二阶差分方程组周期解的多重性

郭 娟，陈 丽，张建明

（1.山西工商学院 基础教学部，山西 太原030006；2.太原理工大学 数学学院，山西 太原030024）

1 引言及主要结果

众所周知，非线性差分方程（组）已广泛应用于研究计算机科学、经济学、神经网络、生态学及控制论等学科中出现的离散模型.因此，关于差分方程的可解性、稳定性、周期性及振动性等问题的研究被许多学者所关注.就非线性共振差分方程的可解性而言，人们主要利用Morse理论和变分方法等来研究差分方程解的存在性与多重性［1-8］.

本文主要讨论下列二阶差分方程组周期解的多重性.这里的λ是一个实参数，A是R2上的对称矩阵，T≥2是一个给定的整数，当a，b∈Z且a≤b时，Z［a，b］=｛a，a+1，…，b｝，△是向前差分算子，即△z（t）=z（t+1）-z（t），△2z（t）=△（△z（t）），V∈C2（Z［1，T］×R2，R）且满足下列条件：

（V0）V（t，0）=0，V′x（t，0）=0，V″x（t，0）=0，t∈Z［1，T］.

（V∞）存在¯R＞0，α＞2使得当‖x‖＞¯R，t∈Z［1，T］时，0＜αV（t，x）≤（V′x（t，x），x）.

（V01）存在ε＞0，使得当0＜‖x‖＜ε时，V″x（t，x）＞0，t∈Z［1，T］.

（V02）存在ε＞0，使得当0＜‖x‖＜ε时，V″x（t，x）＜0，t∈Z［1，T］.

（V）对任意的p＞α，存在M＞0使得当x∈R2，t∈Z［1，T］时，|V（t，x）|≤M（1+‖x‖p）.

其中，（·，·）和‖·‖分别为R2上的内积和范数.对任意两个R2上的对称矩阵B和C，当B-C是一个正定矩阵时，记为B＞C.

由V′x（t，0）=0可知，对任意的λ∈R，z≡0是（P）λ的解，本文主要是寻找（P）λ的非平凡周期解.令λ1＜λ2＜…＜λm是（P）λ相应的线性问题的所有互异特征值.记主 要 结 果 如下：

定理1 假设V满足（V0）-（V01）和（V），i∈Z［1，m-1］，则存在δ＞0，使得当M-≤δ，λ∈（λi-δ，λi）时，（P）λ至少有三个非平凡周期解.

定理2 假设V满足（V0），（V∞），（V02）和（V），i∈Z［1，m-1］，则存在δ＞0，使得当M-≤δ，λ∈（λi，λi+δ）时，（P）λ至少有三个非平凡周期解.

2 预备知识

ap‖z‖≤‖z‖p≤bp‖z‖，z∈E.（1）记C=B-A⊗IT，其中

则J∈C2（E，R）.且对任意z1，z2，z3∈E，有

所以问题（P）λ的解等价于泛函J在E上的临界点.

对任意的i∈Z［1，m］，定义

则E=Ei⊕E⊥i.记pi=dim E（λi），qi=dim Ei=设z0∈E是J的一个临界点，记μ（z0）和ν（z0）是J在z0处的Morse指数和零化度.

定义1 设E是一个Banach空间且J∈C1（E，R），若对任意｛zn｝⊂E，｛J（zn）｝有界且J′（zn）→0（n→∞）蕴含｛zn｝有收敛子列，则称泛函J在E上满足（PS）条件.

定义2［9-10］设E是Hilbert空间且J∈C2（E，R）满足紧性条件（PS），z0是J的一个孤立临界点且J（z0）=c，U是只包含临界点z0的邻域，则Cq（J，z0）=Hq（Jc∩U，（Jc＼z0）∩U），q∈N∪｛0｝，称为J在点z0处的第q个临界群，其中Jc=｛z∈E|J（z）≤c｝，Hq（A，B）为带有整系数的拓扑对（A，B）的第q个奇异相对同调群.

命题1［11］设E是一个Hilbert空间，Φ∈C2（E，R），且▽Φ（z）=Lz+H（z），其中L∈L（E，E）是对称的，且当‖z‖→0时，H（z）=o（‖z‖）.考虑如下等式

令μ∈σ（L）是一个有限孤立特征值，则下列结论之一成立.

（i）（μ，0）不是式（2）在μ×E上的一个孤立解.

（ii）存在一个μ的一侧的邻域Λ，使得对任意的λ∈Λ＼｛μ｝，式（2）至少有两个不同的非平凡解.

（iii）存在一个μ的领域Λ，使得对任意的λ∈Λ＼｛μ｝，式（2）至少有一个非平凡解.

命题2［10-12］设E是一个实的Banach空间，E=X⊕Y，l=dim X＜∞.若J∈C1（E，R）满足（PS）条件，且满足

（J1）存在ρ＞0，γ＞0，使得当z∈Sρ=Y∩∂Sρ时，J（z）≥γ，其 中Sρ=｛z∈E|‖z‖≤ρ｝；

（J2）存在R＞ρ＞0和e∈Y，且‖e‖=1，使得当z∈∂Q时，J（z）＜γ，其中Q=｛z=u+se|‖z‖≤R，u∈X，0≤s≤R｝.

则J有一个临界点z0，满足J（z0）=c0≥γ，且Cl+1（J，z0） 0，这里的Sρ和∂Q是关于直和分解E=X⊕Y的一个同调环绕.

3 主要结果的证明

引理1 假设V满足（V∞），则对任意λ∈R，泛函J满足（PS）条件.

证明 设｛zn｝⊂E满足|J（zn）|≤M1（n∈N），且J′（zn）→0（n→∞），只需证明｛zn｝有界.取由假设，存在N∈N，则当n＞N时，有

M1+β‖zn‖≥J（zn）-β〈J′（zn），zn〉.由（V∞）及连续性，存在M＞0，使得

V（t，x）≥M‖x‖α-M，t∈Z［1，T］，x∈R2. （3）

又V∈C2（Z［1，T］×R2，R），故存在D＞0使得

因此，由式（1），（3）和（4），当n＞N时，有

由于α＞2，β∈（α ，2），则｛zn｝是有界的.

引理2 假设V满足（V0），（V∞）和（V），则对任意固定的i∈Z［1，m-1］，存在ρi＞0，γi＞0，使得当λ＜λi+1时，有

J（z）≥γi，z∈E⊥i，‖z‖=ρi. （5）证明 由（V0）和（V），对任意的ε＞0，存在Mε＞0，使得

当z∈E⊥i时。由式（1）可知

引理3 假设V满足（V∞），i∈Z［1，m-1］，则存在R＞0，0＜δ＜min｛λi-λi-1，λi+1-λi｝和σ∈R，使得当M-≤δ时，对任意固定的λ∈（λi-δ，λi+δ），有

这里λ0=0，Qi=｛z∈Ei⊕span｛φi+1｝|‖z‖≤R，z=u+sφi+1，u∈Ei，s≥0｝，φi+1是（P）相应于特征值λi+1的特征函数，且‖φi+1‖=1.

证明 对任意z∈Ei⊕span｛φi+1），有z=u+v，其中u∈Ei-1，v∈E（λi）⊕span｛φi+1｝，s≥0，由式（1）和（3）可得

由于α＞2，所以存在R＞0使得

J（z）≤0，z∈Ei⊕span｛φi+1｝，

对任意的u∈Ei，‖u‖≤R，有u=w+v，其中w∈Ei-1，v∈E（λi）.当λ∈（λi-1，λi+1）时，有

定理3 设V满足（V0），i∈Z［1，m］，则存在δ＞0，当V满足（V01）且λ∈（λi-δ，λi）或V满足（V02）且至少存在两个非平凡周期解，且解zλ的Morse指数和零化度满足

证明 利用命题1（ii）来证明解的存在，只证明V满足（V01）且λ∈（λi-δ，λi）的情形，另一种情形的证明是类似的.因为V满足（V0），（P）的每个特征值λi导致（P）λ的一个分歧点（λi，0）［11］.令接近（λi，0）的一个解，且满足

由（V0）有

在假设条件下，由（V01）可知V″x（t，ηz（t））＞0，t∈Z［1，T］，则有A+V″x（t，ηz（t））＞A，t∈Z［1，T］.现在考虑线性方程组

记μ1（z）＜μ2（z）＜…＜μjz（z），z≠0为式（13）的所有互异特征值，根据条件（V0），若令z=0，则对每个k∈Z［1，j0］存在n∈Z［1，m］使得μk（0）=λn，因此式（13）的特征值μk（z）小于方程（P）相应的第n个特征值λn，并且当z→0时，μk（z）→λn，z∈E，由式（11）和（12）可知，z是式（13）的一个解，特征值为λ，且λ＜λi.

下面估计Morse指数.令zλ是（P）λ的一个分歧解，当λ→λi时，‖zλ‖→0.对任意z1∈E有

因此，当Z1∈Ei-1时有

当z2∈E⊥i时有

通过V0可知 存在δ＞0使得0＜|λ-λi|＜δ时，

定理4 假设V满足（V0），（V∞），（V），i∈Z［1，m］，则存在δ＞0，使得当M-≤δ时，对第一个λ∈（λi-δi，λi+δ），（P）λ有一个非平凡周期解zλ，并且

由引理1可知，J满足（PS）条件.当R＞ρi＞0，Sρi和∂Qi是关于直和分解E=Ei⊕E⊥i的一个同调环绕时，由命题2可知J有一个临界点zλ满足式（14）.

定理1的证明 由定理3以及Gromoll-Meyer定理［10，13］可得到（P）λ有两个非平凡周期解它们的Morse指数满足

并且

由定理4可知当λ∈（λi-δ，λi）时，（P）λ有一个非平凡周期解zλ满足

定理2的证明 与定理1的证明类似，λ∈（λi，λi+δ）时，应用定理3以及定理4可证得结论.

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