函数的应用核心考点演练

吴传叶

一、选择题

1.方程的根存在的大致区间是（）。

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，e）

D.（3，4）

2.若f（x）是奇函数，且x。是的一个零点，则-x0一定是函数（）的零点。

A.

B.

C.

D.

3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则函数g（z）=f（x）-x+3的零点的集合为（）。

A.{l，3}

B.{-3，-1，1，3）

4.已知偶函数y=f（x），x∈R，且满足f（x）=若函数y=f（x）-g（x）的零点个数为（）。

A.1

B.3

C.2

D.4

5.设函数，集合M={x|f（x）=

A.ll

B.13

C.7

D.9

6.若a满足满足，函数，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数g（x）=Inx+x-2的零点为6，则下列不等式成立的是（）。

A.f（1）B.f（a）

（l）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

24.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知各投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。

（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系。

（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最人收益是多少。

25.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消牦费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：。若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（1）求k的值及f（x）的表达式。

（2）问隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。

参考答案与提示

一、选择题

1.提示：设，则得，所以函数f（x）在区间（1，2）内有零点，应选B。

2.提示：由已知可得，则，即得，可知一定是的零点。

应选C。

3.提示：求出当x<0时f（x）的解析式，分类讨论解方程即可。

令x<0，则-x>0，所以

因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x）。

所以当x<0时，当x≥0时，

令g（x）=0，即，解得x=l或x=3。

当x<0时，令g（x）=0，即，解得（舍去）或

所以函数g（x）有3个零点，其集合为{-2-

应选D。

4.提示：作出函数f（x）与g（x）的图像（图略），其中包括的图像。

由图像可知两个函数有3个不同交点，所以函数y=f（x）-g（x）有3个零点。

应选B。

5.提示：由集合，结合函数f（x）的解析式及韦达定理，易求出c1及C4的值。

由根与系数的关系知（这里为方程的根，4）。

，由集合M中的性质可取（1，7），（2，6），（3，4），（4，4），且知c1≥c2≥C3≥C4，所以c1=16，C4=7。

所以c1-C4=9。

应选D。

6.提示：由a满足x+lgx=4，b满足4，可得a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，图像交点的横坐标。

由于y=z与y=4-x图像交点的横坐标为2，函数y=lg z与的图像关于y=x对称，所以a+b=4。

所以函数f（x）=

当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即，可得x=-2或x=-l，可知满足题意；当x>0时，关于x的方程f（x）=x，可得x=2，可知满足题意。

所以关于x的方程f（x）=x的解的个数是3。

应选C。

7.提示：先确定两函数零点所在的区间，再利用函数f（x）的单调性求解。

因为函数f（x），g（x）均是增函数，且f（0）·f（1）<0，g（1）·g（2）所以a

14.提示：因为点（1，0），（-l，0）在f（x）的图像上，且图像关于直线x=-2对称，所以点（-5，0），（3，O）必在f（x）的图像上。

所以f（-5）=（1-25）（25-5a+b）=O，f（-3）=（1-9）（9-3a+b）=0，联立解得a=8，b=15。

所以，即f（x）

令，则f（t）=，当t=l时，

答案为16。

15.提示：由，可得

所以

所以f（x）在（-l，O）内存在零点。

又f（x）为增函数，所以f（x）在（-l，0）内只有一个零点，可得n=-l。

答案为-l。

16.提示：在同一直角坐标系中作出函数y=f（x），y=kx的图像（图略）。

函数y=f（x）图像最高点的坐标为A（2，1），过坐标原点0和点A的直线斜率为2。

当x≥2时，是单调减函数，且f（x）>O，直线y=kx过原点，所以当O答案为（O，2）。

17.提示：

令，则

由于f（x）有零点，则关于t的方程，2=O在（一∞，-2]U[2，+∞）上有解。

因为t≠-l，所以方程可化为

所以上都是减函数，所以当t≤-2时，a≥2；当t≥2时，

所以

18.提示：当O≤x<2时，f（x）=x（x十1）（x-l），即当0≤x<2时，f（x）=o有两个根，即x=0或x=1。

f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当2≤x<4时，f（x）=0有两个根，即x=2或x=3；当4≤x<6时，f（x）=o有两个根，即x=4或x=5；6也是f（x）=0的根。

故y=f（x）的图像在区间[O，6]上与x轴的交点个数为7。

三、解答题

19.提示：（l）当a=o时，显然f（x）是奇函数。

所以函数f（x）在[1，2]上单调递增。

20.提示：设彩电的原价为a元。

由题意可得a（1+0.4）×80%-a=270。

所以0.12a=270，解得a=2250。

所以每台彩电的原价为2250元。

21.提示：（l）因为y与x-0.4成反比例，所以设

把x=0.65，y=0.8代人上式得0.8=，可得k=0.2。

所以，则y与x之间的函数关系式为

（2）根据题意得（0.8-0.3）（1+20%），整理得，解得

因为x的取值范围是0.55～0.75，所以x=0.5不符合题意，则x=0.6。

所以当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。

22.提示：（l）根据题意可得

又1≤x≤10，可解得3≤x≤10。

（2）设利润为y元，则。

所以当x=6时，。

即当生产速度为6kg/h时，最大利润为457500元。

23.提示：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出100-12=88（辆）。

（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

所以当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050。

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元。

24.提示：（l）设两类产品的收益与投资的函数关系分别为

由已知得

所以

（2）设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为（20—x）万元。

依题意得

所以当t=2，即x=16时，投资收益最大，其最大收益为

25.提示：（l）由已知条件得C（0）=8，则k=40。

所以

（2）由此可得

当且仅当，即x=5时上述不等式的等号成立。

所以当隔热层为5cm时，总费用f（x）达到最小，其最小值为70万元。