应对“大转型”政策的高等数学分类教学模式的统计定量研究

徐勇

摘  要：本文首先通过统计调查并结合层次分析法得到高校各代表性专业与高等数学主要知识点之间的关联指标;继而在关联指标表的基础上，对这些专业进行聚类分析;最后利用判别分析法，求得判别函数群，从而方便对专业进行科学的分类。该方法摒弃了过去类似分类问题中分类标准不明晰，分类过程不细致，分类方法不科学的缺陷，提出了严格的定量分析结果，使分类更具科学性和说服力。

关键词：高等数学;分类教学模式;统计定量研究

注：本文受到湖北省教育厅科技处科学研究计划资助项目“应对”大转型“政策的高等数学分类教学模式的统计定量研究”（项目编号：B2015058）和湖北省教育厅思政处青年项目“高校”大转型“背景下的高等数学分类教学模式的定量研究”（项目编号：15Q163）的资助。

一、引言

目前的高等数学分类教学改革归结起来大致方针是按理工、财经类等学科划分的分类教学。主要以专业特色和培养目标的考量为主。但没有考虑同一科类众多专业人才培养对公共数学的不同需求， 而且分类趋于粗放，不够细致严谨。这种分类更侧重于定性分析，而缺少定量分析。当专业特征区别很大时，分类的正确性尚能保证，当专业间特征区别不够明显时，这种定性分析显然确少说服力和明晰的判别标准。

基于上述研究现状，我们提出一种对该问题实现定量研究的思路。其核心思想可以分为三个模块。模块一：获取高校各专业与高等数学各知识点的关联指标表（需求度表）。模块二：在关联指标表的基础上，对这些专业进行基于样本的聚类分析，通过对聚类结果的分析，得到最佳的分类模式和具体的分类结果。模块三：利用判别分析法，求得决定上述分类模式的判别函数群，通过对现有的分类结果的再检验来确定判别函数群的有效性。

二、获取高校各专业与高等数学各知识点的关联指标表

步骤1：确定每个专业中能对本项目调查问题有发言权的三大群体，并由层次分析法得到三个群体的权重。这里的三大群体第一类是社会企事业单位与该专业对口的职业人群;第二类是高等院校从事该专业教学的教师;第三类是该专业已学习了高等数学和专业课程的高年级学生。以三个群体为方案层进行层次分析。层次分析法的进行可以描述如下：

首先按照问卷调查的结果构造各准则相对于目标层的两两对比矩阵如下：            以及方案层各元素相对于各准则的两两对比矩阵如下：

接着，利用上述两两对比矩阵并结合软件Matlab计算矩阵

A的特征值和特征向量，从而得到三个准则相对于目标的权重组成的权向量，即w（1）=（0.166，0.166，0.668）。同理可以得到三个方案分别相对于每个准则的权向量，即w1（2）=（0.595，0.277，0.129），w2（2）=（0.082，0.236，0.682）以及w3（2）=（0.429，0.429，0.142）。根据层次分析法原理，方案层各元素（职业人、教师和学生）占目标的权重应为上述两层权重结果的组合权重值，这样我们就得到了职业人、教师和学生在打分问题上的权重。

步骤2：在完成了步骤1之后，我们就可以针对具体专业（如金融专业）就各知识点关联度进行各群体打分，最后利用上面得到的权重进行整合。得到如表一所示：

表一：金融专业各群体对六知识点需求度打分的均值表

接下来只需利用步骤1中各群体占打分的权重便可计算金融专业就这六个知识点的打分情况，如表二所示：

表二：金融专业对六知识点需求度打分的总表

注意其中知识点1的需求度5.14是三个群体打分5，6，4再结合各自打分的权重组合计算得到的，其它数值类似产生。

步骤3：将需要纳入分析的专业按照步骤2的方法一一得到对上述六知识点需求度的总表，将它们合成一个总表。得到的总表如表三所示：

表三：10专业对六知识点需求度打分的总表汇总

三、利用各专业对知识点需求度实现专业的分类

由于数据较多，层次不明晰，很难直接归类。这里我们采取SPSS中的系统聚类分析方法，将10个专业作为10个样本，得到所有分类结果的树状图，如图1所示：

图1：10个专业按知识点需求度总表进行的系统聚类

从图中来看专业1，专业5和专业7之间距离很短，它们很自然地归为一类。同理，专业4，专业8和专业3归为一类。相应地，专业2，专业6，专业9和专业10归为一类。当形成这三小类时，若还想继续合并为两类，将是这三小类中的后两小类先进行合并。从图中显示的距离可以直观地看到，10个专业合成

3类比较理想，而合为2类则比较牵强。所以就这10个专业而言，实际上应分为3类。这样我们就实现了专业科学的分类。

四、利用分类结果生成分类器

上述分类只是对部分专业进行，根据不同时期的需要，对于一些新产生的专业或者未被纳入此分类过程的专业，如何知道它们会归入到其中的哪一类呢？打个比方，若已对10个专业分为了3类，现又得到了5个新专业对各知识点的需求度结果，那么如何将这5个待定的专业进行分类呢？一种直接的方式是将这5个与之前10个专业混合，重新进行上述分类过程。但这种方式显然部分重复了对分类相关的计算，这种重复工作无疑是希望避免的。相比之下更为理想的方式是在上述分类结果的基础上建立某种判别体系，形成能实施分类行为的机制，一旦有新的样本加入到分类，可以很快实现新样本的归类。带着这一目的，我们借助判别分析这一方法。

在上述的分类问题中，最终专业1，专业5和专业7是一类记为第一类;专业4，专业8和专业3归为一类，记为第二类;专业2，专业6，专业9和专业10作为第三类。以此情况为基础，利用判别分析，建立三类的判别函数。根据贝叶斯判别法的思想，我们在判别分析中可以为每一类找到一个对应的判别函数，然后将新的样本带到每个判别函数中，最大的判别函数值对应的类就是新样本应归属的类。判别函数的建立实际上就是基于各专业对不同知识点的需求度和所属类别这些信息的。例如对于第一类，其判别函数表达式被找到，表达式为：y=1671.

807x1+6503.746 x2-207.756 x3-639.185x4+4617.898x5+271.05x6

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得到了这些判别函数之后，我们只需要将新的样本（专业）对应的所有6个需求度数值代入这三个判别函数，哪个函数值大，就代表新样本属于哪一类。从这个角度而言，这三个判别函数起到了分类器的作用。对于新样本不需重新进行聚类分析就能得到其归属的类别。当然，这些用来判别归属的函数是不是性能有保证呢，或者说判别函数的准确性如何验证呢？只需将根据判别函数得到的已知样本的归类结果与它们实际所属的类别进行对比便可看出这些判别函数对样本预测类别的行为是否准确。

结语：本文利用了定量分析的方法，对当前“大转型”背景下高等数学分类教学的问题进行了深入探讨。在明确了各专业对高等数学知识点的需求度结果之后，我们采用聚类分析和判别分析的方法，对各专业进行了基于知识点需求度的分类，并构造了分类器，方便不同专业的归类，为新时期高等数学教学改革提供了新的思路。

参考文献：

[1] 董四辉，宿博 层次分析法的改进方法在煤矿安全评价中的应用J辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 2012（05）

[2] 孙荣平   成绩统计分析中的数据预处理研究 J黑龙江教育（高教研究与评估） 2006（09）