浅谈夯实基础培养学生的数学素质

吴灵喜

摘 要：培养学生的素质，先夯实基础，通过套题、变式题对定义进行理解。教师要巩固学生对抛物线的定义，并会简单应用。

关键词：数学素养；变式题；推理能力

圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多几何性质，这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，并且学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.其中抛物线是圆锥曲线中的重要的一类，在高考中有着重要的地位.特别地，在导数引入高中数学，对抛物线的考查就更为频繁.在学习了抛物线的定义以及抛物线的几何性质之后，为了更好地理解抛物线的定义，笔者从下面几个方面进行说明.

一、巩固抛物线的定义

1.到点A（1，1）的距离与到直线l：3x-4y+1=0的距离相等的点的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

解析：粗看满足抛物线的定义，再仔细一看，易发现点A∈l，点的轨迹为经过点A且垂直于直线l的一条直线.这有助于理解抛物线的定义——直线外的一点.

2.经过点F（2，0）且与直线l：x=-2相切的动圆的圆心M的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

解析：由圆的性质及直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，又点F在圆M上：即圆心M到定点F的距离等于到定直线l的距离，满足抛物线的定义，所以动圆心M的轨迹是抛物线.

变式1：到点F（2，0）的距离比到直线l：x=-1的距离大1的点的轨迹是（ ）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解析：把直线l向左平移一个单位，可以转化为l′∶x=-2，到定点F（2，0）的距离等于到定直线l′：x=-2的距离，满足抛物线的定义。

变式2：动点M（x，y）满足等式： = ，则点M的轨迹为（ ）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解析：等式可化为： = .

根据两点间的距离和点到直线的距离公式可得，动点M（x，y）到定点F（2，0）的距离等于到定直线l：3x+4y-2=0的距离，满足抛物线的定义（不是我们所熟悉的标准条件下的抛物线）.

二、抛物线定义的简单应用

1.求焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5的抛物线的标准方程.

解析：根据题意，设抛物线的标准方程为：y2=2px（p>0），如果运用两点间距离公式，待定系数法联立方程组解得，运算量较大.所以可根据抛物线的定义，抛物线上的点A到准线：x=-p/2的距离等于5，可得到p的值，从而求得抛物线的方程.

2.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P在抛物线上，有一定点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，及对应的点P的坐标.

解析：由定义可知，抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，所以求|PA|+|PF|的最小值，转化为求|PA|+d的最小值，由点与直线上的点的连线中垂线段最短可得，过点A作准线的垂线，垂线段长即为所求的最小值，该垂线与抛物线的交点就是所求的点P.

变式：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P在抛物线上，有一定点A（2，3），点P到y轴的距离为d，求|PA|+d的最小值.

解析：P到y轴的距离，可以延长到准线的距离，再根据抛物线的定义，转化为到焦点的距离，即（|AP|+|PF|）-1/2的最小值，当A、P、F三点共线时取最小值.

3.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，准线为l，过点F的弦AB为直径的圆与准线l的位置关系 .

解析：过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别是A1，B1，取AB的中点为C，过C作准线l的垂线，垂足为C1，由抛物线的定义可知：|BB1|=|BF|，|FA|=|AA1|.

∴|AB|=|AA1|+|BB1|.

∵CC1是梯形ABB1A1的中位线.

∴2|CC1|=|AA1|+|BB1|.

∴|AB|=2|CC1|，即圆心C到准线的距离等于半径.

∴以AB为直径的圆与准线l相切.

变式：已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，准线为l，过点F的弦AB，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足为A1，B1，求证：A1F⊥B1F.

解析：在△AA1F和△BB1F中，根据抛物线的定义可知，|AF|=

|AA1|，|BF|=|BB1|，

∴2∠A1FA+∠A1AF=180°，

2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，

∴∠A1AF+∠B1BF=180°，

∴∠A1FA+∠B1FB=90°，

∴∠A1FB1=90°，即A1F⊥B1F.

4.已知AB是抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a>1），求弦AB的中点M的纵坐标的最小值.

解析：设点M的坐标为（x0，y0），过A，B，M分别作准线l∶y=- 的垂线，垂足分别为A1，B1，N，得直角梯形ABB1A1，MN为梯形的中位线.

∴MN= （AA1+BB1），又y0=MN- .

连接AF，BF，在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=a，当且仅当AB经过焦点F时取“=”.

根据抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，

∴MN= （AA1+BB1）= （|AF|+|BF|）≥ AB= a，

∴当弦AB经过焦点F时，中点M的纵坐标有最小值： a- .

5.如下图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程是（ ）

A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x

解析：过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，准线与x轴相交于点K，则|BF|=|BB1|.

∵|BC|=2|BF|，∴|CB|=2|BB1|，∴∠B1CB=30°，

∴|AC|=2|A1A|=2|AF|=6，

∴F为AC的中点.

∴FK= AA1= ，即p= ，

∴抛物线的方程为y2=3x.

通过以上几个例子，让我们能够进一步理解抛物线的定义，能更好地解决与抛物线有关的焦半径问题和焦点弦问题，解决有关抛物线的最值问题和定点、定值问题.重视概念的理解是掌握基础知识的第一步，是发展学生基本技能，培养学生的运算能力、思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题的能力的基础，是培养学生数学素养的基础.

参考文献：

任志鸿.高中同步测控优化训练：数学[M].人民教育出版社，2012-09.

编辑 韩 晓