整体思想与换元法

郑燕

摘 要：面对一长串的数学问题，往往会让你有一种“只见树木，不见森林”的感觉，你会迷茫、困惑，不知道从何处下手。其实很多时候可以尝试着去放大问题的视角，以整体的眼光来看待这些问题，这样也许会给你一种不一样的意境。

关键词：整体思想；换元法；一致性

数学是一门关注思想方法的学科，只有真正搞清数学思想，灵活运用数学的方法技巧，才能抓住数学的本质，从而把数学学好。数学的思想方法有许多，本文主要讨论整体思想与换元法，并通过几个例子来说明两者的一致性，即为思想找方法，为方法寻思想。所谓整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一個整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理。换元法是指解数学题时把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。你可以先观察算式，你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进去，结果就算出来了。本文主要以初一数学知识为背景来讲解整体思想及换元法。

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。而整体思想说通俗一点就是，当题目中的量无法各个击破时，不妨一整块一整块地解决。在应用整体思想，用换元法解题时，要注意观察有无很大一块内容与形式上相同或一致，并且出现的次数较多。如果有，不妨就把这一块看做一个整体，为了形式及视觉上的简单，可以把相同的内容用一个简单的字母去替换，这就是整体思想与换元法在本质上的一致性。

参考文献：

孙维刚.初中数学[M].湖北大学出版社，2007-05.