矢量分析与场论课程的MatLab可视化教学实践

肖汉光+宋涛+邹雪

摘要：“矢量分析与场论”是理工本科专业的重要基础课程，该课程的主要特征是抽象、难教和难学。为此，在教学过程中利用MatLab进行矢量分析的可视化教学，使课程更加生动具体，激发了学生的学习兴趣，取得了良好的教学效果，值得推广。

关键词：矢量分析;场论;可视化教学;MatLab

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）20-0146-02

“矢量分析与场论”课程是理工科（如电子、电气、信息、自动化等专业）本科生必修的一门重要的专业基础课。该门课程是其他核心课程的前续课程，如物理场论、电磁场与电磁波、波导理论、电磁兼容、电机学等重要专业课，所以该门课程掌握的好坏直接关系到核心专业知识的学习。因此，如何教好和学好这门课程显得尤为重要。

由于该课程概念抽象、理论性强、数学能力要求高，所以教与学都有较大难度。为此，笔者将MatLab应用到该门课程的教学过程中，使教学内容变得生动、具体，使学生产生浓厚的学习兴趣，取得了良好的教学效果。

一、矢量运算

矢量运算是该门课程的基础，其教学较为容易，但部分学生计算时常常出错，利用MatLab的矢量计算函数可以方便地进行矢量计算，帮助检验计算结果，同时可以帮助观察和理解矢量运算。例如，求矢量■=（1，2，3），■=（1，1，1），■=（2，1，3）的矢量运算。

代码如下：

A=[1 2 3];B=[1，1，1];C=[2，1，3];

A+B;%矢量相加

A-B;%矢量相减

dot（A，B）;% ■·■，点积或标积

cross（A，B）;% ■×■叉积或矢积

dot（A，cross（B，C））;% ■·（■×■）标量三重积

cross（cross（A，B），C）;% ■×■×■矢量三重积

norm（A，2）% |■| 求模

A./norm（A，2）% ■■求单位矢量

在计算结果的基础上，利用quiver3可绘出矢量图形，如图1所示为以上代码计算结果的空间可视化图形，便于学生理解叉积等难掌握的新知识。

二、梯度、散度和旋度的计算

利用MatLab的符号运算功能，学生可对梯度、散度、旋度等微分算子进行符号计算。标量场的梯度可利用gradient函数，例如：计算三维标量场

f（x，y，z）xe■的梯度，则MatLab代码为：

syms x y z

f = x .* exp（-x.^2 - y.^2- z.^2）

g=gradient（f，[x，y，z]）;

%绘制梯度场

[X，Y，Z]=meshgrid（-1∶.1∶1，-1∶.1∶1，-1∶

.1∶1）;

G1=subs（g（1），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G2=subs（g（2），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G3=subs（g（3），[x y z]，{X，Y，Z}）;

quiver3（X，Y，Z，G1，G2，G3）

利用quiver3函数可以绘出三维矢量场，上述三维标量场的梯度场如图2所示。

矢量场的散度和旋度可利用diff函数，例如：计算三维矢量场的■（x，y，z）=（x+y+z■）■x+（x■y）■■+2yz■■散度和旋度，则MatLab代码为：

syms x y z

F=[x+y+z^2，x^2*y，2*z];

divF=diff（F（1），x）+diff（F（2），y）+diff（F（3），z）;

rotF=diff（F（3），y）-diff（F（2），z），diff（F（1），z）-diff（F（3），x），diff（F（2），x）-diff（F（1），y）];

%绘制散度场

[X，Y，Z]=meshgrid（-1.2∶.2∶1.2，-1∶.2∶1，-1∶.2∶1）;

V=subs（divF，[x y z]，{X，Y，Z}）;

slice（X，Y，Z，V，[-1 0 1]，0.2，[-.8]）

shading interp

%绘制旋度场

figure

G1=subs（rotF（1），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G2=subs（rotF（2），[x y z]，{X，Y，Z}）;

G3=subs（rotF（3），[x y z]，{X，Y，Z}）;

quiver3（X，Y，Z，G1，G2，G3）

该三维矢量场的散度场和旋度场如图3和图4所示。

三、等值线和场线的绘图

对于二维的标量场，可以利用mesh函数绘制分布图，图5为f（x，y，z）=xe■的标量场分布。

其代码为：

[x，y]=meshgrid（-2∶.1∶2，-1∶.05∶1）;

z=x.*exp（-x.^2-y.^2）;

mesh（x，y，z）;

对于三维的标量场，可以利用切片函数slice绘制分布图，如图3所示，其代码为：

slice（X，Y，Z，V，[-.5 0 0.5]，0.2，[-.8]）;

二维标量场的等值线可利用contour函数绘制，二维矢量场的场矢量分布图可利用quiver函数绘制，图6为标量场f（x，y，z）=xe■的等值线和梯度矢量场的场分布。

二维矢量场的场线可利用streamline和stream2绘制。

四、结语

针对“矢量分析与场论”课程难教难学、概念抽象、计算复杂等特点，采用MatLab的向量计算、绘图等技术，高效、便捷、直观地实现了该门课程的可视化教学，激发了学生的学习兴趣，同时学生可通过编程提高解决实际问题的能力和动手能力，提升综合素质，实现教学相长的效果。

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