高中数学中平面向量数量积概念的应用

韩静波　苏怀堂

摘 要：数学概念的建立是分析解决数学问题，提高数学能力以及形成数学思想的前提。因此，在数学教学中，教师应重视概念教学。在高中数学中，平面向量数量积是一个重要的概念，新课标和高考对其都有较高的要求。探讨了对平面向量数量积概念的理解及其应用。

关键词：平面向量；数量积；数学概念

数学概念的建立是分析解决数学问题，提高数学能力以及形成数学思想的前提。因此，在数学教学中，教师应重视概念教学。在高中数学中，平面向量数量积是一个重要的概念，新课标和高考对其都有较高的要求。本文将探讨对平面向量数量积概念的理解及其应用。

数量积是向量的一种运算，平面向量数量积的概念就是运算的法则，而其运算法则包含平面向量数量积的定义、几何意义、坐标运算三种形式，其中几何意义和坐标运算都是通过定义所推导出的。所以掌握平面向量数量积的概念就是从本质上认识三种形式及相互关系，灵活应用平面向量数量积的概念就是根据三种形式各自的特征适当地选择方法。下面通过从三个角度对例题的解析探讨平面向量数量积概念的应用。

例.（北京2012年高考题）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 · 的值为 ； · 的最大值为 .

一、平面向量的数量积的定义的应用

利用定义求平面向量的数量积，通常需求出两向量的夹角和模。当夹角或模不易求出时，应结合三角函数定义，直角三角形的任意两个边向量的数量积容易求（如下），所以可利用平面向量线性运算的几何意义，将两向量转化为直角三角形的边向量（练习方法一）。

解析：若利用定义首先应根据相等向量的概念平移向量使其共顶点，即 = ，再根据平面向量积的定义，可得：

· = · = cos∠ADE

其中 ，cos∠ADE均为变量，但根据图形几何特征，可发现 ，∠ADE均在Rt△ADE中，则根据三角函数的定义可得：

cos∠ADE=

所以 · = · = cos∠ADE= = 2=1

由上面解答可知，利用定义求平面向量的数量积可将两向量放到直角三角形中，故过E作EF⊥CD于F，则同理可得 · = =

所以当E在B，即F在C时， · 的最大值为 =1

由上可知，利用定义求平面向量的数量积时，第一，若向量起点不同，则应先平移向量使其共起点，从而准确找到夹角。第二，若两向量可看作直角三角形的两边，则结合三角函数的定义两向量的数量积容易求解。第三，若两向量不可看作直角三角形的两边，则需利用平面向量线性运算的几何意义，用直角三角形的边向量将两向量表示出来，从而任意两向量的数量积转化为直角三角形的边向量的数量积，利用“第二步”即可求解。

二、平面向量的数量积的几何意义的应用

用几何意义求平面向量的数量积直观简单，其关键是利用图形的几何性质准确找到一个向量在另一个向量上的投影，其难点在于不能根据图形的特征想到用几何意义求解。所以在教学中，还要引导学生透彻理解平面向量数量积的几何意义，并对它强化应用意识。

解析：由图可得： 在 上的投影为

由平面向量数量积的几何意义，可得： · = · = =1×1=1

类似的，由图可得： 在 上的投影为

由平面向量数量积的几何意义，可得： · = =

所以当E在B，即F在C时， · 的最大值为 =1

由上可知，若投影容易求得，则利用几何意义求解非常简便；但若投影不易求得，则此方法并不可取。

三、平面向量的数量积的坐标表示的应用

利用坐标表示求平面向量的数量积，关键是根据图形的几何性质建立适当的坐标系，并准确地用坐标表示向量。其难点在于“不能由已知联想到建立坐标系，将运算用坐标表示”。所以在教学中，还要强化对向量坐标运算的应用意识。

解析：以D为原点，线段DC方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，设线段AE长为x，则 =（x，-1）， =（0，-1）， =（1，0）

所以 · =0×x+（-1）×（-1）=1， · =x×1+（-1）×0=x

所以当E在B，即F在C时， · 的最大值为1

由上可知，若可建立适当的坐标系，则向量的运算可用坐标表示，而用坐标进行运算一般比较简单。

综上所述，平面向量数量积的定义、几何意义、坐标运算构成平面向量数量积概念的概念系统。通过此概念的应用可以看出，概念的理解是一个系统工程，概念学习的最终结果是形成一个概念系统，这样才能掌握知识的本质，并灵活应用概念解决问题。所以在数学教学中，要重视概念教学，引导学生重视概念学习，并能通过概念教学，提高学生的数学素养。这符合新课改和高考的要求，更符合数学学科的特点。

编辑 谢尾合