有限群的几乎τ-嵌入子群

毛月梅，黄建红

（1.大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同037009；2.中国科技大学数学学院，合肥230026；3.江苏师范大学数学与统计学院，江苏 徐州221116）

有限群的几乎τ-嵌入子群

毛月梅1，2，黄建红3*

（1.大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同037009；2.中国科技大学数学学院，合肥230026；3.江苏师范大学数学与统计学院，江苏 徐州221116）

群G的一个子群H称为G的几乎τ-嵌入子群，如果G有一个s-拟正规子群T使得HT在G中s-拟正规且H∩T≤HτG，其中HτG是所有含于H的G的τ-拟正规子群生成的子群.通过研究有限群G的Sylow p-子群（p是|G|的一个素因子）的极大子群的几乎τ-嵌入性，得到群G的p-超可解性.同时，又通过研究有限群G的极小子群的几乎τ-嵌入性，得到群G的p-幂零性.

s-拟正规子群；τ-拟正规子群；几乎τ-嵌入子群；p-超可解群；p-幂零性

本文讨论的群均是有限群，所用术语和符号都是标准的，未交待的概念和符号参见文献［1-2］.

近年来，群论学者通过研究子群的广义正规性来探讨群的结构已成为热点.在Kegel［3］提出s-拟正规的概念之后，张勤海等［4］又提出s-半置换的概念：设P 是G的任意Sylow p-子群，G的子群H称为s-半置换的，若（|H|，p）=1，则HP=PH；Li等［5］介绍了弱s-半置换子群的概念，并得到相关性质；Lukyanenko等［6］引入了τ-拟正规子群的概念：G的子群H称为在G中τ-拟正规，只要（|H|，p）=1且（|H|，|PG|）≠1，就有HP=PH；Li等［7］提出了τ-补子群的概念，并通过τ-补子群的性质进一步研究有限群.最近，Guo等［8］又提出了弱τ-嵌入子群的概念：群G的子群H称为在G中弱τ-嵌入的，如果G有一个正规子群T使得HT在G中s-拟正规且H∩T≤HτG，其中HτG是所有含于H的G的τ-拟正规子群生成的子群.本文提出几乎τ-嵌入这一新概念，并利用几乎τ-嵌入子群得到了关于p-超可解群和p-幂零群的新判别准则.

1　预备知识

定义1 群G的一个子群H称为G的几乎τ-嵌入子群，如果G有一个s-拟正规子群T使得HT在G中s-拟正规且H∩T≤HτG，其中HτG是所有含于H的G 的τ-拟正规子群生成的子群.显然，每个s-拟正规子群和每个τ-拟正规子群都是几乎τ-嵌入子群，但反之不一定成立.

例1 设G=A5是5次交代群，则A4是G的几乎τ-嵌入子群，但A4在A5中不是s-拟正规的.

例2 设G=S4是4次对称群，令H=〈（34）〉.那么HA4=S4且1=H∩A4≤HτG，因此H是G的几乎τ-嵌入子群.但因为〈（123）〉H≠H〈（123）〉，所以H在G中不是τ-拟正规的.

引理1［8］933设H是G的一个s-拟正规子群.

1）H在G中是次正规的，且H/HG是一个幂零群；

3）若H是一个p-群，则H≤Op（G），且Op（G）≤NG（H）.

引理2 若H≤K≤G，且H在G中τ-拟正规，则

1）H在K中τ-拟正规；若H≤Op（G），则H在G 中s-拟正规；

证明 1）参见文献［6］239中的引理2.2.

2）令Q∈Sylq（G），其中q||G|满足p≠q 且（p，|QG|）≠1.因|N|q=|HN|q，且N∩Q∈Sylq（N），故N∩Q=HN∩Q，由文献［2］2中引理1.2知NQ∩HQ=（N∩H）Q，因此H∩N 在G 中τ-拟正规.

1）若H≤K≤G，则H在K中几乎τ-嵌入；

2）若H是一个p-群，N≤H或（|H|，|N|）=1，则HN/N 在G/N 中几乎τ-嵌入；

证明 由条件知，G有一个s-拟正规子群T使得HT在G中s-拟正规且H∩T≤HτG.

1）由引理1之2）知T∩K 和H（T∩K）在K 中s-拟正规，又因H∩（T∩K）≤HτG≤HτK，故H在K中几乎τ-嵌入.

2）由引理1之2）知TN/N和（H/N）∩（TN/N）=HT/N在G/N中s-拟正规.因（|H|，|N|）=1，故（|NH∩T：T∩N|，|NH∩T：T∩H|）=1，因此NH∩T=（N∩T）（H∩T）.根据文献［2］2中引理1.2有HN∩TN=（H∩T）N，故（HN/N）∩（TN/N）=（H∩T）N/N≤HτGN/N≤（HN/N）τ（G/N），即H/N在G/N中几乎τ-嵌入.

3）令T1=T∩K.由引理1之2）知T1和HT1在G 中s-拟正规，且H∩T1≤H∩T∩K≤HτG.

引理4［8］935设p||G|且（|G|，p-1）=1.若G 有一个循环的Sylow p-子群，则G是p-幂零的.

引理5［9］设H，K≤G且G≠HK.若∀g∈G有HKg=KgH，则H 或K包含于G 的一个真正规子群中.

2　主要结果

定理1 设p||G|且P∈Sylp（G）满足|P|＞p.若P的每个极大子群在G 中几乎τ-嵌入，则G是一个p-超可解群.

证明 假设命题不成立，设G是极小阶反例.令N是G的一个极小正规子群，P1是P的一个极大子群.由假设知存在G的一个s-拟正规子群T使得P1T在G中s-拟正规，且P1∩T≤（P1）τG.

（a）G不是一个非交换单群，且Op′（G）=1.假定G 是一个非交换单群，则T=G，P1=（P1）τG在G中τ-拟正规.令Q∈Sylq（G）满足（p，|Q|）=1且（p，|QG|）≠1，显然QG=G 且G≠P1Q.又∀x∈G有P1Qx=QxP1，由引理5知G 中存在真正规子群，矛盾，故G 不是非交换单群.若Op′（G）≠1，由引理3之2）知G/Op′（G）满足条件，故G/Op′（G）是p-超可解群，G是一个p-超可解群，矛盾，因此Op′（G）=1.

（b）G不是p-可解群且P不正规于G.若G是一个p-可解群，则由（a）知N是交换p-群.若|P/N|=p，显然G/N p-超可解.若|P/N|＞p，由引理3之2）知G/N 满足条件，则G/N 是p-超可解群.因所有p-超可解群的群类是一个饱和群系，故N是G的唯一极小正规子群，且N不包含于Φ（G），于是存在G 的极大子群M满足G=NM且N=Op（G）.又因N 不包含于Φ（P），故存在P的一个极大子群H使得P=NH.由假设知G有一个s-拟正规子群K使得HK在G中s-拟正规且H∩K≤HτG.若K=1，则由引理1之3）知HG，故N≤H，矛盾，因此K＞1.若KG=1，由引理1之1）和（a）知K是一个p-群，由引理1之3）知H≤HK≤Op（G），则N≤KG=KN=K.若KG≠1，显然N≤K.由引理2之2）知H∩N=HτG∩N 在G 中s-拟正规.若H∩N≠1，则由引理1 之3）得N≤H∩N，这不可能，故H∩N=1，即|N|=p，从而G是p-超可解的，矛盾，因此G不是p-可解群且P不正规于G.

（c）若P≤H＜G，则H是p-超可解的且G中没有真包含于P1的极小正规子群.由引理3之1）知P的每个极大子群在H中几乎τ-嵌入，由G的极小性知H是p-超可解群.不失一般性，设N＜P1，由引理3之2）知G/N 满足条件，则G/N 是p-超可解群，故G是p-超可解群，与（b）矛盾.

（d）|P|＞p2且P 不包含G 的任意p 阶正规子群.假定|P|=p2.由（a）知p||N|.若|N|p= p2，则P≤N，由（b）知N是非交换的.若N＜G，则由（c）知，N是一个p-群，矛盾；因此，由（a）知N=G=N1×N2，其中Ni（i=1，2）是相互同构的非交换单群，且|Ni∩P|=p，类似于（a）的讨论，这不可能.若|N|=p，易证N 是G 的唯一极小正规子群，由文献［10］定理7知G是p-超可解群，矛盾，故|P|＞p2.设RG 满足R≤P且|R|=p，由引理3之2）知G/R满足条件，则G是p-可解的，矛盾，故P不包含G的p阶正规子群.

（e）P的每个极大子群在G 中都不是s-拟正规的.不失一般性，设P1在G中s-拟正规，由引理1之3）易证P1=Op（G）是G的极小正规子群.若P 循环，则P1是P 的唯一极大子群.令LP 且|L|=p，有LG，与（d）矛盾，故P 非循环.设P2是P 的极大子群且P1≠P2，则P=P1P2，由（b）知P2不正规于G，故G有一个s-拟正规子群K使得P2K在G中s-拟正规且P2∩K≤（P2）τG. 若K=1，由引理1之3）知P2G，矛盾，故K≠1.若KG=1，由引理1之1）和3）知P2≤Op（G）= P1，矛盾，故KG≠1.若N≤KG，则P2∩N=（P2）τG∩N在G中τ-拟正规.如果N交换，则由引理2之2）和引理1之3）知P2∩NG，得|P|=p2，矛盾于（d）；若N非交换，则N=N1×N2×…× Nt，其中Ni（i=1，2，…，t）是相互同构的非交换单群.若P2∩N≠1，则引理2之1）和2）知Ni∩P2在Ni中τ-拟正规.令Q∈Sylq（Ni）且满足（p，|Q|）=1，∀x∈Ni，有（Ni∩P2）Qx=Qx（Ni∩P2），显然Ni≠（P2∩Ni）Q，由引理5知矛盾，故P2∩N=1.若|N|p=p，则N是一个非交换单群，易见P≤P2N.若P2N＜G，则由（c）知P2N 是p-超可解的，矛盾.假设P2N=G，因NP1/N是G/N 的极小正规子群，有|P1|=p，故|P|=p2，与（d）矛盾.

（f）导出矛盾.由（e）知T≠1.设TG=1，由引理1之1）和（b）知P1=P1T在G中s-拟正规，与（e）矛盾，故TG≠1.若N≤TG，则由引理2之2）知P1∩N=（P1）τG∩N在G中τ-拟正规.设N为非交换群，与（e）类似，可得G=P1N.若R 是G的另一个不同于N的极小正规子群，则|R|=p，与（d）矛盾，故N 是G 的唯一极小正规子群.显然N∩P＜P，所以存在P的一个极大子群P2使得N∩P≤P2.由条件知，存在G的一个s-拟正规子群K使得P2K在G中s-拟正规且P2∩K≤（P2）τG，类似于（e）可得KG≠1且N≤KG.再由引理2之2）知N∩P=N∩P2=N∩（P2）τG在G中τ-拟正规，类似于（e）的讨论，有N∩P=N∩P2=1，则N 是一个p′-群且N≤Op′（G），与（a）矛盾，故N是一个交换p-群，由此可得P1∩NG；因N是极小正规子群，故P1∩N=1或N≤P1，显然这两种情况都不可能.定理得证.

定理2 设p||G|且（p-1，|G|）=1，若G的每个p阶或4阶循环子群在G中几乎τ-嵌入，则G是一个p-幂零群.

证明 设G是极小阶反例.令M是G的一个极大子群，由引理3之1）知M 满足条件.由G的极小性知M是p-幂零群，故G是极小非p-幂零群.由文献［11］中引理1.1知G=PQ，其中P是G的正规Sylow p-子群，Q是G 的Sylow q-子群，P/Φ（P）是G的主因子，且P的幂指数是p 或4（若P是非交换2-群）.取x∈P＼Φ（P），设H=〈x〉，则|H|=p或4.由引理3之3）知，G中存在包含于P的s-拟正规子群T使得HT在G中s-拟正规且H∩T≤HτG.由引理1之2）知，TΦ（P）/Φ（P）是G/Φ（P）的s-拟正规子群.因P/Φ（P）是G/Φ（P）的极小正规子群，由引理1之3）知TΦ（P）/Φ（P）是G/Φ（P）的正规子群，故T≤Φ（P）或T=P.① 若T≤Φ（P），则HΦ（P）/Φ（P）=H TΦ（P）/Φ（P）在G/Φ（P）中s-拟正规；②若T=P，则H=HτG在G中s-拟正规；因此，由引理1之2）知HΦ（P）/Φ（P）在G/Φ（P）中s-拟正规，由引理1之3）知HΦ（P）/Φ（P）是G/Φ（P）的正规子群.因P/Φ（P）是G/Φ（P）的极小正规子群，故P=H.由引理4知G是p-幂零的，矛盾.定理得证.

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On nearly τ-embedded subgroups of finite groups

MAO Yuemei1，2，HUANG Jianhong3*
（1.Sch of Math&Comput Sci，Datong Univ，Datong 037009，China；2.Sch of Math，Univ of Sci&Technol of China，Hefei 230026，China；3.Sch of Math&Stat，Jiangsu Normal Univ，Xuzhou 221116，China）

A subgroup H of a group G is said to be nearlyτ-embedded in G if G has an s-quasinormal subgroup T such that H T is s-quasinormal in G and H∩T≤HτG，where HτGis the subgroup of H generated by all those subgroups of H which areτ-qusinormal in G.In this paper，the p-supersolublity and p-nilpotency of finite group are investigated by studying the nearlyτ-embedded properties of the maximal subgroup and the minimal subgroup of Slyow subgroup of finite group.

s-quasinormal subgroup；τ-quasinormal subgroup；nearlyτ-embedded subgroup；p-supersoluble group；p-nilpotent group

O152.1

A

1007-824X（2015）02-0001-04

（责任编辑 秋 实）

2014-11-17.*联系人，E-mail：jhh320@126.com.

国家自然科学青年基金资助项目（11401264）.

毛月梅，黄建红.有限群的几乎τ-嵌入子群［J］.扬州大学学报：自然科学版，2015，18（2）：1-4.