结合函数图像判断零点个数

刘辉

有关方程的根与函数的零点的两个结论和一个推论：

结论1：方程f（x）=0有实数根<=>函数y=f（x）的图像与x轴有交点㈢函数y=f（x）有零点。

结论2：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=O的实数根。

推论：方程f（x）-g（x）=O有实数根<=>函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像有交点<=>函数F（x）=f（x）-g（x）有零点。

下面利用函数思想与数形结合思想，举例分析函数零点问题，并从中体会数形结合法的优越性。

例1 方程的根的个数是______。

解法1：构造函数所以f（x）在（1，e）内有零点。又f（x）在（O，+∞）上为增函数，所以f（x）在定义域（0，+∞）内仅有1个零点。

解法2：令

在同一直角坐标系中作出函数与g（x）=Inx的图像（如图1），由图像可知，两条曲线只有1个交点，所以此方程只有1个根。

评析：在解法l中，既要求出，还要说明。在定义域内是单调的，这样才能得出方程仅有1个根。

侧2 判断方程的根的个数。

解：令，在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像（如图2）。

由图像可知，方程只有1个根。

评析：结合函数图像解决零点问题比利用零点存在性定理求解要简单得多。

例3 设a为常数，试讨论方程lg（x-l）+lg（3-x）=lg（a-x）的实根个数。

解法1：原方程中x应满足的条件是：

原方程等价变形为

令，在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图像（如图3）。

由方程可知当△=0，即时，此方程有1个实根。

结合图像可知，当a≤1或a>时，方程没有实根；当a≤3时方程有1个实根；当时方程有2个实根。

解法2：原方程等价于：

令在同一直角坐标系中作出两个函数的图像（如图4）。

由图像可知，动直线与曲线的交点个数（略）。

评析：结合函数图像解决函数零点个数问题，往往可以避免复杂的运算和分析，只要作图相对准确，一般可以很快得出正确的结论。