浅析高考数学中有关递推数列的问题研究

赵玲燕

【摘要】对于任何学科知识的学习来说，除了掌握必要的基础知识之外，还需要具有一定的学习思维和解题方法。高中数学相对于其它学科来说，难度系数较大，学生学起来感觉有些吃力，有的时候感觉基础知识和教材案例都掌握的非常好了，但是遇到问题之后还是表现的有些恐慌，甚至找不到解题的思路和切入口。在每年的高考中，牵扯的内容较多，其中不乏数列知识，在题型的设计上有选择题、填空题也有探究性的大题，所占分值也不低。本文中，笔者通过文献研究，分析了近几年的高考数学题，以递推数列的考试内容为例，分析和探究了有关递推数列的解法问题，希望能对高中数学的教学发展和学生解题思维的提升起到一定的促进作用。

【关键词】 高考数学  递推数列  解题思维  解题方法  学生发展

【中图分类号】G633.6                           【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2015）11-0221-02

高考数学试题每年都是不一样的，但是所谓的“换汤不换药”，在总结历年的数学考题中，我们发现很多的问题解答在方法上和切入点的突破上具有一定的相通性。针对数列知识牵扯到的对数列递推公式的考查内容来说，翻阅高考数学试卷可以看出既是考试的热点，又是考察的重点和难点，必须让学生子啊掌握基础知识的同时，提升自身的解题思维和解题能力，这样才能以不变应万变，提升解题效率和正确率。本文中，笔者运用化归思想，构造新等差、等比数列，例谈几类递推数列通项的具体模型，希望能对数学问题的解答提供一些建设性的意见和启迪。

一、 型

形如  （为常数且）的数列，求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定系数法，通过化归，转化为新的等比数列，最后结合新等比数列的公式或性质来求解与转化。

经典案例：已知，求数列的通项公式。

解题过程：设，所以，

所以，即，所以数列是以

为首项，以3为公比的等比数列，即所

以 。

【解题思维评析】根据的线性关系，把所求数列通项问题转化为求与其相关的新的等比数列问题，由于观察、分析角度不同，因此解答此类问题方法各异。这里采用待定系数法可收到化难为易之功效。

二、型

形如的数列，求解此类数列的通项公式一般先通过变形为，再利用累加法 …，代入相应的关系式，再加以合理分析与求解。

经典案例：已知，求数列的通项公式。

解题过程：由于，

将上面个式子相加，得，

所以 ：

【解题思维评析】在运用累加法时，等式的左边相加后只剩 ，等式的右边一般是等差或等比的前n—l项和一般给出或很易求得。所以此法求通项较容易，但要看清项数，这是累加法易错的地方，要引起重视。

三、型

形如的数列，求解此数列的通项公式一般先把原递推公式转化为，利用累乘法

·代入相应的关系式，再加以合理分析与求解。

经典案例： 已知数列满足求·

解题过程：由条件知，

分别令 ，代人上式得（n一1）个等式累乘之，

即所以，又因为

，所以。

【解题思维评析】 在运用累乘法时，关键是正确处理累乘时等式右边中对应的等式的运算与化简。同时，和累加法一样，要看清数列对应的项数，计算时数列的项数问题最容易出错，要引起高度重视。

四、型

形如的数列，求解此数列的通项公式一般也可采用待定系数法，通过设定参数，转化为新的数列如的问题，再化归为相应的等比数列来求解与处理。

经典案例： 已知，求数列的通项公式。

解题过程：设，所以，所以，

所以数列是以3为首项3为公比的等比数列，所以 。

【解题思维评析】认真观察、分析已知的递推关系，逐渐将一个生疏问题转化为熟悉问题，通过待定系数法，把陌生的数列问题巧妙化归为等比数列，运用等比数列通项的求法求解，可谓“丝丝入扣”。

五、型

形如的数列，求解此数列的通项公式一般也是通过待定系数法，巧妙找出相应的递推关系式，转化为问题，最后再化归为相应的等比数列来处理

经典案例： 已知数列中，求。

解题过程：令，易求

，

所以是公比为3的等比数列，其首项为，所以

，故。

【解题思维评析】根据题设特征恰当地构造辅助数列，通过待定系数法，利用基本数列可简捷地求出通项公式。解答本题的关键是如何想到找到正确的的值，合理构造相应的等比数列，从而解决问题。

小结：本文通过具体事例，构造了五种数列模型，将原问题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。

数列知识和问题的考察成为高考数学考试内容经常牵扯的知识点，无论是从分值、数量还是难度上都有所提升。在高考数学数列知识的考察中，对数列递推公式的考查已成为热点，考试的频率较高，但用递推数列求数列通项有着很强的灵活性，导致很多的学生遇到问题之后就无从下手，找不到解答问题的切入点，使得学生在考试中不能稳定的发挥，导致学生情绪紧张慌乱，降低了解题效率和正确率，出现成绩不理想的情况。实践证明，提升学生解决此类问题的能力并不难，当我们接触的问题难以人手时，思维就不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉、比较容易解決的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。一般来说，在牵扯到由递推数列求通项公式的问题中，解决的方法一般分为2种：第一种就是采用先归纳猜想，再用数学归纳法证明的方法来解决问题;第二种就是通过构造等差数列或等比数列，运用等差或等比数列的相关性质解答问题。因为等差数列和等比数列是两类最基本的数列，学生比较熟悉，也能理解。所以，当学生遇到陌生的递推关系式时，可以通过等价变形，化为熟悉的递推关系式，再化为等差或等比数列，进而通过问题的转换来解决问题。教学中引领学生在解题中感悟、运用化归思想构造基本解题模型，对学生学习数学、发展能力和促进素质教育都是至关重要的，学生的创新精神也会在挖掘隐性关系过程中得到良好的培养。

数学知识根源于生活，是生活常识的抽象化总结。数学模型就是实现了抽象的数学理论和生活数学的有机结合，架起了一座桥梁，通过知识和问题的转化，提升了解题的效率，这也是未来数学教学和考察的趋势所在。它利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。运用递推式解决数学问题，对开发学生数学思维、培养其数学应用能力有积极的作用，利用递推式建模，将对我们的数学教学有极大的帮助。

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