数学误解的元话语与应对要义

朱小平

（扬州市梅岭小学，江苏 扬州 225002）

数学是学生感觉到较难、问题较多的一门学科。数学教学除了讲解必要的知识给学生听，更重要的是尽可能地解决学生所遭遇的困惑与错误，从而为其掌握更多的知识提供智慧支持。尽管错误难以避免，但我们仍然希望通过教学的改进和儿童自身的努力来减少错误，以增强学生学好数学的信心和能力。根据我们的访谈发现，多数学生所犯数学错误主要有两种：一种是根本不会解答题目，纯属瞎做而出错；另一种则是会解答题目，只是因误会或失误才导致出错。前者多与题目难度偏高或学生学业水平偏低有关，后者多因误解而起，且具有极高的研究价值和现实意义。

一、数学误解的元话语

（一）基本含义

数学误解，从广义层面讲，指错误的数学解法和数学理解；从狭义层面讲，专指存在误会或失误的数学解法和数学理解。

我们认为，数学误解主要指儿童对数学知识的理解和数学问题的判断有偏差、误会或失误，由此而导致了对实际问题的错误解法。数学误解属于数学错误的一种，但数学错误未必都是由数学误解而引起。

研究数学误解，可以更好地认识和肯定数学错误的价值，学生面对知识或问题时，由于某种误解的存在，最终没有选择某种正确方式，也就产生了错误。在一定程度上讲，“数学误解”的提法可能比“数学错误”更具有积极意义。因为“数学错误”的提法可能会使教师单方面认为是儿童自身的原因才导致了数学学习中错误的存在；而“数学误解”则时刻提醒我们，要认识到消除误解是师生双方都要努力沟通的事实，更重要的是能够加深学生对知识的理解和端正教师对待学生错误的态度。

（二）常见类型

1.按照误解程度的深浅，数学误解可以分为迷思类误解和失误类误解两种。前者表现为需要有他人的点拨并伴以深入的剖析和思考，具有时间长久、反复发生的特点；后者表现为误认、误读、误判、误算，具有时间短暂、事后自明的特点。

2.按照误解涉及的层面，数学误解可以分为语言类误解和思维类误解。对数学的学习不仅是对问题解决的思维训练与学习，还包括对数学这一特殊的语言形式的学习,即包括对数学语言的识别、理解和语义转换。儿童对一些字词的理解偏差导致误解的产生属于语言类误解。思维类误解多与思维品质、习惯、方法有关，如思维不严谨，思维定式等。

3.按照误解发生的元素，数学误解可以分为技能型误解、计算型误解、概念型误解和问题解决型误解等四种类型。如“学生利用量角器度量(画)45°的角，误把135°的角量（画）成45°的角”属于技能型误解；数学错误“4×25÷4×25=100÷100=1”和“1450-450÷25×18=1000÷25×18=40×18=720”均属于计算型误解；把“半圆的周长”等同于“圆周长的一半”属于概念型误解；学生解决实际问题“小明和小红一共有150张邮票。如果小明给小红8张邮票，两人邮票张数就一样多。小红原来有多少张邮票?”错误列式为“（150-8）÷2”则属于问题解决型误解。

（三）形成原因

1.学生自身学习方面

（1）表现在数学学习的专注程度上。在物质丰富、娱乐盛行的社会背景下，尽管教师以富有童趣的活动形式向儿童展现数学本身的魅力，但仍有不足以吸引学生的眼球和注意力的时候。有些儿童由于缺少良好的学习习惯和态度，时常处于“一心二用”“粗略读题”“草率思考”的状态之中，“道听途说”“挂一漏万”“误读、误判、误算”的情况时有发生。

（2）表现在处理问题的方法使用上。在学习数学知识的进程中，由于心理表象的缺失或片面，基础图式的缺乏或不当，代表性经验推理的不足，儿童容易对概念做不适宜的推广，对结论做随意性扩展，对方法做不恰当的迁移。[1]事实表明，儿童听出的“弦外之音”和想出的“题外之意”多有误解。

（3）表现在应对问题的思维倾向上。儿童在思考数学问题时，由于过去的学习心理倾向带来思维的单向性和恋旧性，不自觉地在过于限制的领域建立数学联系，或者出于对某种数学形式的偏好而忽略了其对立的形式等。如因为353＞36，而误认为3.53＞3.6，即小数位数多数值就大。

2.教师现场教学方面

（1）缺少传承与超越教材的课程意识与实施能力。目前，绝大多数教师完全忠实于教材机械执行与直接照搬是不争的事实。一套教材的编制熔铸了诸多教育专家和优秀教师的心血和智慧，固然值得“拿来”使用，但教材中提供的多是具有代表性的典型实例，学生由于缺少对更多例子的了解，难免会形成片面的数学认识和误解。如学生认识梯形容易产生的误解就有两个：一是认为梯形中“正着的”和“有直角的”是梯形，而“歪着的”不是梯形；二是误以为相互平行的那组对边，短边是上底，长边是下底。

（2）缺少指导儿童数学思维的对话意识与沟通能力。对话有助于消除分歧、克服偏见、达成共识。但是在课堂教学中，教师如果只是满足于点对点的对话，持守单项、线性的知识灌输倾向，不改变儿童学习被动、消极的知识接受状态，那么，藏在儿童思想深处的数学误解就难以得到显现、消解和清除。误解之误解，绝不会“负负得正”般变为正确，只能愈加地偏离数学的正确与完整。唯有通过对话，学生方能对所学知识去芜存菁，进行正确的理解和内化，赋予知识以个体意义，从而获得思想的启迪和观念的解放。

二、数学误解的应对要义

蒙田曾经说过，“名师高瞻远瞩，其高明处就是俯就少年的步伐，指导他前进”[2]。为帮助儿童解决知识学习上的问题，帮助其形成解决学习问题的正确思路，我们既要强化学生自我教育的观念，又要改进自己的教学行为，并提高教学活动的针对性。

（一）对成长中的儿童进行学习方法的详细指导

“读书有三到，谓心到，眼到，口到。三到之中，心到最急，心既到矣，眼口岂不到乎？”

——南宋教育家朱熹

当前，尤其需要对学生进行如何“认真听讲”和“仔细读题”两方面的学习指导，做到“听讲合一，读思结合”，从而提高学生数学学习的质量，有效预防数学误解的无端产生。

“认真听讲”方面的指导主要包括：（1）既要听，还要讲。杜绝不听不讲，倡导既听又讲，鼓励认真听，主动讲。要求每个人每周至少发言一次。（2）认真听，不只是听教师讲话内容，还要听取同学的发言内容。听的过程要分析和筛选信息，努力听出关键和重点所在。（3）主动讲，指及时讲出自己的疑惑与异议，以及独到的想法和解题思路。

“仔细读题”方面的指导主要包括：（1）每题读三遍，忌只读一遍或者跳读全题；（2）读第一遍，要细读全题并了解大概意思；（3）读第二遍锁定关键词、关键句，边读边想，并关注前后单位名称是否一致；（4）读第三遍再次锁定关键词、关键句，进一步理清数量之间的关系，并确认解题思路；（5）对于熟悉的题目，可以两遍完成原先读三遍的任务，对于陌生的、有难度的题目，需要在运用解决问题的策略分析题目的同时，不断地回到题目边读题边思考。

（二）以整体视角解读、演绎和丰盈数学课程内容

“知识只有成为整体状态的时候，特别是对儿童的个体有整体意义的时候，它才呈现出其‘生命’。”[3]

——华南师范大学教授郭思乐

整体视角主要指整体观照典型实例与非典型实例、知识的背景与背景中的知识进行科学而完整的教学，使儿童所掌握的基础知识基础性能强、概括程度高。毋庸置疑，对新材料学习的适应性越广泛，认识就越全面，迁移能力就越强，所产生的误解也就越少。

1.以典型实例启蒙，运用变式凸显本质

学生运用表象的方式，常常首先以典型的例子为工具，进而将典型的例子作为普遍的、一般化的结论推广使用。为此，运用变式丰富典型实例的数量，可以凸显知识的本质，获得理性的认识。比如上文中提及的关于梯形的认识时，除了上底与下底的长度进行变式外，还要在梯形的身子“正”与“歪”方面进行变式，以丰富心理表象，强化图形的本质特征与属性，是“只有一组对边平行的四边形”，至于这个四边形是不是上小下大，身子是不是端端正正的，无关紧要。

再比如，认识平行四边形的高时，教材提示语为“从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底”，学生结合插图对照理解提示语，会认知聚焦“从顶点处向下画的垂直线段为高”，同时隐藏两个误解，即“从顶点处画出的垂直线段才是高，从其他的点画出的垂直线段不是高”和“从一个顶点出发，只能画一条高”。为此，学生完成基本练习后，待时机成熟教师需要说明清楚：不指定点画高，平行四边形有无数条高；指定过顶点画高，平行四边形有两条高；过一条边上的点（不包括两端出的点），只能画一条高。同时，呈现各自对应的图像，形成完整的数学表象。

2.放大认知活动背景，悟得知识真义

有经验的教师都知道，如果只是让学生阅读教材或听取教师讲解“a2读作a的平方，表示2个a相乘，即a×a，不表示2乘a”，也就是认知活动的背景仅是局限于a2与2a的比较的话，仍然会有不少学生误认为a2等同于a×2。其实，对学生而言，数学学习困难之一就是出现的数字不参与运算，没有出现的数字却要参与运算。“a的平方”中没有提及数字2，这无形之中就增强了理解的难度。为此，我们可以改变a2的表述形式，即a2读作a的2次方，表示a×a。同时，介绍a3的读法和意义，并让学生推测a4的读法和意义，从而达到整体感知、悟得真义的教学目的。学生由于先前获得了关于a的几次方的整体意义，进入练习环节后把a2与2a再比较，能有效地区分二者的意义，避免了对a2产生歧义。

在复习课中，有时也需要放大认知活动背景，将知识彼此融会贯通。比如，复习等式的性质，除了指向含有未知数的等式，还应指向纯数字的等式。以“5×6=3×10”为例，引出“5×6+16=3×10+16、5×6－5=3×10－5、5×6×2=3×10×2、5×6÷2=3×10÷2”，建立起两类等式的实质性联系，加深了对等式的性质的本质理解，防止学生误认为等式的性质仅适用于含有未知数的等式。

3.紧扣思维方法，形成数学策略性经验

众所周知，问题解决的关键在于能不能找到合适的解题策略。在解决问题过程中，有意识地积累和提升策略性经验，形成稳定的分析和解决问题的操作框架，可以避免学生的数学思维出现生搬硬套、误判误用的情况。

比如，五年级《解决问题的策略——转化》中例2的教学，教师一般都会在学生尝试计算和观察算式特点之后，把思考引向通过数形结合将计算转化为计算，进而追问如何计算。若是对后两道算式的计算学生不再通过画图体验转化的思维过程，仅仅是观察算式进行推想的话，学生则会自行强化并形成结论性经验“1减去最后一个分数”。当遇到计算时，绝大多数学生都误以为可以转化成，而事实却并非如此。为此，在完成上述变式练习后可以进行二次变式练习，即计算和，通过画图发现以及，紧扣思维方法“数形结合”，积累和形成数学策略性经验“用整体1减去空白部分的分数进行转化”。

（三）创造指向众多儿童数学误解的话语圈教学

“教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么却更是千百倍的重要。”

——数学教育家波利亚

在日常数学课堂中，话语圈的形成和维持常有相对固定的人员和既定的内容。参与话语圈的人员多为表现欲强、思维敏捷、口齿伶俐的儿童；话语圈的内容多为教材中写明的知识和技能。话语圈外的儿童，往往不会主动自述误解。鉴于此，教学反馈覆盖面要广，及时地把圈外的儿童和误解拉入到话语圈中来。

1.探寻根源，釜底抽薪

误解的根源多为认识有误区、思维有定式、经验有局限、方法有缺陷等，我们在其根源的判断和纠偏上多下功夫，针对数学观念、思维方式、活动经验、思考方法等方面的改变施加影响，达到标本兼治的干预效果。

比如，在一次质量调研中，我们发现班级中有二十几名学生口算，误以为不可以化简。从表面看，这些学生是缺少一定的数感和观察能力，他们没有发现69是23的3倍。但深入调查和分析之后发现，产生误解的根源是学生业已形成的数学观念“可以化简的分数，其分子是合数”起到了决定性的影响，很显然，这一数学观念是片面的认识。为此，“可以化简的分数长什么样子”成了话语圈教学的议题。

又如，有学生误以为4×0=4，4÷0=4，这是怎么回事儿呢？将该学生的想法纳入到话语圈后，大家怎么猜也猜不出为何有如此想法。最后，由他自己揭开谜团。原来他由“4+0=4，4-0=4”运算意义的解释“4+0表示4没有加一个数，4-0表示没有减去一个数”，进而推想出“4×0表示4没有乘一个数，4÷0表示4没有除以一个数，结果自然还是它自己本身”。显然，造成误解的原因是基础图式的缺乏或理解不当。加法的意义和乘法的意义才是正确的基础图式，基于此理解“4×0表示4个0相加和4÷0的商不唯一，故不做讨论”成为可能。

2.加强对比，固本强枝

儿童学习数学感到最为头痛的是那些样子长得差不多的数学知识和数学问题。下面以解决问题为例，谈谈如何加强对比，消除学生对问题的性质和结构的误解。

比如，对于题目“一堆桃子有10个，一共重8千克，平均分给5只小猴。每只小猴分到多少个桃子？每只小猴分到多少千克桃子？”的讲评，话语圈教学的三次对比：一是比较解决两个问题的相同之处，即都是求具体的数量，都是用总数量除以份数得到每份的数量；二是补充问题“每只小猴分到这堆桃子的几分之几”，让学生解答之后说出具体思路，即问题是求分率，是用总分率1除以份数5得到每份的分率；三是把补充问题“每只小猴分到这堆桃子的几分之几”改为“1只小猴分到8千克桃子的几分之几”和“1只小猴分到10个桃子的几分之几”。让学生再次分析和思考，并比较三个问题的相同之处，即表述形式不同，但都是求1份对应的分率，都是用总分率1除以份数5得到每份的分率。学生历经三次话语圈议题的比较和交流，丰富了对问题的表征经验，强化了对问题性质的识别，巩固了关于解决求具体数量和求分率这两类实际问题的正确理解。

诚如蒙田所言：“人是会犯错误的，这一点至少让我们在改变看法时更加谨慎克制。我们应该记住，不管理解了什么，常会理解到一些错误的东西，它们同样是通过这些时常会自相矛盾和迷误的心灵做出的。”[4]数学误解总是产生于特定的时间、特定的空间和特定的情境之中。事不避难，知难不难。为扭转误解频出的局面，让儿童学习数学的心情好起来，我们在找准误解根源进行定点清除的同时，尤其需要以整体视角审视教学的设计与实施，因为有效预防数学误解的发生远比消除已经发生的误解更为重要！▲

[1]郜舒竹,薛涟霞.学生错误研究之文献综述[J].数学教育学报，2009(1):75-78.

[2]蒙田.蒙田随笔全集：第1卷[M].马振骋,译.北京:中国华侨出版社,2009:135.

[3]郭思乐.知识过程的生长本质：小立课程的关键[J].课程·教材·教法，2004(1):3-9.

[4]蒙田.蒙田随笔全集：第2卷[M].马振骋,译.北京:中国华侨出版社,2009:224.