“植树问题”教学设计与反思

教学内容：人教版义务教育教科书五年级数学上册第七单元“数学广角”。

教材分析：

“数学广角”这一单元主要是通过现实生活中一些常见的实际问题向学生渗透有关植树问题的一些思想方法，让学生从中发现一些规律，抽象出数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。

“植树问题”通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干间隔，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的间隔数和植树棵数之间的关系就不同。植树问题可以分为这样几种类型：在一条线段植树，可分为两端栽、两端不栽、一端栽三种情况；另一类型是在一条首尾相接的封闭曲线上植树（如长方形、正方形或是圆形等等）。教材中例1探讨的是先画出形象的线段图，然后抽象成线段图表示两端都栽树的情况，例2通过迁移呈现出两端都不栽树的情况，例3是引导学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树的的问题。一端植树在书中以练习题形式出现。

学情分析：

1.学生已经掌握了万以内的口算、笔算的计算方法。

2.学生能通过观察、操作等实践活动发现规律，得出结论。具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理等数学活动经验。

3.在解决实际问题过程中，正确判断类型是解题关键。由于学生初次接触在一条线段上植树（两端都栽、两端都不栽、一端栽）情况，在判断时会出现问题，一边栽树可能会当成两旁栽树。

教学目标：

《数学课程标准（2011年版）》中关于第二学段目标有以下阐述：“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程。”“探求给定事物中隐含的规律或变化趋势。”根据课标相关要求，以及对教材的理解和分析，我确定本节课的教学目标为：

1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，理解间隔数与植树棵数之间的关系，并能应用规律来解决简单的植树问题。

2.借助小组合作学习，引导学生在动手操作的实践活动中，通过画线段图理解间隔数与植树棵数之间的规律，渗透化归的数学思想。

3.通过实践活动激发学生热爱数学的情感，初步体会植树问题的模型思想，感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。

教学重点：通过画线段图发现植树的棵数和间隔数的关系。

教学难点：利用探求“植树问题”中发现的规律，来解决现实生活中实际问题。

教学策略：

本节课是教材第106～107页例1、例2的内容，主要教学在一条线段上两端都栽和两端不栽情况的植树问题。我根据对教材的理解，将例1、例2进行整合，以一个具体情境提出问题，在本节课又尝试补充了一端栽的类型。在设计这节课时，我主要是运用这样的教学理念：创设问题情境，引发学生认知冲突。借助小组合作，通过观察、猜想、验证等学习方法，让学生探究解决植树问题的规律，渗透化归思想。

教学过程：

一、观察熟知事物，引导学生理解“间隔”

师：同学们，你们仔细观察过自己的手吗？我们的手上隐藏了哪些数学奥秘呢？快来找一找。

师：看看你的手，你从中得到了什么数字？

生：5。

生：5个手指。

师：老师从中也得到了一个数字——4，你们知道它指的是什么吗？

生：缝隙。

生：空格。

师：对了，4指的是手指间的空格，在数学上我们把这样的空格叫作间隔。我们手上每两个手指之间有一个间隔，大家仔细观察，5个手指有几个间隔，4个手指的时候有几个间隔呢？3个手指，两个手指呢？

师：你们发现手指数与间隔数的关系了吗？谁能说一说？

（利用课件进行展示：夹心饼干、植树中每相邻两棵树之间的距离、路灯、栅栏、团体操表演、防洪纪念塔相邻的柱子。理解间隔的含义，这些问题在数学上统称为植树问题，进而揭示课题。）

师：在我们身边有这么多数学奥秘，看来数学真是无处不在。

【设计意图：在学生生活的周围有很多事物具有植树问题的本质特征。想要了解植树问题必须要知道间隔的问题。引出手，就使学生对手指头之间的间隔产生一个初步的感知。再利用课件展示生活中随处可见的间隔，即渗透“生活中处处有数学”的思想，又为接下来的学习分散难点。】

二、创设探索情境，引导学生总结规律

1.出示例题，引导学生自主探索。

铁岭小学要在一条100米长的小路一边每隔5米种一棵树，需要多少棵树苗？你可以设计出几种方案？

【设计意图：创设生活情境，激发学习兴趣，让学生感受到数学问题原本就来源于生活。有效地利用教学资源，将例1与例2进行有机整合，将一条线段上植树的3种情况一次呈现，发散学生的思维。】

反思：通过第一次试讲，我发现学生普遍只想到了两端植树的情况，而其余情况都没有想到。一方面是由于学生受到手指和“手指间隔”的影响，形成了思维定式；另一方面是由于改编例题要求不清晰，使得学生思维受到局限。在第二次试讲时，我将例题进行补充修改。这次学生们思维拓展了，考虑问题也全面了，能有目的地进行操作。这也让我体会到教学资源的整合一定要做到巧妙设计、贴近实际。

2.学生大胆猜测后，4人一组，借助学具，小组合作探究，填写表格，验证猜想。

【设计意图：学生因为猜测出不同的结果，造成了认知冲突。他们迫切地须要寻求可行性的方法，去验证自己的数学猜想。】

反思：由于课前学生准备了相应的学具，课上他们展示了不同的验证方法。有的组充分利用跳棋、小棒这些学具摆一摆。在摆的过程中他们遇到了难题，准备的学具不够。我巡视发现此情况，便替他们小组向全班同学寻求帮助，很快学生就达成共识，只要用一定的学具探索出规律即可，这里也渗透了数学上化归思想。还有的组借助线段图画一画，借助手指数一数，将抽象的习题具体为形象的图形，探索规律就显得非常容易。

学生之间存在着一定的差异，认知起点与知识结构逻辑起点不同，就使得有些学生理解植树问题时，较为困难。这时在小组内合作学习，就使“差异”变成了“资源”，促使学生更好地解决问题。

3.汇报验证结果，总结规律。

【设计意图：学生利用画图、摆学具来解决条件开放的植树问题，形象地感知在一条线段上植树常出现的三种植树情况。我通过及时引导，让学生学会探索、验证的学习方法，体现了“不同的学生学习数学的水平可以不同”的教育思想，而且启发学生透过现象发现规律，让学生充分感受到成功的喜悦。本课重点再次得到巩固，难点得到有力突破！】

三、回归生活情境，引导学生实践应用

在生活中，常常要解决这样的植树问题，我们必须要先确定它是属于三种情况中的哪一种。为了巩固所学的知识，我设计了两组练习：

（一）基础练习

1.在一条全长2千米的街道两旁安装路灯，头尾都要安，每隔50米安一座。共需多少灯？

2. 大象馆和猩猩馆相距60米，绿化队要在两馆间的小路两旁栽树。相邻两棵树之间的距离是3米，一共要栽几棵树？

3.5路公共汽车从起点开出，行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？

反思：在最初设计中，一条线段上植树的三种情况我各出了一道题。但是经过反复研究，发现课堂容量远远不够。对于优秀的学生来讲，课堂习题没有拓展，课堂的实效性不强。因此，我相应地补充上能力提升练习。

（二）能力提升练习

1.园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵，从第1棵到最后一棵的距离是多少？

2.一根木头长10米，要把它平均分成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？

反思：在实际教学中，我发现学生在理解锯木头问题时有困难，这显然是缺乏生活经验。我因势利导，让学生画图理解。学生发现锯木头其实就是在一条线段上两端不植树的情况，再根据寻求到的规律解题，一切难题就迎刃而解了！

【设计意图：设计有梯度的练习，让学生将所学到的知识运用到解决生活实际问题中去，使学生的应用能力得到循序渐进的提高。设计的练习题体现了新课标“数学学习内容应当具有现实的、有意义的、富有挑战性”的理念。】

四、畅谈收获，引发学生深入思考

通过本节课的学习，你有哪些收获想和大家共同分享？或有哪些疑问想寻求帮助？

【设计意图：引导学生围绕三个维度对所学的内容进行梳理和回顾，畅谈自己在学习过程中的收获或是学习过程中的疑惑，真正地体会到数学就来源于生活。】

再次出示例题：铁岭小学要在一条100米长的小路一边每隔5米种一棵树，需要多少棵树苗？你还可以设计出几种方法？

【设计意图：学生可能会想到在一条长方形或是圆形等封闭曲线上植树，为学习例3奠定基础，这里也渗透新课程所倡导的理念，学生带着问题走出课堂。】

【板书设计】：

植 树 问 题

两端栽 棵数=间隔数+1

两端不栽 棵数=间隔数-1

一端栽 棵数=间隔数

反思：“植树问题”是小学人教版第九册“数学广角”中的教学内容。这一内容是让学生经历将实际问题抽象出植树问题模型的过程，从而掌握种树棵数与间隔数之间的关系，使学生学会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，培养他们的应用意识和解决实际问题的能力。通过教学我对植树问题这节课的反思如下：

1.体验生活数学。

“数学来源于生活。”因此，我从学生熟悉的手指和手指间隔引入，发现生活中的间隔，为接下来的学习分散难点。数学又应该为生活服务，我开放课堂时空，通过课件让学生从锯木头等问题中直观地认识生活中的许多事例看上去跟植树问题毫不相关，但是只要善于观察就明白它与植树问题的数量关系很相似。引导学生要灵活运用所学知识来解决生活中的一些实际问题，使学生充分感受到数学知识来源于生活，又回归于生活。

2.渗透化归思想。

从简单的事例中去发现规律，这是研究问题的一般规律。将复杂的问题简单化，从一般情况得出规律，寻找解题思路。如研究在一条线段上植树，学生首先想到两端植树这种情况，他们在探讨间隔数和棵树之间关系时，或是用学具摆，或是借助手指。从2棵树开始，间隔树为1，3棵树间隔数为2，4棵树间隔数为3等，填写表格，最后得出规律，从一般到特殊。接下来的两端不植树，一端植树的情况，学生在已有前面一次探究规律的基础上，很快就能发现规律，然后进行验证。

3.注重练习。

我觉得既然研究的是植树问题中的一种情况，而且主要是渗透一种化归思想，因此在练习的设计上尽量能紧扣中心，努力让学生利用本课所学或利用研究方法去解决类似的问题，这样就能起到很好的巩固作用。在练习题的设计上，我突出了基础性和提高性。

（作者单位：哈尔滨市铁岭小学）

于璐，哈尔滨市铁岭小学教师，小学高级，哈尔滨市数学学科带头人，哈尔滨市数学学科骨干教师。执教的“三角形分类”一课，获哈尔滨市第七届“苗苗杯”赛课一等奖；执教的“植树问题”，获哈尔滨市第八届“而立杯”赛课一等奖；执教的“四边形分类”，获黑龙江省“聚焦新课堂”一等奖。