周期特征值问题的Wilkinson型定理
2010-03-24
（海军航空工程学院 基础部，山东 烟台 264001）
Wilkinson 定理是代数特征值问题中的一个经典定理，在研究矩阵特征值的灵敏度时是非常重要的理论工具。1972年，J.H.Wilkinson 在论文[1]中证明了著名定理：设 A ∈ Cn×n，A x=λx，yHA=λyH，其中 x,y∈ Cn且x≠0，y≠0。假设λ是矩阵A的一个单特征值，λ的(绝对)条件数是
如果C(λ)＞1，则存在 E ∈ Cn×n使得λ是矩阵A+ E的一个重数至少为2的特征值，且
如果矩阵有重特征值，那么称该矩阵关于特征值问题是病态的（ill-posed）。不难发现，Wilkinson定理实际上给出了一个矩阵A 到其相应的ill-posed集之间距离的简单上界。由于在很多应用领域，如时变最佳控制和极点配置问题的研究中，一系列周期离散Riccati 方程的半正定解集的周期稳定不变子空间是需要已知的，而这些问题都可以归纳为周期特征值问题。因此，研究更为复杂的特征值问题，如周期特征值问题是十分必要的。
本文讨论了周期特征值问题的条件数问题。首先，列举了该类特征值问题的一些已有结果；然后，借助相关的证明方法将Wilkinson 定理推广到了周期特征值问题中。
1 预备知识
则相应的周期特征值问题[2]是
式中：xj≠0，yj≠0，j=1,…,k，且有 x0=xk，
令(πα,)βπ是的一个单特征值，其中
定理1（周期Schur 分解定理）：存在酉矩阵Qj、Zj，使得
式中，j=1,…,k。
令 Z0=Zk，且
文献[2]中给出了关于(πα,)βπ的条件数的定义及表达式
2 将Wilkinson 定理推广到周期特征值问题中
式中：jδ 和jτ是正参数；ρ(⋅,)⋅为文献[3]中所定义的弦度量。
应用文献[2]中的方法，不难得到下述结果。
引理1：不失一般性，设那么
考虑变换[4-7]
式中，j=1,…,k。
那么，式(8)、(9)可以等价地写为
由于 (πα,πβ)是单特征值，式(10)的系数矩阵是非奇异的（见文献[2]），因此wj和 vj（j=1,…,k）可被惟一确定。
由式(8)、(9)，可得
令xj=Zje1（即Zj的第一列），且则
式中，j=1,…,k。
由式(4)、(11)，有
如果 wj≠0，j=1,…,k，则式(13)可写为
令
由式(4)、(14)，(πα,πβ)是的一个重数至少为2的特征值，且
则 wj≠0，j=1,…,k。
综上所述，可以得到以下结果。
定理2：如果 Cj(πα,πβ)，j=1,…,k的偏条件数满足式(16)，则存在使得(πα,)βπ是的一个重数至少为2的特征值，且
至此，我们就得到了关于周期特征值问题的Wilkinson型定理。
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