用，发挥出正类比的作用.

可是，“解分式方程最后一步必须写出检验过程”是教师强加给学生的，或许教师认为必须借助增根导致分式方程无解例子，才能让学生心服口服接受这一硬性规定，因此本节课让学生去理解这个规定时机不成熟.事实是最后一步书面检验是由去分母这一步隐含的差异决定的，也就是等式基本性质2所决定的，如果在此发掘这种差异，会帮助学生理解这种逻辑关联，写检验过程也就理所当然了.

启示：就像莱布尼兹所言，“感觉永远只能给我们提供一些例子，只有理性才能建立可靠的规律”，类比具有或然性，应通过演绎证明或反例否定来检验类比所得结论的正确性.去分母时，教师板书=1×（2x-5），是为了基础差的学生减少失误而要求他们书写的一步，这一步其实是学生理解书面检验必要性的较好切入点.

在学生联想到解分式方程可以先去分母时，教师可以在这步后面用彩笔加注问号，并提醒说：假设这样去分母是合理的！得出x=0后，学生反思整个过程，每步变形与运算都正确无误，对照解一元一次方程的经验，会觉得书面检验没有必要，此时教师追问学生：这里去分母时两边同乘的式子，与解一元一次方程去分母有没有区别？去分母的依据是什么？这个依据中有什么特殊规定吗？学生交流中会发现，这里去分母时两边同乘的不是一个数，而是一个含字母的式子，依据等式基本性质2，两边同乘的必须是不为0的数！此时再追问：是数能一眼看出是否为0，可现在的（2x-5）能看出一定不是0吗？一旦（2x-5）为0，去分母这一步就已错了，后面的过程再完美都无效，这个漏洞该如何补救呢？学生商讨的结果可能是把x=0代入（2x-5）看是否为0，或是直接代入原方程检验.即使有学生提出分类讨论，依据求得的未知数的值，（2x-5）要么为0，要么不为0，其中一种情况成立就同时否定另一种，可以帮助学生理解不必分类.通过这一系列引导，从逻辑上帮助学生感受到书面检验必不可少.另外，去分母解分式方程也是一种在“假设”前提下启动的解题模式，前面学习中积累的反证法和存在性问题的解题经验，也能促进学生理解和接受书面检验的要求.

教学中在鼓励学生大胆猜想的同时，更要要求学生对类比的思维过程进行反思，检验结论的正确性，而类比对象间的差异性往往是检验的突破口.类比教学关注类比结论的或然性，对学生养成良好的思维品质意义重大.

四、忽视类比方向的多元并存

案例4：用配方法化二次函数一般式为顶点式

片断概述：教师先让学生将函数y=x2-2x+3化为y= a（x+h）2+k的形式，接着又抛出函数y=2x2+4x-1，有学生设转化成的函数为y=2（x+h）2+k，展开整理成一般式，“对号入座”求出h和k，再代入得到所求的顶点式.教师指出此法无效，因为解答过程没有出现配平方的过程.接着逆向类比刚才这位同学的展开过程，引导学生提取2再配平方整理成顶点式，然后又以学生口述教师板书的形式，共同将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，可是巩固练习中出了意外，一位学生将函数y=3x2-6x+7这样化为顶点式：.教师这样评价：尽管结果对，但这种方法把二次三项式的配方与配方法解一元二次方程混在一起，拐弯抹角，不提倡！

分析：片断中学生用待定系数法化顶点式，肯定是受到什么知识启发，是学习整式乘法和因式分解时做过类似题目？还是联想到面积法解题的经验？类比的痕迹很明显，遗憾的是没有在课后走访一下.这个方法出人意料，却成了教师引导学生将a≠1化为a=1的脚手架（也许教师备课时就已准备好将顶点式化为一般式的问题）.

这位学生“意外”的解法值得深思，他这样坚定走“除以a”的路线，诱因恐怕还是配方法解一元二次方程的经验.想想学生平时提取a进行配方，最后一步常犯的错误就是漏乘a导致整理出来的“k”值不对！再细想，提取a这种传统方法（即教材中的方法）会产生中、小两层括号，给符号感弱的学生增加变形和运算的难度，相反两边除以a，可以专心配方，配好后又可以同乘a轻松还原.由此看来，除以a配方倒是更贴近学生的认知水平，更易牵引着学生在特定思路上产生类比迁移，因此应肯定这种配方思路，而不应囿于教材进行牵强的类比.

启示：从现代数学的角度看，类比就是两个具有同构关系的模型空间的推理，在这个关系下两类对象间相似属性具体表现形式不是单一的，使得类比的方向多元并存.学生研究源问题在某个方面积累的经验越丰富、越深刻，就越能左右学生面对靶问题朝着这个方向联想迁移.案例中提取a将二次函数配成顶点式，也许学生能直接参照的就是先提公因式再套用完全平方公式进行因式分解，能间接参照的是展开a（x+h）2+k化成ax2+bx+c这种变形；而除以a配方可直接参照的经验比较多，从解一元一次方程、一元一次不等式最后一步（系数化为1）到配方法解a≠1的一元二次方程，经历了许多练习的积淀，学生朝着除以a方向联想也就不足为奇了.笔者尝试这种配方法教学，学生配方的效果确实好于传统配方法，值得肯定.

类比教学中，类比对象的构建要充分考虑多个方向，学生已有的知识储备和经验累积会促进哪个方向的类比生成，需要多作预案，这样当我们面对学生出人意料的想法时，就能作出客观合理的评价，从而促进学生类比意识的健康发展.

1.曲衍立，张梅玲.类比迁移研究综述［J］.心理学动态（上），2000，8（2）.

2.濮阳康和.类比推理的难因分析及教学策略［J］.数学通报，2012（11）.

3.黄亚军.类比学习：用经验“催生”知识——以“多边形的内角和”为例［J］.中学数学（下），2016（6）.Z