平面解析几何复习要点指津

2015-12-07王勇强湖州市教育科学研究中心浙江湖州313000

中学教研(数学) 2015年2期

●王勇强(湖州市教育科学研究中心浙江湖州313000)

平面解析几何复习要点指津

●王勇强(湖州市教育科学研究中心浙江湖州313000)

1 知识内容

平面解析几何是17世纪由法国数学家笛卡尔和费马等数学家创立并发展，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究的一门几何学分支，是高中数学的核心内容之一.平面解析几何在高中阶段的知识内容主要包含直线与圆、简单的线性规划、圆锥曲线及其综合问题.

2 命题分析

1)直线与圆、简单的线性规划:这一块内容是解析几何的基础知识，在每年的高考中均有涉及，直接命题时通常考查相关的基本概念和基本公式(如直线的倾斜角与斜率、直线的方程及其应用、2条直线的平行与垂直关系、点到直线的距离公式、圆的方程及其应用、直线与圆的位置、2个圆的位置关系、简单的线性规划问题等);考查时经常会与函数、不等式、三角函数、平面向量等结合，其中还会渗透数形结合、分类讨论思想等.

2)圆锥曲线及综合问题:这一块内容是平面解析几何的重点与核心知识，命题主要围绕着3个方面进行，包括圆锥曲线的定义、标准方程、性质的应用，求曲线的方程，用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题.近5年的圆锥曲线小题基本上考查了与双曲线有关的知识如渐近线、离心率，有时也考椭圆、抛物线，在选择题中的位置比较靠后，属较难题;解答题的命题主要围绕后2个方面进行，求曲线方程的问题主要涉及的求解方法有定义法、直接法、交轨法、待定系数法、相关点法、几何法、参数法等;直线与圆锥曲线的位置关系方面，理科考查的圆锥曲线主要是椭圆(只有2011年的解答题没有考查椭圆，但在填空题的最后一题考查了椭圆)，偶尔也考抛物线和圆(2011年)，而文科大题则年年考查抛物线.平面解析几何解答题主要考查坐标法、数形结合以及运用代数方法研究几何问题这一核心思想，一般来说解题思路清晰，但运算量较大，特别要考查学生的运算求解基本功.

3 典题剖析

(2014年浙江省数学高考理科试题第16题)

分析本题考查求双曲线离心率的问题，故只需要找到双曲线标准方程中a，b，c这3个基本量中任意2个的等量关系即可，根据条件易列出关于a，b的等量关系.将该双曲线的2条渐近线方程分别与x－3y+m=0联立，求得点A，B的坐标，从而得到AB的中点Q的坐标为

由|PA|=|PB|得PQ与已知直线垂直，故

解得a2=4b2，

例2已知点A(－2，3)在抛物线C:y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )

(2014年辽宁省数学高考理科试题第10题)

分析本题考查平面解析几何中的双基，涉及直线的方程、抛物线的焦点、准线等基本概念和斜率公式等基本公式，同时考查了求抛物线切线的基本思想方法(方程的思想)和数形结合的基本数学思想等.由点A(－2，3)在抛物线C的准线上，可求得抛物线C的方程，再求出过点A的切线方程及切点B的坐标，从而求出直线的斜率为.故选D.

图1

注若了解有关阿基米德三角形的特性，则此题只需一步就可完成.如图1所示，利用阿基米德三角形的特性知，AF⊥BF，可求出直线BF的斜率为.高三复习教学过程中，解完一道好的试题，不要急着结束思考过程，而应对该试题的背景、

源头、蕴藏的数学本质以及教学价值作进一步的思考，对试题可作一些适当的延伸、拓展和变式.像本题的背景就是阿基米德三角形，可进一步研究该试题中隐含的阿基米德三角形的其他重要结论与性质，用于指导解决类似的问题，从而使问题的求解既快又准.

(2014年浙江省数学高考理科试题第13题)

分析本题考查线性规划中含参数的问题和数形结合的思想方法，可用图解法或代特殊点法(线性目标函数的最优解一般在可行域图形的顶点处取到).先作出可行域.

图2

解法1取点D的坐标(0，1)，点E的坐标(0，4)，由图2可得

解法2代特殊点法.由于ax+y的最值只可能在点A，B，C某处取到，故只要满足

注自从高中数学引入线性规划内容以来，相关的问题一直是高考中的热点，是高考中的必考知识之一.从历年高考来看，对线性规划问题的考查难度一般不大，题型以选择题、填空题为主.线性规划问题对内容的考查主要有根据可行域的图形求直线的截距、斜率的最值，还有求平面区域的面积、求点到直线的距离等较易的问题;稍难的则有考查目标函数的取值范围以及根据目标函数中的取值范围去逆求约束条件的参变量范围等问题.对线性规划问题的能力考查主要考查学生的画图能力、识图能力，同时对观察能力、推理及转化能力提出了较高的要求.对线性规划问题的数学思想考查则集中体现在数形结合、运动变化思想、化归思想以及分类讨论思想等.在复习教学中除了要掌握常见的图解法和代特殊点法，还需提高观察推理能力和渗透数形结合、转化化归以及运动变化等数学思想.

1)求椭圆C的标准方程;

2)若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的2条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

(2014年广东省数学高考理科试题第20题)

分析本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线公共点的个数利用Δ的符号进行转化，计算量较大，涉及了方程思想的灵活应用，充分体现了圆锥曲线的“方程”本性，属于难题.2014年浙江省数学高考理科试题第21题的考查目标与解题方法与此类似.

代入椭圆C的方程并化简得

利用Δ=0，得

可求得点P的轨迹方程为x2+y2=13(当从点P所引的2条切线均与坐标轴垂直时，点P的坐标也符合该方程x2+ y2=13).

注根据直线与椭圆的位置关系建立关于斜率k的一元二次方程时，考查了运算求解能力;观察到k与是一元二次方程的2个实根，考查了转化与化归思想的应用;对直线斜率存在性进行讨论，考查了分类讨论思想的应用.因此在复习过程中，除了要加强运算能力的培养，还需加强一些常见的数学思想(如本题解法中蕴含的转化与化归思想、分类讨论思想、方程思想)在解析几何中的渗透，有助于学生形成关于平面解析几何问题的解题策略.

图3

例5如图3，O为坐标原点，椭圆C1:(其中a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为e1;双曲线C2:

1)求C1，C2的方程;

2)过点F1作C1的不垂直y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于点P，Q时，求四边形APBQ面积的最小值.

(2014年湖南省数学高考理科试题第21题)

分析本题以椭圆、双曲线为载体，考查圆锥曲线的定义、标准方程、性质的应用以及直线与圆锥曲线位置关系的综合问题.重点考查了相交弦长、点到直线的距离公式、最值求法以及数形结合、函数方程等数学思想.其中弦长问题一般都是采用设而不求的思想方法，运用根与系数的关系进行整体代入，这是解决弦长问题以及其他直线与二次曲线问题的最基本方法.本题的求解需要考生有较强的化简、计算、推理论证能力，属于难题.

第1)小题利用椭圆与双曲线标准方程中基本量a，b，c之间的关系，由题目中的条件即可得到关于a，b的2个方程，解方程组即可求出a，b的值，得到C1，C2的方程分别是:

第2)小题利用第1)小题所求出的焦点F1的坐标，设出弦AB的直线方程x=my－1，联立直线与椭圆方程，消去x可得关于y的一元二次方程，再利用根与系数的关系得到点A，B纵坐标之间的和与积，从而得到点M的横、纵坐标，进而求出直线OM的方程，即为直线PQ的方程，联立直线PQ与椭圆的方程可求得PQ的弦长.利用点到直线的距离公式得到点A，B到直线PQ的距离表达式，并表示出四边形QPBQ的面积，利用函数的单调性即可得到四边形QPBQ面积的最小值为2.

注本题考查的知识内容与思想方法非常朴实与常规，但朴实中孕育基础，常规中彰显能力.第1)小题考查椭圆与双曲线标准方程中的基本量，很朴实但却重视基础;第2)小题中的最值、范围问题虽很常规，但能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，故一直是高考考查能力的重点，特别是有关焦点弦和中点弦等问题，涉及圆锥曲线的定义、中点公式、根与系数的关系以及点差法、设而不求、整体代入等的重要解题方法，常考常新.

解决圆锥曲线中最值、范围问题要让学生具备明确的解题意识或策略，其解题的基本意识或策略是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数求最值、范围，因此这类问题的难点就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数和不等关系应选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达所要解决的问题，可以是直线的斜率、截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况处理.明确的解题意识就像大海中的灯塔，能够引导学生解题思路往哪里走.

例6已知抛物线C:y2=2px(其中p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.

1)求C的方程.

2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有1个公共点E，

①证明:直线AE过定点，并求出定点坐标.

②△ABE的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值;若不存在，请说明理由.

(2014年山东省数学高考理科试题第21题)

分析本题以抛物线为载体，在知识方面考查抛物线的定义、性质、直线方程、点到直线的距离、基本不等式及绝对值等基本知识;在能力方面，考查函数思想、转化与化归思想、分类讨论思想、方程思想及分析问题、解决问题的能力和运算能力.几个小问环环相扣，最后运用代数基本不等式求最值.本题的立意对高三的解析几何复习具有非常鲜明的指导意义.

第1)小题利用抛物线的定义求出p=2，故所求抛物线方程为y2=4x.

第2)小题中，①由直线l1∥l且l1和C有且只有1个公共点E，求出含参数的直线AE的方程为

注本题重点考查直线与抛物线的位置关系.在2014年的各地高考中，有关直线与抛物线的位置关系的一个最大热点就是三角形面积问题，在多地高考卷中出现，并以多种形式，结合不同内容出现，基本上多以求面积定值和最值为主，考查的数学能力较多，与函数、不等式相结合，综合性强，难度较大，是高考中压轴的题目.特点是选择怎样的方式去求三角形面积，需要合理地选择底和高，再配合大量的参数运算.本类问题在今后的高考中，还会反复出现，需要更好地把握其基本的解题思想和方法.

众所周知，平面解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，核心要求是“综合的运算能力”.在高三复习教学过程中如能做到以下3点，定能取得较好的复习效果:

1)要让学生掌握求解解析几何问题的5种意识:①几何条件代数化;②代数运算几何化;③一般问题特殊化;④最值问题多样化;⑤去除思维模式化.解题意识的形成要经过“实践—认识—再实践—再认识”循环往复的提高过程，光靠教师的讲还不行，一定要让学生亲历解题过程、体验和反思.

2)要重视数学思想在解析几何学习中的渗透，让数学思想指明解题的方向，指导学生找到解题思路，从而高效地解题.

3)要落实运算教学，争取避繁就简.对运算能力有较高要求一直是解析几何学习最突出的特点，因此，在遵循“设—列—解”的程序化运算的基础上，力求做到设而不求，在复习教学中努力克服“重分析思路方法、轻视运算”的顽疾，注意利用圆锥曲线的定义和平面几何知识来化繁为简，让学生在动手运算的过程中培养数感，提升数学运算能力.