基于最小二乘法的单摆实验数据处理

2016-01-27刁山菊张季谦

安庆师范大学学报(自然科学版) 2015年1期

关键词：最小二乘法

王　鹏，刁山菊，张季谦

(1. 江苏省句容市第三中学，江苏句容 212400 ;2. 安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖 241000)

基于最小二乘法的单摆实验数据处理

王鹏1，刁山菊1，张季谦2

(1. 江苏省句容市第三中学，江苏句容 212400 ;2. 安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖 241000)

摘要：结合单摆实验实测数据，运用origin作图软件建立数学模型和相关系数检验，采用最小二乘法计算南京地区的重力加速度，并与平均值法与逐差法进行数据处理比较。实验计算结果表明，利用最小二乘法计算重力加速度准确可靠，误差仅为0.028%。上述方法也可很好地应用于基础物理实验中其它线性关系变量试验数据的分析与处理过程。

关键词：最小二乘法；单摆实验；重力加速度；线性拟合

重力加速度的测量是基础物理实验中一个重要的力学实验[1, 2]。近年来，一些物理实验教学工作者已经对此实验进行了深入的研究，包括实验装置的改进与智能化[3-8]、实验方法的优化与创新[9-13]、数据的信息化处理[14, 15]与误差分析[16,17]等。然而，目前关于利用最小二乘法原理处理单摆实验数据，计算重力加速度的研究未见报道。基于单摆实验实测数据，运用Origin作图软件建立数学模型和相关系数检验[18]，采用最小二乘法的线性拟合计算南京地区的重力加速度，并与平均值法与逐差法进行数据处理比较。

1实验原理

1.1　单摆模型

一根不可伸长且质量不计的细线下端悬挂一个小球，上端固定。当小球的直径远小于细线的长度时，可把小球看作是一个质点。如果把悬挂的小球自平衡位置拉至一边保持摆角θ<5°，小球可在平衡位置附近作周期性摆动，即简谐振动。这种装置称为单摆，如图1所示。

1.2　最小二乘法原理

已知两变量为线性关系y=kx+b，实验获得其n组含有误差的数据(xi,yi)。若将这n组数据代入方程求解，则k， b 之值无确定解。最小二乘法提供了一个求解的方法，其基本思想是拟合出一条“最接近”这n个点的直线。在这条拟合的直线上，各点相应的y 值与测量值对应纵坐标值之偏差的平方和最小。根据统计理论，参数k和b计算公式[19]

(1)

(2)

1.3　相关系数γ

相关系数γ表示数据(xi,yi)相互联系的密切程度，以及拟合所得的线性方程的可靠程度。γ的计算公式如下[19]

(3)

其中，γ的值在- 1~ + 1 之间。γ的绝对值越接近1, 表明(xi,yi)相互联系越密切, 线性方程的可靠程度越高，线性越好。

2最小二乘法拟合单摆实测数据

当单摆的线长L从50cm以10cm为步长增加到120cm时，分别测量出每根摆线长对应的单摆摆动时间t。其中，基于计算简便，本实验的有效摆长直接采用摆线长L，没有再加上小球的半径D/2。同时，注意保证摆球速度方向和重力方向的共面，防止出现圆锥摆运动。为了减小计时误差，单摆周期T测量采用平衡位置开始计时，且多周期测量取平均值。每次摆动测量取N=40个周期T，实验数据如表1所示。

表1　摆角时单摆线长L与单摆摆动时间t

本实验中有一点值得注意：L与t2的关系满足正比例函数y=kx，因此如果实验测量准确，(t2,L)图像应该是一条通过坐标原点的直线。但最小二乘法线性拟合出的结果存在一个截距，且散点图左移而不通过坐标原点，原因是我们采用的是单摆的摆线长L，而不是单摆的有效摆长L+D/2。这种处理对斜率计算结果不会造成影响，由斜率求得的重力加速度g仍准确可靠。

3最小二乘法与平均值法、逐差法的数据处理比较

3.1　基于平均值法的g值数据处理

3.2　基于逐差法的g值数据处理

若两变量满足线性关系y=kx，通过逐差法分析与处理M组实测数据(xi,yi)拟合出线性函数方程时，无误差自变量x以等步长d值递增，即xi+1-xi=d，拟合是在y方向进行，且M=2m是偶数。根据统计理论，直线斜率K值的拟合公式[20]

(4)

3.3　三种数据处理方法的结果比较

从表2中可以看出，最小二乘法处理实测数据，计算重力加速度g值更加接近理论值g=9.794 9m·s-2，相对误差较小，具有较高的准确性，且符合严格的统计理论。逐差法产生的误差较大，是因为实验数据的取样个数对处理结果会产生极大影响。

表2　三种数据处理方法的g，Δg及相对误差E值

然而，从数据处理的过程来看，利用最小二乘法及逐差法进行数据处理，较为繁琐与费时，手工计算量大。因此，可以结合计算机编程软件，如FORTRAN 语言与C语言，将最小二乘法编写出计算机程序，进而实现数据处理信息化，这也是我们下一步工作的方向。

4结束语

在基础物理实验的数据处理中，直线拟合是一个极其重要的数据处理手段。采用线性回归分析与最小二乘法，对单摆实验的数据进行线性拟合处理，并与教材使用的平均值法和逐差法处理实验数据进行比较。通过图像斜率，计算了南京当地的重力加速度，相对误差约为0.028%。利用这种方法和原理，可以有效地提高数据处理的准确性，在线性关系变量的实际求解中有着极其重要的作用。

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