一道赛题的四种解法

曹群林

题目 函数f（x）= + 的值域是 .

（2013年全国高中数学联赛江西省预赛第6题）

解法1 三角换元

因为f（x）= · + ，x∈[2，3]，xmax= + =2，

所以x-2∈[0，1]，3-x∈[0，1].

又因为（x-2）+（3-x）=1，

所以不妨设x-2=sin2α，3-x=cos2α，α∈[0， ].

则f（x）= sinα+cosα=2sin（α+ ），

因为α∈[0， ]，所以α+ ∈[ ， ]，

所以sin（α+ ）∈[ ，1]，即2sin（α+ ）∈[1，2].

故f（x）的值域是[1，2].

解法2 代数换元

依题意，不妨设 =u， =v，则u∈[0，1]，v∈[0，1]，易知 +v2=1.

这就转化成了约束条件为 +v2=10≤u≤10≤v≤1，目标函数为z=u+v的线性规划问题.

其可行域为椭圆 +v2=在u轴上方且满足u∈[0，1]的部分，沿初始直线u+v=0往上平移，z的值越来越大.易知平移直线首先与可行域相交于点（0，1），所以zmin=0+1=1；

当直线平移至最后与可行域相切时，易求得切点坐标为（ ， ），所以zmax= + =2.

故f（x）的值域是[1，2].

解法3 求导

因为f（x）=（3x-6） +（3-x） ，x∈[2，3]，ymax=2

所以f ′（x）= （3x-6） - （3-x） = ，

令f ′（x）=0，即3 - =0，解得x= .

当x∈（2， ）时，f ′（x）>0；当x∈（ ，3）时，f ′（x）<0.

所以f（x）在区间（2， ）上递增，在区间（ ，3）上递减，

所以f（x）在x= 处取得唯一的极大值，同时也取得最大值，

则f（x）max=f（ ）= + =2，

又因为f（2）=1，f（3）= ，所以f（x）min=f（2）=1.

故f（x）的值域是[1，2].

解法4 构造概率分布列

已知y= + ，x∈[2，3]，a= ，b= ，则y=3a+b.

由题意可构造随机变量ξ的概率分布列为：P（ξ=a）= ，P（ξ=b）= ，

则Eξ=a· +b· = ，Eξ2=a2· +b2· = = .

因为Dξ=Eξ2-（Eξ）2≥0，

所以Dξ= -（ ）2= - = .

又因为a-b= - 在[2，3]上单调递增，

所以-1≤a-b≤ ，则（a-b）2≤1，

从而0≤Dξ= -（ ）2≤ ，即1≤y2≤4.

又因为y= + ≥0，所以1≤y≤2.

当x=1时，ymin=1；当x= 时，ymax=2.

故f（x）的值域是[1，2].

编辑 韩 晓