单位群U（z［］）的结构

刘兴鹏，陈佳慧，李立斌

（扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002）

刘兴鹏，陈佳慧，李立斌*

（扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002）

利用整环的单位与Pell方程解的关系，给出了同底的非平方自然数n对应的整环的单位群及其亚生成元之间的关系.

整环；单位群；Pell方程

设I为一个有单位元1环，非零元ε∈I称为I的单位，若ε是I中的乘法可逆元，即∃ε′∈I使得εε′=1.容易验证集合U（I）=｛ε∈I|ε是I的单位｝关于I的乘法构成一个群，称此群为I的单位群.目前，对于单位群结构的研究多见于矩阵环［1］、群环［2-4］、结合代数［5-6］等.例如，Khan等［3］106给出了单位群U（FS4）的性质，Halasi［7］描述了Dn代数单位群的一些特征，屈寅春等［8］证明了单位元群是素数阶循环群直和的剩余类环，Davis等［9］给出了有限单群是单位群的条件.本文主要根据数论和近世代数基本理论，利用整环中的单位与Pell方程解的关系对整环单位群的结构进行研究.

1　单位的充要条件

其中n为非平方自然数.

定理1［10］中的单位的充要条件是x，y满足方程x2-ny2=1或x2-ny2= -1.

2　单位群的结构

定义2 Pell方程（1）（2）中满足x＞0，y＞0的解称为正解.

由文献［11］可知，存在方程（1）或（2）的正解（x1，y1），使得方程x2-ny2=±1的任意解（x，y）可由

确定.于是，方程x2-ny2=±1的解完全由正解（x1，y1）所确定，则称此正解为最小正解，从而得出下面的定理.

3　单位群间的关系

［1］JANEZ S.Lifting units in clean rings［J］.J Algebra，2013，381（1）：200-208.

［2］HERTWECK M，HÖFERT C R，KIMMERLE W.Finite groups of units and their composition factors in the integral group rings of the groups PSL（2，q）［J］.J Group Theory，2009，12（6）：873-882.

［3］KHAN M，SHARMA R K，SRIVASTAVA J B.The unit group of FS4［J］.Acta Math Hungar，2008，118（1/2）：105-113.

［4］KIMMERLE W.Unit groups of integral group rings：old and new［J］.Jahresber Dtsch Math-Ver，2013，115（2）：101-112.

［5］TANG Gaohua，WEI Yangjiang，LI Yuanlin，et al.Unit groups of group algebras of some small groups［J］. Czech Math J，2014，64（1）：149-157.

［6］GILDEA J.Units of group algebras of non-abelian groups of order 16 and exponent 4 over F F2k［J］.Results Math，2012，61（3/4）：245-254.

［7］HALASI Z.On the characters of the unit group of DN-algebras［J］.J Algebra，2006，302（2）：678-685.

［8］屈寅春，杨一超，李立斌.单位元群是素数阶循环群直和的剩余类环［J］.扬州大学学报：自然科学版，2010，13（3）：1-4.

［9］DAVIS C，OCCHIPINTI T.Which finite simple groups are unit groups［J］.J Pure Appl Algebra，2014，218（4）：743-744.

［11］潘成洞，潘成彪.初等数论［M］.北京：北京大学出版社，2005：355-360.

The structure of unit group U（z［］）

LIU Xingpeng，CHEN Jiahui，LI Libin*
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

By using the relationship between the unit group of domain z［］and the solution of Pell equation，the author considers some structures of unit groups of domain z［］under the framework of the quasi-generators，where n has the same-based non-square natural numbers.

domain；unit group；Pell equation

O153.3；O154

A

1007-824X（2015）02-0005-03

（责任编辑 林 子）

2014-04-15.*联系人，E-mail：lbli@yzu.edu.cn.

高等学校博士点基金资助项目（20123250110005）；全国大学生科技创新基金资助项目（201311117029Z）.

刘兴鹏，陈佳慧，李立斌.单位群U（z［］）的结构［J］.扬州大学学报：自然科学版，2015，18（2）：5-7，11.