GWCN环的一些研究

张子珩， 储茂权

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

GWCN环的一些研究

张子珩， 储茂权

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

本文主要讨论了GWCN环的若干性质以及它与一些特殊环的关系，研究了GWCN环的强正则性，证明了：若R是有Abelian极大左理想的GWCN环，那么下列条件等价：(1)R是强正则环；(2)R为左GP-V’-环，且R的极大本质左理想均为广义弱理想; (3) R是左GP-V’-环，且R的极大本质右理想均为广义弱理想.

GWCN环；约化环；弱半交换环；强正则环

1 预备知识

本文中的环均指有单位元的结合环.环中的单位元记为1.设R是环，记Z(R)，N(R)，E(R)分别是R的所有中心元，幂零元，幂等元的集合，P(R)，J(R)分别是R的素根和(Jacobson)根.对任意a∈R，l(a)，r(a)分别为a的左零化子及右零化子.对任意正整数n，Rn×n和Tn(R)分别表示R上的全体n×n阶矩阵和n×n阶上三角矩阵之集,Rn={(an)∈Tn(R)|a11=a22=…=ann}.

称环R为约化环[1]，若N(R) =0.称环R为CN环[2]，若N(R)⊆Z(R).称环R为GWCN环[3]，若对任意的a∈N(R)，b∈R，有a2b2=ab2a.称环R为强正则环[4]，若对任意的a∈R，总存在b∈R，使得a=a2b.

显然CN环是约化环的推广，GWCN环是CN环的推广.

本文的主要目的是讨论GWCN环的一些性质，研宄GWCN环与一些特殊环的关系，讨 论GWCN环是强正则的一些条件.

2 主要结果

引理2.1 若环R为约化环或交换环，则R2为GWCN环.

环R为约化环时a=0，显然有A2B2=0=AB2A.

命题2.2 设R为任意环，自然数n≥3,那么

(1)Rn不是GWCN环；

(2)Tn(R)不是GWCN环；

(3)Rn×n不是GWCN环.

(2)与(1)类似可证.

(3)假设Rn×n是GWCN环，由于GWCN环的子环仍为GWCN环，那么Tn(R)为GWCN环，矛盾.故当n≥3时Rn×n不是GWCN环.

称环R为弱半交换环[5]，若对任意ab=0,a,b∈R有aRb⊆N(R).

命题2.3 GWCN环是弱半交换环.

证明：设R为GWCN环，xy=0，其中x,y∈R.由于(yx)2=0,yxr2yx=0，对任意的r∈R.取任意t∈R，用r+tx替换r，得yxtxryx=0，yxRxRyx=0.对任意的a∈R，有(yxa)3=0，那么(xay)4=xa(yxa)3y=0.因此xay∈N(R).故R是弱半交换环.

例2.4 设R′=Q〈α,β,γ〉是非交换元在有理数域Q上的多项式组成的环，I是由〈α3,β3,γ3,βα,γβ,αγ,γα,α2β,αβ2,β2γ,βγ2〉生成的理想.令R=R′/I，则R是GWCN环但不是半交换环.

称环R的左理想I是Abelian的[3]，若对任意e∈E(R)∩I,∀x∈I，有ex=xe.称环R是Abelian的[3]，若R是R的一个Abelian左理想.易知环R是Abelian的当且仅当eR(1-e)=0，∀e∈E(R).

命题2.6 对于环R，若存在e∈E(R)使得eR和(1-e)R是GWCN环，且环R有Abelian极大左理想M，那么R为GWCN环.

证明：设有a∈N(R)，e∈E(R).若e∉M，则1-e∈M.那么对任意的x∈R，x(1-e)∈M.由M是Abelian极大左理想，有(x(1-e))(1-e)=(1-e)(x(1-e))，即x(1-e)=(1-e)x(1-e).因此eR(1-e)=0.若e∈M，那么1-e∉M，于是eR⊆M，以及M(1-e)⊆M.那么eR(1-e)⊆eM(1-e)=Me(1-e)=0.故在任意情况下均有eR(1-e)=0.同理(1-e)Re=0，从而R是Abelian的.因此ea∈N(eR)，(ea)2(eb)2=(ea)(eb)2(ea)，((1-e)a)2((1-e)b)2=((1-e)a)((1-e)b)2((1-e)a).ea2b2=eab2a，(1-e)a2b2=(1-e)ab2a，可得a2b2=ab2a.

对于环R，令Ω是R的中心正则元构成的乘法闭子集.

命题2.7 对于环R，R是GWCN环当且仅当Ω-1R是GWCN环.

证明：GWCN环的子环仍为GWCN环，故只需证必要性.

设α∈Ω-1R，β∈Ω-1R，α=u-1a，β=v-1b.其中u,v∈Ω，a,b∈R.若α∈N(Ω-1R)，由于Ω包含在R的中心里，故0=αn=(u-1a)n，a∈N(R).又由R是GWCN环，有a2b2=ab2a.那么

α2β2=(u-1a)2(v-1b)2=u-1au-1av-1b=(u-1)2(v-1)2a2b2=(u-1)2(v-1)2ab2a=(u-1a)(v-1b)2(u-1a)=αβ2α.

故Ω-1R为GWCN环.

推论2.8 对于环R，R[x]是GWCN环当且仅当R[x,x-1]是GWCN环.

证明：GWCN环的子环仍为GWCN环，故只需证必要性.

设Ω={1,x,x2,…}，于是Ω是R[x]的所有中心正则元的一乘法闭子集.又R[x,x-1]=Ω-1R[x]且R[x]为GWCN环.由命题2.7可知R[x,x-1]为GWCN环.

称环R为右(左)p-投射环[6],若R中元素的右(左)零化子由R中一幂等元生成.称环R的左理想I是正则的[3]，若对任意a∈I,有a∈aIa.称环R为半素环[7]，若R无非零的幂零理想.

引理2.9[3]若环R有Abelian极大左理想，且R为GWCN环，则环R是Abelian的.

下面给出GWCN环是约化的一些条件.

命题2.10 设环R是有Abelian极大左理想的GWCN环，如果环R满足下列条件之一：

(1)R有一极大左理想是正则的；

(2)R为半素环；

(3)R为右(左)p-投射环.

则环R是约化的.

证明：(1)设M为环R的极大左理想，且M正则.设a∈R有a2=0.那么对任意x∈R,a2x2=ax2a=0,特别地，a(x+ya)2=0，对任意y∈R，即ayaxa=0，即aRaRa=0，则a∈J(R)⊆M.由于M是R的正则左理想，存在b∈M，使得a=aba=(aba)ba∈aRaRa=0.故R是约化环.

(2)设a∈R有a2=0.那么有aRaRa=0，则(RaR)3=0.由于R是半素的，有RaR=0，则a=0.故R是约化环.

(3)设R为右p-投射环，且a2=0.那么存在e∈E(R)使得rR(a)=eR.因此a=ea=ae=0.故R是约化环.

类似可证R为左p-投射环，则R为约化环.

称左R-模M是左nil-内射的[8]，若对于任意a∈N(R)，任意左R-模同态f:Ra→M可扩展到R→M.称环R为左nil-内射环[8]，若RR是左nil-内射的.类似可定义右R-模N右nil-内射环.称环R为右nil-内射环[8]，若RR是右nil-内射的.称左R-模M是左wnil-内射的[8]，若对于任意0≠a∈N(R)，存在正整数n使得an≠0，且任意左R-模同态f:Ran→M可扩展到R→M.称环R为左wnil-内射环[8]，若RR是左wnil-内射的. 类似可定义右R-模N右wnil-内射环.称环R为右wnil-内射环[8]，若RR是右wnil-内射的.显然，左GP-内射环及左nil-内射环均是左wnil-内射的，反之不真(见[8]).

引理2.11 设R是有Abelian极大左理想的GWCN环.

(1)若每个单奇异左R-模是wnil-内射的，那么R是约化的.

(2)若每个单奇异左R-模是p-内射的，那么RbR+l(b)=R，任意b∈R.

证明:(1)设a2=0,若a≠0,那么l(a)≠R.存在R的极大左理想M使得l(a)⊆M.若M在RR中不是本质的，则M=Re=l(1-e)，∃e∈E(R).由于a∈l(a)⊆M=l(1-e)，以及R为有Abelian极大左理想的GWCN环，则R为Abelian的，且a(1-e)=0=(1-e)a,1-e∈l(a)⊆l(1-e),矛盾.因此M是R的本质左理想.故R/M是wnil-内射的.设f:Ra→R/M，f(ra)=r+M.f为确定的R-同态.那么存在左R-同态g:R→R/M使得g(a)=f(a).则有1+M=f(a)=g(a)=ag(1)=ac+M，其中g(1)=c+M.则1-ac∈M.由于R为GWCN环，a2=0.那么有aRaRa=0.可推出ac∈N(R)且1-ac可逆.但1-ac∈M.矛盾.故a=0，R为约化环.

(2)假设存在非零元c∈R使得RcR+l(c)≠R.那么存在R的一个极大左理想M使得RcR+l(c)⊆M.若M在RR中不是本质的，那么M=Re=l(1-e)，存在e∈E(R).由于c∈RcR+l(c)⊆M=l(1-e),c(1-e)=0=(1-e)c，1-e∈l(c)⊆l(1-e)，矛盾.因此M是R的本质左理想.故R/M是p-内射的.设f:Rc→R/M，f(rc)=r+M.f为确定的R-同态.那么1+M=f(c)=cd+M，d∈R.则1-cd∈M.由于cd∈RcR⊆M,1∈M，矛盾.故对任意的b∈R有RbR+l(b)=R.

称环R为左(右)GP-V’环[9]，若其每个单奇异左(右)R-模是GP-内射的.称环R的左理想L是广义弱理想[10]，若对任意a∈L，存在正整数n≥1使得anR⊆L.环R的右理想K是广义弱理想的定义类似.称环R为MELT环(MERT)环[11]，若其每个极大本质左(右)理想均为R的理想.

命题2.12 设R是有Abelian极大左理想的GWCN环，则下列条件等价：

(1)R是强正则环；

(2)R为左GP-V′环，其极大本质左理想均为广义弱理想；

(3)R是左GP-V′环，其极大本质右理想均为广义弱理想.

证明:(1)⟹(2)及(1)⟹(3)显然.

(2)⟹(1) 由引理2.11,R为约化环.若存在a∈R使得l(a)+Ra≠R.那么存在R的一个极大左理想M有l(a)+Ra⊆M.且M为R的本质左理想.若M不是本质的，那么存在e∈E(R)，M=Re=l(1-e).由于a∈Ra⊆M=l(1-e).由R为约化环可得(1-e)a=0，因此1-e∈l(a)⊆l(1-e)，矛盾.因此R/M为单奇异左R-模，并且由假设，R/M是GP-内射模.那么存在正整数n使得an≠0,且每个从Ran到R/M的左R-模同态都可扩展为由R到R/M的同态.定义f:Ran→R/M，f(ran)=r+M，对任意r∈R.由于R是约化的，l(a)=l(an)，则f为R-同态.那么存在b∈R使得1-anb∈M.假设anb∉M，那么M+Ranb=R，x+ranb=1，存在x∈M，r∈R.而M为广义弱理想，且bran∈M.故存在正整数k使得(bran)kb∈M.那么(1-x)k+1=(ranb)k+1=ran(bran)kb∈M，则1∈M，矛盾.故an∈M，并且有1∈M，矛盾.因此对任意的a∈R有l(a)+Ra=R，R是强正则的.

(3)⟹(1) 由引理2.11,R为约化环.故对任意w∈R,l(w)=r(w).假设，l(a)+aR≠R,存在a∈R.那么存在R的极大右理想K包含l(a)+aR.与(2)⟹(1)类似，K为R的本质右理想.事实上，有l(a)+RaR⊆K.假设RaR⊄K，那么ras∉K，存在r∈R，s∈R.故K+rasR=R，x+rast=1，存在x∈K,t∈R. 由于K为广义弱理想，且astr∈K，那么存在正整数n使得r(astr)n∈K.因此(1-x)n+1=(rast)n+1=r(astr)nast∈K.故有1∈K,矛盾.故RaR⊆K且l(a)+RaR≠R.那么l(a)+RaR⊆L,L为R的一个极大左理想.由于R是有Abelian极大左理想的GWCN环，L为R的本质左理想，那么R/L是GP-内射的.因此存在正整数m使得am≠0且每个由Ram到R/L的左R-同态都可扩展为由R到R/L的同态.定义f:Ram→R/L，f(ram)=r+L，任意r∈R.显然f为确定的左R-同态，且存在b∈R使得1-amb∈L.但amb∈RaR⊆L，1∈L与L≠R矛盾，故有l(a)+aR=R，任意a∈R.又R是约化的，故R是强正则的.

推论2.13 (1)R是强正则的当且仅当R为GWCN MELT环，R有Abelian极大左理想，且R的每一个单奇异左模是GP-内射的.

(2)R是强正则的当且仅当R为GWCN MERT环，R有Abelian极大左理想，且R的每一个单奇异左模是GP-内射的.

命题2.14 设R是有Abelian极大左理想的GWCN环，那么R是强正则环当且仅当环R的极大左理想为广义弱理想，每个单左R-模是GP-内射的.

证明：(⟹)显然；

(⟸) 由假设及引理2.11，R为约化环，l(w)=r(w)=l(wm)，w∈R，m∈N*.若l(a)+Ra≠R，存在a∈R. 那么存在R的一个极大左理想M包含l(a)+Ra.那么R/M是GP-内射的，由命题2.12(2)⟹(1)证明可知，矛盾.因此l(a)+Ra=R，任意a∈R.故R是强正则的.

命题2.15 设R是有Abelian极大左理想的GWCN环，那么R是强正则环当且仅当环R的极大右理想为广义弱理想，每个单左R-模是GP-内射的.

证明：(⟹)显然；

(⟸) 由引理2.11知，R为约化环，l(w)=r(w)=l(wm)，w∈R，m∈N*.若l(a)+aR≠R，存在a∈R，那么存在R的一个极大右理想K包含l(a)+aR.l(a)+RaR⊆K，那么l(a)+RaR≠R.因此存在R的一个极大左理想L使得l(a)+RaR⊆L.假设RaR⊄K那么存在r∈R，s∈R，有ras∉K.则K+rasR=R，x+rast=1，存在x∈K,t∈R.由于K是广义弱理想，astr∈K，那么存在正整数n，r(astr)n∈K.因此有(1-x)n+1=(rast)n+1=r(astr)nast∈K.故有1∈K，矛盾.故l(a)+RaR⊆L，L为R的一个极大左理想.那么R/L是GP-内射的.由命题2.12中的(3)⟹(1)证明，矛盾.因此有l(a)+aR=R，任意a∈R.故R是正则的. 由R又是约化的，故环R是强正则环.

[1]RAMAMURTHIVS.Ontheinjectivityandflatnessofcertaincyclicmodules[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1975,48(1):21-25.

[2] DRAZIN P M. Rings with central idempotent or nilpotent elements[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1956,187:157-165.

[3] ZHOU Yin, WEI Junchao. Generalized weakly central reduced rings[J]. Turkish Journal of Mathematics, 2015,39:604-617.

[4] REGE M B. On von neumann regular rings and SF-rings[J]. Math. Japan, 1986,31(6):927-936.

[5] DU Cuizhen, WANG Long, WEI Junchao. On a generalization of semicommutative rings[J], Taiwanese Journal of Mathematics, 2007,11(5):1359-1368.

[6] BIRKENMEIER G F, KIM J Y, PARK J K. Principally quasi-baer rings[J]. Commu-nications in Algebra, 2001,29:639-660.

[7] HUNGERFORD T W. Algebra[M]. NewYork： springer-verlag, 1980：444-448.

[8] WEI Junchao, CHEN Jianhua. Nil-injective rings[J]. International Electronic Journal ofAlgebra, 2007,3:1-21.

[9] ROGER Y C M. On regular rings and artinian rings[J]. Rivista Di Matematica Della Universita Di Parma, 1985,11(4):101-109.

[10] ZHOU Haiyan. Left SF-rings and regular rings[J]. Communications in Algebra, 2007,35:3842-3850.

[11] ROGER Y C M. On V-rings and prime rings[J]. Journal of Algebra, 1980,62:13-20.

[12] YIN Xiaobin, WANG Rui, LI Xiaolong. The non-singularity and regularity of GP-V’-rings[J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2011,31(6):1003-1008.

[13] LI Xiaolong, WU Jun. On strong regularity of quasi ZI-rings[J]. Journal of Anhui Normal University(Natural Science), 2011,34(1):20-22.

[14] WANG Long, WEI Junchao, LI Libin. NZI rings[J]. Turkish Journal of Mathematics, 2013,37:781-792.

[15] AGAYEV N, HARMANCI A. On semicommutative modules and rings[J]. Kyungpook Mathematical Journal, 2007,47(1):21-30.

[16] WANG Long, WEI Junchao. Central semicommutative rings[J]. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2014,45(1):13-25.

[17] OZEN T. On a class of semicommutation rings[J]. Kyungpook Mathematical Journal, 2011,51(3):283-291.

[18] ZHOU Haiyan. Left SF-rings and regular rings[J]. Communications in Algebra, 2007,35:3842-3850.

On GWCN Rings

ZHANG Zi-heng, CHU Mao-quan

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

In this paper, we give some properties of GWCN rings and the relationships between GWCN rings and other special rings. The strong regularity of GWCN rings is studied. We mainly obtain that if R has an Abelian maximal left ideal and R is a GWCN ring, then R is strongly regular if and only if R is a left GP-V′-ring whose maximal essential left ideals are GW-ideals if and only if R is a left GP-V′-ring whose maximal essential right ideals are GW-ideals.

GWCN rings; reduced rings; weakly semicommutative rings; strong regular rings

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.06.005

2015-06-10

国家自然科学基金项目(11401009).

张子珩(1992-),女，硕士研究生，主要研究方向为代数学；通讯作者：储茂权，男，安徽岳西人，硕士生导师，研究方向为代数学.

张子珩，储茂权.GWCN环的若干性质[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2016，39(6)：530-534.

O153.3

A

1001-2443(2016)06-0530-05