弱s-可补子群与有限群的UΦ-超中心

宋 菊， 董淑琴， 鲍宏伟， 缪 龙*

（1.扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002；2.蚌埠学院 数学与物理系，安徽 蚌埠 233030）

文中考虑的群都是有限群，所用术语符号均是标准的。 U 表示超可解群系；Op（G）、Op（G）和 Op′（G）分别表示群G 的p-模子群、最大正规p-子群和最大正规p′-子群。

设G 是一个群，G 的所有幂零正规子群之积叫做G 的Fitting 子群，记作F（G）；群G 的所有极小正规子群的积称为群G 的基柱，记作Soc（G）；群G 的所有拟幂零正规子群之积叫做G 的广义Fitting 子群，记作F*（G）；G 的所有极大子群的交叫做 G 的 Frattini 子群，记作 Φ（G）。

若群 G 的主因子 H/K≤Φ（G/K），其中 Φ（G/K）表示商群 G/K 的 Frattini 子群，则称 H/K 是 G 的 Frattini主因子。又若[H/K]（G/CG（H/K））∈F，其中 F为饱和群系，则称主因子 H/K 在 G 中是 F-中心的。若 H≤ZF（G），则称子群H 在G 中是F-超中心的。G 的所有非Frattini 主因子是F-中心的正规子群的乘积，称为G 的FΦ-超中心，记作 ZFΦ（G）。 特殊地，F 为超可解群系时，称为 G 的 UΦ-超中心，记作 ZUΦ（G）。

设 G 是一个群，H、K 是 G 的子群，则 HG表示 G 中含于 H 的最大正规子群；对于 g∈G，规定 Hg=g-1Hg，也叫作H 在g 之下的共轭变形。 若Hg=H，则称元素g 正规化H，而称G 中所有正规化H 的元素的集合NG（H）={g∈G|Hg=H}为 H 在 G 中的正规化子。又若元素 g 满足对所有 h∈H 恒有 hg=h，则称元素 g 中心化 H，而称 G 中所有中心化 H 的元素的集合 CG（H）={g∈G|hg=h，∀h∈H}为 H 在 G 中的中心化子。 规定 Z（G）=CG（G），并称之为群 G 的中心。 设 G 是群，M⊆G，则称 G 的所有包含 M 的子群的交为由 M 生成的子群，记作〈M〉。 设 N 和 A 为群 G 的子群，且 N 为 G 的正规子群，若 N∩A=1，G=NA，则称 G 为子群 N 与 A 的半直积，记为G=[N]A，这些概念和符号参见文献[1-2]。

2009 年，L.A.Shemetkov 和A.N.Skiba[3]提出了G 的FΦ-超中心概念，他们利用弱s-置换准素子群研究了FΦ-超中心的结构。 2014 年，汤菊萍和缪龙[4]利用子群的M-可补性质探究了有限群的FΦ-超中心的构造。 随后高百俊和汤菊萍[5]以及鲍宏伟和张佳[6]分别利用子群的F-可补性质、Mp-嵌入性质进一步描述了有限群的FΦ-超中心的结构。 众所周知，对于饱和群系F，如果群 G 有正规子群 E，使得 G/E∈F 且E≤ZFΦ（G），则 G∈F。 这也是 FΦ-超中心对群的结构影响。另一方面，在 2007 年，A.N.Skiba[7]引入弱 s-可补子群的概念，它是c-可补子群的推广。之后，许多学者对这一概念进行了研究[8-10]。 作为上述工作的继续，笔者利用弱s-可补准素子群对超可解群系的超中心结构进行研究，并推广了文献[11]的定理结果。

1 预备知识

定义1[7]设G 是群，H≤G。

（1）对于 G 的任意子群 X，如果 HX＝XH≤G，则称H 是 G 的拟正规子群。 此外，若对于 G 的任意 Sylow子群 S，有 HS＝SH≤G，则称 H 是 G 的 s-拟正规子群；

（2）HsG表示群 G 中含于 H 的最大 s-拟正规子群；

（3）如果存在 G 的子群 K，使得 G＝HK 且 H∩K≤HsG，则称子群 H 为 G 群的弱 s-可补子群。这里 K 称为群G 的弱s-补充。

为了方便起见，下面列出一些后续使用的引理。

引理1[7]设H 是群G 的子群。

（1）如果 H 在 G 中是弱 s-可补的，且 H≤M≤G，则 H 在 M 中是弱 s-可补的；

（3）设 π 是素数集，N 是 G 的 π′-正规子群，H 是 G 的 π-子群。 如果 H 在 G 中是弱 s-可补的，则 HN/N在G/N 中是弱s-可补的；

（4）如果 K 是子群H 在 G 中的弱s-补充，则 K1:=HGK 是子群H 在 G 中的弱s-补充，且有 HG≤H∩K1=HG（H∩K）≤HsG。

引理2[12]对于群G

（1）如果 X1和 X2是 G 的 s-拟正规子群，则〈X1，X2〉在 G 中也是 s-拟正规的；

（2）如果 X 是 G 的 s-拟正规子群，则对于 g∈G，Xg也是 s-拟正规的；

（3）如果 H≤G，则 HsG是包含在 H 中的 G 的唯一极大 s-拟正规子群。 特别地，NG（H）≤NG（HsG）；

（4）如果 X 是 G 的 s-拟正规 p-子群，p 是素数，则 X≤Op（G）且 Op（G）≤NG（X）。

引理 3[1]设 N 是群 G 的非平凡可解正规子群。如果 N∩Φ（G）=1，则 N 的 Fitting 子群 F（N）是 G 的包含在N 中的极小正规子群的直积。

引理 4[13]设 G 是群，且 P∈Sylp（G），其中 p 是|G|的最小素因子。 如果 P 的任意极大子群在 G 中有 p-幂零补充，或者有弱s-补充，则G 是p-幂零的。

引理5[14]设N 是群G 的子群，G 的广义Fitting 子群F*（G）是G 的唯一极大正规拟幂零子群。

（1）如果 N 正规于 G，则 F（N）＝N∩F（G）且 F*（N）＝N∩F*（G）；

（2）如果 G≠1，则 F*（G）≠1；事实上，F*（G）/F（G）=Soc（F（G）CG（F（G）））/F（G）；

（3）F*（F*（G））＝F*（G）≥F（G）；如果 F*（G）是可解的，则 F*（G）=F（G）；

（4）CG（F*（G））≤F（G）；

（6）如果 K 是 G 的包含于 Z（G）的子群，则 F*（G/K）=F*（G）/K。

引理 6[11]设 P=R1×…×Rt是 G 的正规 p-子群，R1，…，Rt是 G 的极小正规子群。 若 P 的每个极大子群在G 中是弱 s-可补充的，则任意 Rj（j=1,2，…，t）均为素数阶。

引理7[11]设G 是群，如果F*（G）的任意Sylow 子群的极大子群在G 中是弱s-可补充的，那么G 是超可解的。

引理8[15]设F 是群系，群G 有可解正规子群E。 若 F（E）在G 中是FΦ-超中心的，则E 在G 中是 FΦ-超中心的。

2 主要结果

定理 1设 E 是群 G 的正规子群，p 是|E|的极小素因子，P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一个在 G 中没有 p-幂零补充的极大子群在 G 中是弱 s-可补充的，则 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E）），即 E/Op′（E）在 G/Op′（E）中是UΦ-超中心的。

证明假设定理不真，（G，E）为｜G｜｜E｜极小的反例。

（1）Op′（E）＝1。

若 Op′（E）≠1，由引理 1 的（3），假设适用于（G/Op′（E），E/Op′（E）），同样也适用于（G，E），矛盾。

（2）E＝P。

由引理 4，E 是 p-幂零的，由（1）可知，Op′（E）＝1，因此，E＝P。

（3）存在G 的一个阶为p 的极小正规子群。

如果 P∩Φ（G）≠1，则可选择 G 的一个极小正规子群 L，L≤P∩Φ（G）。 由引理 1 的（2），（G/L，E/L）满足定理条件。 又由 L 的性质和 Op′（E）＝1，知 Op′（E/L）＝1。 所以，E/L≤ZUΦ（G/L），由 L≤Φ（G），可得 E≤ZUΦ（G），矛盾。 故可以假设 P∩Φ（G）＝1。 由引理 3，P=R1×…×Rt，R1，…，Rt是 G 的包含在 P 中的极小正规子群。 从而存在 G 的极大子群 M 使得 G＝RiM 且对任意 Ri∈{R1，…，Rt}，Ri∩M=1。

设 Mp是 M 的 Sylow p-子群；Gp:=PMp∈Sylp（G）且 P∩Mp=P∩M=R。 此外，令 P1是 Gp的包含 Mp的极大子群，P2:=P1∩P。 显然，P2是 P 的极大子群，P2∩M=P1∩P∩Mp=P∩Mp=R，因此，P2=R×（P2∩Ri），（P2）G＝R。 再由 Gp正规化 P1和 P，可得由引理 2 的（3）和（4），知（P2）sG被 Op（G）Gp=G 正规化。 因此，可得（P2）sG=（P2）G＝R。

假设P2在G 中有 p-幂零补充子群 N，则 G=P2N=P2K=PK，其中 K=RN。假设 K=G时，R≠1，若否，由于 G=RiM，Ri∩M=1。 则|Ri|=|G:M|为 p-群，又因为 G=K=N，则 G 为 p-幂零群，因此|G:M|=p，从而|Ri|=p。 G/R=K/R≅N/（N∩R），再由 M/R 是 G/R 的极大子群，可得|Ri|=|G:M|=|G/R:M/R|=p。

设 K＜G，K1是 G 中包含 K 的极大子群，则由和G 在P/R≅Ri上的不可约作用，可得P∩K1=R，这意味着|P2|=|P|，矛盾。 因此，P2在G 中没有p-幂零补充，由定理的假设，P2在G 中是弱s-可补的，据引理6 知|Ri|=p。

（4）最终的矛盾。

由（2）和（3）可知，E 为 p′-群且 G 中存在的极小正规子群 L，使得|L|=p。由于假设对（G/L，E/L）仍然成立，所以 E/L≤ZUΦ（G/L）且|L|=p，从而 E≤ZUΦ（G）。

最终的矛盾完成文中的证明。

推论 1设 E 是群 G 的正规子群，p 是｜E｜的极小素因子，P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一个极大子群在 G 中是弱 s-可补的，则 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E）），即，E/Op′（E）在 G/Op′（E）中是 UΦ-超中心的。

推论 2设 E 是 G 群的正规子群，p 是｜E｜的极小素因子，P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一个极大子群在 G 中是 c-可补的，则 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E）），即，E/Op′（E）在 G/Op′（E）中是 UΦ-超中心的。

定理2设X≤E 是群G 的正规子群， 若X 的每一个非循环Sylow 子群P 的任意极大子群在G 中是弱s-可补的。 如果 X 等于 E 或者等于 F*（E），则 E≤ZUΦ（G），即 E 在 G 中是 UΦ-超中心的。

证明情形1X＝E。

如果 V 是 E 的非平凡正规 Hall 子群，则 V 在 G 中是正规的。 这个假设也适用于（G，V）和（G/V，E/V），有V≤ZUΦ（G），E/V≤ZUΦ（G），因此，E≤ZUΦ（G）。接下来考虑的 E 只有平凡正规 Hall 子群，由定理 1，对于｜E｜的极小素因子 p，有 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E））。 由于所有的 p－幂零（超可解）群类是饱和群系，即 E/Op′（E）是 p－幂零的，进而 E 是 p－幂零的，所以 E 是 p－群，由定理 1 知，E≤ZUΦ（G），矛盾。

情形 2X＝F*（E）。

显然 F*（E）≠E，对 F*（E）利用情形 1 做归纳，易知 F*（E）≤ZUΦ（G），即 F*（E）可解，由引理 5，有 F*（E）＝F（E）≤ZUΦ（G）。 此时，若 E＝G，据引理 7，知 E 为超可解群，从而 E≤ZUΦ（G）。 若 E＜G，再次利用引理 7，得到 E为超可解，则 E 为可解，又据归纳知 F（E）≤ZUΦ（G），据引理 8 得，E≤ZUΦ（G）。

推论3设X≤E 是群G 的正规子群，若X 的每一个非循环Sylow 子群P 的任意极大子群在G 中是c-可补的。 如果 X 等于 E 或者等于 F*（E），则 E≤ZUΦ（G），即 E 在 G 中是 UΦ-超中心的。

论文主要推广了文献[11]的定理2.2，得到了E 层面下的超中心构造，下一步计划将相应的结果推广到其他一般群系中。